Tore de dimension 2 . On d´efinit le “tore plat” T

MM022 G´eom´etrie diff´erentielle 2016–2017

Devoir Maison 1

Distribu´e le 7 octobre 2016, ` a rendre le 14 octobre 2016

Tore de dimension 2 . On d´efinit le “tore plat” T

= R

/ Z

comme le quotient de R

par la relation d’´equivalence

(x, y) ∼ (x

, y

) ⇔ (x − x

, y − y

) ∈ Z

et on le munit de la topologie quotient. On d´efinit d’autre part le tore de r´evolution T ⊂ R

comme la surface obtenue en faisant tourner autour de l’axe (Oz) le cercle C

⊂ {y = 0} de centre (2, 0, 0) et de rayon 1. On a d´ej`a vu que T ´etait une sous-vari´et´e lisse de R

, et on la munit de la structure diff´erentiable induite.

Le but de l’exercice est de munir le tore plat d’une structure diff´erentiable naturelle qui fait de lui une vari´et´e diff´eomorphe au tore de r´evolution.

1. Notons p : R

→ R

/ Z

la projection canonique. Soit U ⊂ R

un ouvert qui contient au plus un repr´esentant de chaque classe d’´equivalence de R

/ Z

, de sorte que p : U → p(U ) est bijective.

(i) Pour chaque x ∈ R

donner un tel exemple d’ouvert U qui contient x.

(ii) Montrer que l’ensemble des paires (p(U ), p

: p(U ) → U ) avec U comme ci-dessus d´efinit un atlas sur R

/ Z

.

2. (i) Verifier que p est un diff´eomorphisme local.

(ii) Soit X une vari´et´e. Montrer qu’une application f : R

/ Z

→ X est lisse si et seulement si f ◦ p : R

→ X est lisse.

3. (i) Montrer que l’application

h : R

→ R

(θ, φ) 7→ ((2 + cos θ) cos φ, (2 + cos θ) sin φ, sin θ) est une immersion.

(ii) Montrer qu’elle passe au quotient en une bijection lisse ¯ h : R

/ Z

→ T .

(iii) Montrer que la diff´erentielle de ¯ h est inversible. En d´eduire que ¯ h est un diff´eomorphisme.

4. Calculer l’espace tangent en un point quelconque du tore de r´evolution.

5. Montrer que le fibr´e tangent au tore est trivial.