L’ESPACE AD´ ELIQUE D’UN TORE SUR UN CORPS DE FONCTIONS

(1)

ANNALES DE

L’INSTITUT FOURIER

LesAnnales de l’institut Fouriersont membres du

David Harari & Diego Izqierdo

L’espace adélique d’un tore sur un corps de fonctions Tome 69, n^o5 (2019), p. 1915-1954.

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L’ESPACE AD´ ELIQUE D’UN TORE SUR UN CORPS DE FONCTIONS

par David HARARI & Diego IZQUIERDO

Résumé. — Soientkun corps de caractéristique 0 etKle corps des fonctions d’unek-courbe projective lisse géométriquement intégreX. SoitT unK-tore. Dans cet article, on cherche à étudier l’espace des points adéliquesT(S,AK) deT hors d’un ensemble fini S de points fermés de X. On commence par montrer que le groupeT(K) des points rationnels deT est toujours fermé discret dansT(S,A_K).

On d´ecrit ensuite le quotientT(∅,A_K)/T(K) dans chacun des trois cas suivants:

kcorps alg´ebriquement clos,k=C((t)) etkcorpsp-adique.

Abstract. — Letkbe a field of characteristic 0 and let Kbe the function field of a smooth projective geometrically integralk-curveX. LetT be aK-torus.

In this article, we aim at studying the space of adelic pointsT(S,AK) ofT outside a finite set S of closed points ofX. We start by proving that the groupT(K) of rational points of T is always discrete (hence closed) inT(S,AK). We then describe the quotientT(∅,AK)/T(K) in each of the following three cases: kis an algebraically closed field, kis the field of Laurent seriesC((t)), andkis ap-adic field.

1. Introduction

Soitkun corps de caractéristique 0. On considère le corps des fonctions Kd’une courbe projective et lisseXdéfinie surk, et les divers complétésK_v (d’anneau des entiersOv) du corpsK par rapport aux valuations induites par les points fermés de X. Soit maintenant G un K-groupe algébrique linéaire connexe pour lequel on choisit un modèle lisse G au-dessus d’un ouvert de Zariski non videUdeX. L’espace adéliquedeG, notéG(AK), est le produit restreintQ0

v∈X⁽¹⁾G(K_v) sur l’ensembleX⁽¹⁾des points fermés de X, par rapport auxG(Ov) (il est indépendant du modèle choisi). On peut

Mots-clés :Approximation forte, Groupe algébrique linéaire, Sous-groupe divisible maximal, Suite de Poitou–Tate.

Classification Math´ematique (2010) :11E72, 12G05, 14G05, 14G27.

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aussi enlever un nombre finiSde points ferm´es et consid´ererG(S,AK) :=

Q0

v∈U⁽¹⁾G(Kv) quandU =X−Sest un ouvert de Zariski non vide deX. Ces dernières années, plusieurs travaux se sont penchés sur des ques- tions arithmétiques classiques liées aux groupes algébriques sur ces corps de fonctions, comme le principe local-global pour leurs espaces principaux homogènes ou encore l’approximation faible (c’est-à-dire la densité de l’ensemble des points rationnelsG(K) dansQ

v∈X⁽¹⁾G(Kv), ce dernier groupe

étant équipé de la topologie produit). Mentionnons par exemple [3], qui

´etablit l’approximation faible pour k alg´ebriquement clos, les travaux [9]

et [8] qui traitent du cas oùkest p-adique, l’article [4] qui concerne le cas k=C((t)), et les diverses généralisations [12], [13] au cas oùkest un corps local supérieur.

L’origine de ce travail est l’article [2] de J.-L. Colliot-Thélène, lequel s’intéresse quand k = C à la question de l’approximation forte pour G, c’est-à-dire à la densité de G(K) dans un espace adélique G(S,AK), ce dernier étant équipé de la topologie de produit restreint (et non plus comme pour l’approximation faible de celle induite par la topologie produit sur Q

v∈U⁽¹⁾G(Kv)). Les deux résultats principaux de [2] sont : d’une part, la validité de l’approximation forte quandS 6=∅etGest semi-simple ; d’autre part, des exemples où cette approximation forte ne vaut pas quandGest un tore. Notre but ici est de préciser cet énoncé sur les tores dans plusieurs directions.

Notre premier résultat (théorème 3.6) est le suivant : nous montrons que pour tout corpsk de caractéristique zéro, tout ensemble fini S de points fermés deX, et toutK-toreT, l’image deT(K) dansT(S,AK) est un sous- groupe discret (donc fermé) deT(S,AK). En particulier l’approximation forte ne vaut jamais pour un tore de dimension>0.

Ainsi, dans notre situation, le d´efaut d’approximation forte est simplement le quotientA(S, T) de l’espace ad´eliqueT(S,AK) parT(K) ; quand T = Gm et S = ∅, ce quotient CK = (Q0

v∈X⁽¹⁾K_v^∗)/K^∗ est juste le groupe des classes d’id`eles de K, notion qui est classique pour un corps de nombres ou le corps des fonctions d’une courbe sur un corps fini. Par analogie avec la th´eorie du corps de classes global, on aimerait maintenant mieux comprendre la structure deT(S,AK) et notamment relier A(∅, T)

à une obstruction de réciprocité à l’approximation forte. Plus précisément, on cherche à construire une flèche fonctorielle r : A(∅, T) → P d’image dense, où P est un groupe abélien profini (dual d’un groupe discret de torsion défini via la cohomologie galoisienne du tore T). Comme dans le cas du groupe des classes d’idèles d’un corps de nombres (où P est juste

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le groupe de Galois abélien deK), on ne peut espérer quer soit injective mais seulement que son noyau soit un groupe abélien divisible (le groupe profiniP n’ayant pas d’élément infiniment divisible non nul).

Pour tout groupe topologique abélien B, notons B^D son dual, c’est-à- dire le groupe Homc(B,Q/Z) des homomorphismes continus de B dans Q/Z(quand la topologie sur B n’est pas précisée, on convient que B est muni de la topologie discrète). Dans les trois situations considérées dans les articles antérieurs, nous obtenons alors les résultats suivants :

(a) Pourk algébriquement clos (auquel cas K est de dimension cohomologique cd(K) = 1), le groupe A(S, T) est divisible si S 6= ∅ (on a donc en quelque sorte approximation forte modulo divisible). Ce résultat vaut encore si on remplace le tore T par un groupe algébrique linéaire connexe quelconque (théorème 4.8). De plus, le quotient A(∅, T) de A(∅, T) par son sous-groupe divisible maximal est un groupe de type fini dont on peut calculer le rang (théorème 4.5). Nous établissons aussi une suite de Poitou–Tate pour T (c’est le cas d = −1 du théorème 3.20 de [12], qui avait été fait pour les modules finis mais pas pour les tores), et en déduisons une flècher:A(∅, T)→H⁰(K,Tˆ⊗Q/Z(−1))^D d’image dense et de noyau divisible (théorème 4.16), où ˆT est le module des caractères deT.

(b) Pour k = C((t)) (auquel cas cd(K) = 2, comme pour un corps de fonctions sur un corps fini), on a encore (théorème 5.3) une application de réciprocitér:A(∅, T)→H²(K,Tˆ)^D de noyau divisible, mais contrairement au cas où k est fini (auquel cas lorsque T = Gm, l’image I = Imr est même dense), l’adhérence Iadh

de I n’est pas d’indice fini dans H²(K,Tˆ)^D. Plus précisément, le quotient H²(K,Tˆ)^D/Iadh est isomorphe au dual d’un groupe de Tate–Shafarevich X²(K,Tˆ), qui est infini en général. Ce groupe est défini par la formule habituelle X²(K,Tˆ) := ker[H²(K,Tˆ) → Q

v∈X⁽¹⁾H²(K_v,Tˆ)].

(c) Pour k corps p-adique (auquel cas cd(K) = 3), on a un résultat analogue (corollaire 6.7) en rempla¸cant H²(K,Tˆ) par H²(K, T⁰), où T⁰ est le tore dual de T; mais ici, l’adhérence de Imr est à nouveau d’indice fini dansH²(K, T⁰)^D, le quotient étant le groupe finiX¹(K, T) := ker[H¹(K, T)→Q

v∈X⁽¹⁾H¹(K_v, T)].

On comparera les r´esultats (b) et (c) avec les calculs du d´efaut d’approximation faible pour un tore de [4] et [8]. Pour l’approximation forte, ce sont les groupesH²(K,Tˆ) etH²(K, T⁰) qui apparaissent respectivement, et non

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plus leur sous-groupe des éléments presque partout localement triviaux. En ce sens, la situation est assez similaire à celle des corps de nombres (voir [7]).

Nous complétons notre étude par une description plus précise de la partie de torsion du sous-groupe divisible maximal deA(∅, T), que nous relions à la cohomologie galoisienne de ˆT (corollaires 4.25, 5.6 et 6.9). La structure deA(∅, T) est ainsi complètement élucidée dans les trois cas considérés.

Par ailleurs, une difficult´e (notamment dans le cas (c)) est qu’il n’est pas a priori ´evident que le sous-groupe divisible maximal et le sous-groupe des

éléments infiniments divisibles co¨ıncident pourA(∅, T) ; nous commen¸cons donc par quelques généralités sur ces deux notions.

Convention. — Tous les groupes de cohomologie qui apparaˆıtront dans ce texte seront des groupes de cohomologie galoisienne ou, plus généralement, de cohomologie étale.

2. Quelques lemmes sur les groupes ab´eliens

Soit B un groupe ab´elien. On note B_div le plus grand sous-groupe divisible de B, qui est la somme de tous les sous-groupes divisibles de B. On rappelle que comme tout sous-groupe divisible, c’est un facteur direct de B. On pose B = B/B_div. Par ailleurs, on note B_∞−div = T

n∈N^∗nB le sous-groupe des éléments infiniment divisibles de B. On a clairement B_div ⊂ B_∞−div, mais l’inclusion peut être stricte si on ne fait pas d’hy- pothèse supplémentaire sur B, autrement dit B_∞−div peut ne pas être un groupe divisible (cf. [5, exemple p. 150]). Si pest un nombre premier et Bdiv_p désigne le plus grand sous-groupe p-divisible deB (c’est le plus grand sous-groupe sur lequel la multiplication parpest surjective), on voit immédiatement que B_div est l’intersection pour ppremier des B_div_p. On a x∈ Bdiv_p si et seulement s’il existe une suite infinie (et pas seulement une suite finie de longueur arbitrairement grande) (x_n) d’éléments de B avecx1 =xetxn =pxn+1 pour toutn∈N^∗. On en déduit aisément que x∈B_div si et seulement s’il existe une suite infinie (x_n) d’éléments de B avecx1=xetxn=mxmnpour tousm, n∈N^∗.

SiB est un groupe de torsion de type cofini (i.e.lan-torsionnB est finie pour tout n ∈ N^∗), il est classique que B_div = B_∞−div car on sait alors queB est somme directe sur tous les nombres premiers`de groupes de la formeF⊕(Q`/Z`)^r, o`uF est un`-groupe ab´elien fini.

Dans cette section, on regroupe quelques résultats généraux ayant trait notamment au comportement de B_div et B_∞−div dans les suites exactes.

On noteBtors=S

n>0 nB le sous-groupe de torsion deB.

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Lemme 2.1. — Consid´erons une suite exacte de groupes ab´eliens : (2.1) 0→A−→^f B−→^g C→0,

telle queCdiv = 0. Alors la suite (2.1)induit une suite exacte : (2.2) 0→A−→^f B−→^g C→0.

Démonstration. — Le seul point non trivial à vérifier est l’injectivité de f. Donnons-nous x ∈ Ker(f). Soit xe ∈ A un relèvement de x. On sait alors queye:=f(ex)∈B_div. CommeB_div est divisible, il existe une famille (eyn)n>1 à valeurs dans Bdiv telle que ey = ye1 et yen = myemn pour tous m, n>1. De plus, comme Cdiv = 0, on a g(yen) = 0, et donc, d’après la suite exacte (2.1), il existexe_n∈Avérifiantf(ex_n) =ye_n. Par injectivité de f on déduit quexe=ex1 etexn =mxemnpour tous m, n>1. Autrement dit,

ex∈A_div etx= 0.

Lemme 2.2. — Consid´erons une suite exacte de groupes ab´eliens : 0→A−→^f B−→^g C→0

o`uC est un groupe d’exposant finie. AlorsB∞−div=A∞−div.

Démonstration. — Soitx∈B_∞−div. Pourn>1, écrivonsx=nxn avec x_n ∈B. Pourn>1, on ax=n·(ex_ne). Le groupeCétant d’exposant e, il existey ∈Aainsi que yn ∈A tels quef(y) =xet f(yn) =exne. On a alorsy=nyn. Cela prouve quex∈A_∞−div, comme on voulait.

Lemme 2.3. — Consid´erons une suite exacte de groupes ab´eliens : 0→A−→^f B−→^g C→0.

Supposons que le groupeC s’ins`ere dans une suite exacte : 0→C⁰−→^h C−→ⁱ E→0

o`u C⁰ est un groupe sans torsion avec C_∞−div⁰ = 0 et E est un groupe d’exposant finie. AlorsB∞−div=A∞−div.

D´emonstration. — Soitx∈B∞−div. Pourn>1, ´ecrivonsx=nxn avec x_n∈B.

• Montrons d’abord quexest dans l’image def. L’élément g(x) de Cest infiniment divisible. Donc d’après le lemme 2.2, il existey ∈ C_∞−div⁰ tel queh(y) =g(x). Par hypothèse,y= 0, et donc g(x) = 0 : autrement dit, il existez∈Atel quef(z) =x.

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• Soitn>1. Remarquons queng(ex_ne) =g(x) = 0 et d’autre part g(exne)∈Im(h) carEest d’exposante. CommeC⁰est sans torsion, on d´eduit que g(ex_ne) = 0. Il existe alors z_n ∈ Atel que f(z_n) = exne. On az=nzn pour chaquen, doncz est infiniment divisible

dansA.

Lemme 2.4. — Consid´erons une suite exacte de groupes ab´eliens : 0→A−→^f B−→^g C−→^h C⁰→0.

Supposons queAetC⁰ sont d’exposant fini et que le sous-groupe divisible maximal Bdiv de B est uniquement divisible. Alors Cdiv est uniquement divisible.

Démonstration. — CommeC⁰ est d’exposant fini,Cdiv est contenu dans l’image deg. De plusB_div⊂g⁻¹(C_div), ce qui montre queB et g⁻¹(C_div) ont tous deux pour sous-groupe divisible maximalBdiv. Quitte à remplacer C par C_div et B par g⁻¹(C_div), on peut donc supposer que C⁰ = 0 et queC est divisible. Donnons-nousx∈Ctors et considérons (xn) une suite d’éléments deC telle quex₁=xet xn =mxmn pour tousm, n >0. Pour chaquen>1, soityn ∈B tel queg(yn) =xn. Quels que soient les entiers met n, il existe zm,n∈ A tel queyn =mymn+zm,n. Ainsi, si edésigne l’exposant deA, on aey_n=mey_mn. En particulier,ey_e∈B_div car la suite infinie (un) définie parun=eyen vérifie u1 =eyeet mumn=mey_m(ne)= ey_en = u_n pour tous m, n ∈ N^∗. Comme ey_e est de torsion (car g(ey_e) l’est, ainsi queA), on en déduit queeye= 0, puis quey1∈A(via l’égalité y₁=eye+ze,1) et enfinx= 0. Cela achève la preuve.

Lemme 2.5. — Consid´erons une suite exacte de groupes ab´eliens : 0→A−→^f B−→^g C→0.

Supposons queAest fini et queB_∞−div=B_div. AlorsC_∞−div=C_div. Démonstration. — Soitx∈C_∞−div. Pourn >0, on se donnexn∈Ctel quex=nxn. On considère ensuitey ∈B (resp.yn ∈B) tel queg(y) =x (resp.g(yn) =xn). Pour chaquen >0, il existetn∈Atel quey=nyn+tn. Soitt∈Atel que t_n! =t pour une infinité de valeurs den. Alorsy−test infiniment divisible dansB. Par hypothèse, cela implique quey−t∈Bdiv,

et donc quex=g(y−t)∈C_div.

Lemme 2.6. — SoitB un groupe ab´elien tel queB_torsest de torsion de type cofini. AlorsB∞-div=Bdiv.

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D´emonstration. — ´EcrivonsB_tors= (L

pF_p)⊕Doùpdécrit l’ensemble des nombres premiers,Fp est unp-groupe abélien fini pour chaque pet D est divisible. On a des suites exactes :

0→D→B→B/D→0, (2.3)

0→M

p

Fp→B/D→B/B_tors→0. (2.4)

La suite (2.3) est scind´ee carDest divisible. Il suffit donc de d´emontrer que (B/D)∞-div = (B/D)div. Soientx∈(B/D)∞-div et pun nombre premier.

Pour chaque n > 1, considérons x_n ∈ B/D tel que x= pⁿx_n. Notons y (resp.yn) l’image dex(resp.xn) dansB/Btors. On a alorsy=pⁿyn pour n>1, et donc pⁿ(pyn+1−yn) = 0. CommeB/Btorsn’a pas de torsion, on déduit quepy_n+1=y_n. Par conséquent, pourn>1, on apx_n+1=x_n+t_n pour un certain tn ∈ L

pFp. En remarquant que pⁿtn = 0, on obtient que tn ∈ Fp. Soit s > 1 tel que p^sFp = 0. On a alors p^s+1xn+1 = p^sxn

pour chaquen >1. En posant zn =p^sxs+n−1, on obtient que z1 =xet pzn+1 =zn pour tout n>1. Cela pouvant être fait pour chaque premier p, on déduit que x∈ (B/D)div (carx est dans le sous-groupe p-divisible maximal deB/D pour toutppremier), ce qui achève la preuve.

Pour tout groupe abélien A, on pose A∧ := lim←−^n>0(A/nA). Si tous les A/nAsont finis, alorsA_∧ n’est autre que le complété profiniA^∧deA. De plus, on aA∧=A siAest profini.

Lemme 2.7. — Soit C un groupe ab´elien profini. Soient A et B des groupes ab´eliens.

(1) Soitf :B→Cun morphisme tel que le morphisme induitB_∧→C soit surjectif. Alorsf(B)est dense dansC.

(2) Soit

A→ⁱ B →C

un complexe de groupes ab´eliens avecCprofini. On suppose que le complexe associ´e

A∧→B∧→C

est une suite exacte. Soit E le quotient de B par i(A). Alors le noyau de l’application induiteu:E→C estE_∞−div.

D´emonstration.

(1). — L’hypoth`ese implique que pour toutn >0, l’applicationB/nB→ C/nC induite parf est surjective. CommeC est profini, tout sous-groupe ouvertU de C est d’indice fini, donc contient nC pour un certainn >0.

Ceci montre que six∈C, alors l’ouvertx+U rencontre f(B) puisqu’on

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peut ´ecrirex=f(y) +x⁰ avec x⁰ ∈nC. Ceci montre quef(B) est dense dansC.

(2). — CommeC est profini, il est limite projective desC/nC et on a doncC∞−div= 0, ce qui montre que E∞−div⊂keru. En sens inverse, soit x∈keru, qu’on rel`eve en y ∈B. Soit n >0. Alors l’image de y dans B_∧ provient deA∧, ce qui implique que l’image dey dans B/nB provient de A/nA. Il existe donca∈Atel quei(a) =y+nbavecb∈B. Ainsi l’image xdey dansE=B/i(A) est divisible par n. Finalementx∈E_∞−div.

3. Cas g´en´eral

Dans cette section, on considère le corps des fonctions K d’une courbe projective lisse géométriquement intègreX sur un corps de base k de ca- ractéristique 0. Nous allons montrer que sans aucune hypothèse sur k, le groupe des points rationnels T(K) d’un K-tore est discret dans l’espace adélique T(AK, S) = Q0

v6∈ST(Kv), et ce pour tout ensemble fini S de points fermés deX. On commence par le cas du tore déployéT =Gm.

SoientUun ouvert non vide deXetSl’ensemble finiX−U. On notek[U] l’anneau des fonctions régulières surU et k[U]^∗ =H⁰(U,G_m) le groupe des fonctions inversibles surU. Les valuations associées aux points fermés deU induisent une application

val :G_m(A, S) = Y⁰

v∈U⁽¹⁾

K_v^∗→ M

v∈U⁽¹⁾

Z. On ´equipeL

v∈U⁽¹⁾Z de la topologie discrète et G_m(A, S) de la topologie de produit restreint associée aux topologies v-adiques. Considérons le diagramme :

K^∗ ^ι // $$

Q0

v∈U⁽¹⁾K_v^∗

val

L

v∈U⁽¹⁾Z. Lemme 3.1. — Le morphisme ι(K^∗) → L

v∈U⁽¹⁾Z est continu quand on ´equipe ι(K^∗)de la topologie induite par celle deGm(A, S).

D´emonstration. — Il suffit de v´erifier que le morphisme Q0

v∈U⁽¹⁾K_v^∗ → L

v∈U⁽¹⁾Z induit par les valuations est continu. Cela découle immédia- tement de la définition de la topologie produit restreint car le noyau Q

v∈U⁽¹⁾O_v^∗ de val est un sous-groupe ouvert deQ0

v∈U⁽¹⁾K_v^∗.

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Lemme 3.2. — Soitv∈U⁽¹⁾. Soitι_vl’injection naturelle dek[U]^∗ dans K_v^∗. Alorsιv(k[U]^∗)est ferm´e discret dansO^∗_v (et donc aussi dansK_v^∗).

D´emonstration. — Le groupek[U]^∗/k^∗est de type fini car on a une suite exacte

1→k^∗→k[U]^{∗ ⊕}^val→^w M

w∈S

Z.

Du coup, si on pose O_v¹:={x∈ O_v|v(x−1)>0} et si on notek(v) le corps r´esiduel deOv, alors dans le groupeK_v^∗∼=Z×k(v)^∗× O_v¹, on a :

ιv(k[U]^∗)⊂k(v)^∗× O¹_v,

et il suffit de démontrer queιv(k[U]^∗)∩ O_v¹est discret vu quek(v)^∗ est discret. Comme ι_v(k[U]^∗) ∩ O¹_v s’injecte dans le groupe de type fini ιv(k[U]^∗/k^∗), il est lui même de type fini. Étant donné que O¹_v ∼= k[[t]], il suffit de démontrer le lemme qui suit :

Lemme 3.3. — Soit H un sous-groupe de type fini du groupe additif k[[t]]. AlorsH est ferm´e discret dansk[[t]].

Notons que c’est précisément ce résultat qui est clairement faux si on remplacek[[t]] par l’anneau des entiers d’un corps complet pour une valuation discrète d’inégale caractéristique commeQp : par exemple, le sous-groupe de type finiZn’est pas fermé dansZp.

Démonstration du lemme. — Soit (z1, . . . , zm) une famille génératrice de H (on peut même supposer que c’est une base puisque H est libre,

étant de type fini et sans torsion). Soit (x_n)n une suite à valeurs dans H qui converge vers un certainy∈k[[t]]. Écrivons :

x_n=a⁽ⁿ⁾₁ z₁+· · ·+a⁽ⁿ⁾_m z_m aveca⁽ⁿ⁾₁ , . . . , a⁽ⁿ⁾m entiers. ´Ecrivons aussi :

zj =X

i>0

z^(j)_i tⁱ, y=X

i>0

yitⁱ. On a donc

x_n=X

i>0 m

X

r=1

a⁽ⁿ⁾_r z_i^(r)

! tⁱ.

Par d´efinition de la topologie surk[[t]], la convergence de la suite (x_n) vers ysignifie que pour chaquei>0, il existeni>1 tel que, pour toutn>ni, on a :

yi =a⁽ⁿ⁾₁ z⁽¹⁾_i +· · ·+a⁽ⁿ⁾_m z^(m)_i .

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Notons :

Ms:={(b1, . . . , bm)∈Q^m| ∀i∈ {0,1, . . . , s}, yi =b1z_i⁽¹⁾+· · ·+bmz^(m)_i }, de sorte que (a⁽ⁿ⁾₁ , . . . , a⁽ⁿ⁾m )∈M_spourn>max{n₀, . . . , n_s}. On remarque que lesMsforment une suite d´ecroissante de sous-espaces affines non vides deQ^m. Par cons´equent, si M_∞ :={(b1, . . . , bm)∈ Q^m|y =b1z1+· · ·+ b_mz_m}, il existe s₀>0 tel que :

Ms₀ =Ms₀+1=· · ·=M_∞.

En notantN = max{n0, . . . , ns₀}, on a donc (a⁽ⁿ⁾₁ , . . . , a⁽ⁿ⁾m ) ∈M_∞ pour n>N. La suite (x_n) est donc stationnaire, ce qui ach`eve la preuve.

Proposition 3.4. — L’imageι(K^∗)deK^∗ dansQ0

v∈U⁽¹⁾K_v^∗ en est un sous-groupe discret (donc ferm´e).

Démonstration. — D’après le lemme 3.1, le sous-groupeι(k[U]^∗) est un voisinage ouvert de {1} dans ι(K^∗). Choisissons v ∈ X⁽¹⁾. D’après le lemme 3.2,ιv(k[U]^∗) est discret dans K_v^∗, donc a fortiori ι(k[U]^∗) est un sous-groupe discret de Q0

v∈U⁽¹⁾K_v^∗ (la topologie induite par Q0

v∈U⁽¹⁾K_v^∗ est au moins aussi fine que celle induite parK_v^∗). Comme ι(k[U]^∗) est un voisinage ouvert de{1} dans ι(K^∗), cela montre que{1} est ouvert dans ι(K^∗), autrement ditι(K^∗) est un groupe discret.

On va maintenant traiter le cas d’un tore quelconque. Rappelons qu’un K-tore T est quasi-trivial si ˆT est un module galoisien de permutation (i.e. il existe une base de ˆT en tant que groupe abélien qui est stable par l’action de Galois). De fa¸con équivalente, cela signifie queT est isomorphe à un produit de tores de la formeR_E_i_/KGm(oùR_E_i_/Kdésigne la restriction de Weil deE_i àK,E_i étant une extension finie de corps deK). Tout tore se plonge dans un tore quasi-trivial, car tout module galoisien de type fini est quotient d’un module de permutation.

Corollaire 3.5. — SoitRunK-tore quasi-trivial. L’image de l’injection diagonale :

R(K)→ Y⁰

v∈U⁽¹⁾

R(Kv) est ferm´ee discr`ete dans Q0

v∈U⁽¹⁾R(Kv).

D´emonstration. — ´Ecrivons R = R_E/K(Gm) avec E = E1× · · · ×Er

et E₁, . . . , E_r des extensions finies de K. Soient X₁,. . .,X_r des courbes projectives lisses surKtelles queK(Xi) =Eipour chaquei. Les extensions

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E_i/Kinduisent bien sˆur des morphismesπ_i:X_i→X. NotonsU_i=π⁻¹_i (U) pour chaquei. L’injection naturelle :

R(K)→ Y⁰

v∈U⁽¹⁾

R(K_v)

s’identifie alors, via le lemme de Shapiro, `a l’injection naturelle : Y

i

E_i^∗→Y

i

Y⁰

w∈U_i⁽¹⁾

E_i,w^∗ .

D’après la proposition 3.4, son image est bien fermée discrète.

Théorème 3.6. — SoitTunK-tore. Considérons l’injection diagonale : ιT :T(K)→ Y⁰

v∈U⁽¹⁾

T(Kv). Son image est ferm´ee discr`ete dansQ0

v∈U⁽¹⁾T(Kv).

D´emonstration. — Soitf :T→RunK-morphisme injectif vers un tore quasi-trivialR. On a un diagramme commutatif `a lignes exactes :

0 //T(K)

ι_T

//R(K)

ι_R

0 //Q0

v∈U⁽¹⁾T(K_v) //Q0

v∈U⁽¹⁾R(K_v) L’image de ιRétant fermée discrète dansQ0

v∈U⁽¹⁾R(Kv) d’apr`es le lemme 3.5, il en est de mˆeme de l’image deιT dansQ0

v∈U⁽¹⁾T(Kv).

4. Cas k alg´ebriquement clos

Soit K le corps des fonctions d’une courbe projective et lisseX sur un corps k de caractéristique zéro. Fixons quelques notations, qui seront en vigueur jusqu’à la fin de l’article :

Notation 4.1. — LorsqueT est unK-tore et S une partie finie deX⁽¹⁾, on note :

A(S, T) :=



 Y⁰

v∈U⁽¹⁾

T(K_v)



/T(K)

o`u U = X \ S et on a identifi´e T(K) avec son image diagonale dans Q0

v∈U⁽¹⁾T(Kv).

(13)

Notation 4.2. — SoitTunK-tore. SoitT un tore sur un ouvert non vide U deX ´etendant T.

On pose :

P⁰(T) := Y⁰

v∈X⁽¹⁾

T(Kv),

(le produit restreint ´etant relatif aux T(O_v)) et on munit P⁰(T) de sa topologie de produit restreint.

Pour tout module galoisien M surK et touti >0, on pose :

Xⁱ(K, M) := ker



Hⁱ(K, M)→ Y

v∈X⁽¹⁾

Hⁱ(K_v, M)



.

Dans cette section, le corpsk est supposé algébriquement clos. Nous allons voir que dans ce cas, on peut déterminer beaucoup plus précisément A(S, T) (qui est aussi le défaut d’approximation forte d’après le théo- rème 3.6).

4.1. Structure de A(S, T)

Lemme 4.3. — Soit S une partie finie de X⁽¹⁾. Notons U =X \S et consid´erons le groupe :

A(S,Gm) :=



 Y⁰

v∈U⁽¹⁾

K_v^∗



/K^∗.

(1) Si S =∅, le quotient A(S,G_m) de A(S,G_m) par son sous-groupe divisible maximal est isomorphe `aZ.

(2) SiS6=∅, le groupe A(S,Gm)est divisible.

Démonstration. — En considérant la valuation en chaque v ∈ U⁽¹⁾, on définit une flèche surjective Q0

v∈U⁽¹⁾K_v^∗ → DivU, induisant une fl`eche surjective Q0

v∈U⁽¹⁾K_v^∗ → PicU dont le noyau est le sous-groupe K^∗Q

v∈U⁽¹⁾O^∗_v. Comme par ailleurs on a K^∗ ∩Q

v∈U⁽¹⁾O^∗_v = k[U]^∗, on obtient une suite exacte :

(4.1) 0→



 Y

v∈U⁽¹⁾

O^∗_v



/k[U]^∗→A(S,Gm)→Pic(U)→0.

Pour chaquev ∈ U⁽¹⁾, le groupeO^∗_v est divisible par le lemme de Hensel car le corps résiduel deOv est algébriquement clos de caractéristique zéro.

(14)

SoitJ la jacobienne de la courbeX. On a alors une suite exacte scindée par le choix de tout point fermé de X (qui est un k-point puisque k est algébriquement clos) :

0→Pic⁰X 'J(k)→PicX →Z→0, et PicU est le quotient de PicX par l’image deL

v∈SZ.v. Comme J(k) est divisible (toujours parce que k est algébriquement clos), il en résulte que Pic(U) est isomorphe àZsiS=∅et il est trivial sinon. On en déduit la même propriété pour A(S,Gm) via la suite exacte (4.1), dont on a vu

que le groupe de gauche est divisible.

Remarque 4.4. — SoitT un tore quasi-trivial sur K. Le lemme 4.3 im- pose queA(S, T) est divisible siS 6=∅ et que :

A(∅, T)∼=Z^r^T o`ur_T = rgH⁰(K,Tˆ).

Théorème 4.5. — Supposons quekest algébriquement clos. SoitT un K-tore.

(1) Le groupe A(∅, T) est un groupe ab´elien de type fini de rang rg(H⁰(K,Tˆ)).

(2) SoitS une partie finie non vide de X⁽¹⁾. Alors le groupe A(S, T) est divisible.

Pour démontrer ce résultat, nous aurons notamment besoin du théorème suivant, qui correspond au casd=−1 de [12, Th. 2.7] :

Théorème 4.6 ([12, Th. 2.7]). — Soit F un module galoisien fini sur K. SoitF⁰= Hom(F,Q/Z). On a une suite exacte à 6 termes :

0 //H⁰(K, F) //Q

v∈X⁽¹⁾H⁰(Kv, F) //H¹(K, F⁰)^D

0 H⁰(K, F⁰)^Doo L

v∈X⁽¹⁾H¹(K_v, F)

oo H¹(K, F).oo

Démonstration du théorème 4.5. — Donnons-nous une partie finie S (éventuellement vide) de X⁽¹⁾ et notons U = X \S. D’après le lemme d’Ono (cf. par exemple [18, lemme 1.7]), il existe un entierm >0 et une suite exacte :

0→F →R0→T^m×R1→0

tels queF est unK-groupe ab´elien fini et R₀ et R₁ sont des tores quasi- triviaux. Observons que comme F est fini, le groupe Q0

v∈U⁽¹⁾F(Kv) est

(15)

simplementQ

v∈U⁽¹⁾F(K_v) ; d’autre part, le groupeQ0

v∈U⁽¹⁾H¹(K_v, F) est en faitL

v∈U⁽¹⁾H¹(Kv, F) : en effet, on peut étendreF en un schéma en groupes fini étaleF au-dessus d’un ouvert de Zariski non videU₀ de X, après quoi on a, pour tout v ∈ U₀⁽¹⁾, l’égalité H¹(O_v,F) = 0 puisque le corps résiduelkdeOv est algébriquement clos.

On obtient alors un diagramme commutatif `a colonnes exactes :

0

F(K)

//Q

v∈U⁽¹⁾F(K_v)

R0(K)

//Q0

v∈U⁽¹⁾R0(Kv)

T(K)^m×R1(K)

//Q0

v∈U⁽¹⁾(T(Kv)^m×R1(Kv))

H¹(K, F) //

L

v∈U⁽¹⁾H¹(K_v, F)

0 0

Une chasse au diagramme permet de montrer qu’on a alors (en notant pour simplifier H¹(K, F) l’image de H¹(K, F) dans L

v∈U⁽¹⁾H¹(Kv, F)) une suite exacte :

(4.2) 0→N →A(S, R0)→A(S, T)^m×A(S, R1)

→



 M

v∈U⁽¹⁾

H¹(K_v, F)



/H¹(K, F)→0,

avecN un groupe abélien d’exposant fini. CommeA(S, R₀) est un groupe abélien sans torsion d’après la remarque 4.4, l’image deN dans A(S, R0) est contenue dansA(S, R₀)div. CommeA(S, R₀) est isomorphe au produit direct deA(S, R0) et deA(S, R0)div, on déduit de la suite (4.2) que l’on a

(16)

aussi une suite exacte :

(4.3) 0→A(S, R₀)×D₀→A(S, T)^m×A(S, R₁)

→



 M

v∈U⁽¹⁾

H¹(Kv, F)



/H¹(K, F)→0, où D₀ est un groupe divisible. Or la suite exacte de Poitou–Tate pour un module galoisien fini surK (théorème 4.6) implique, en posant F⁰ :=

Hom(F,Q/Z), que :



 M

v∈X⁽¹⁾

H¹(Kv, F)



/H¹(K, F)∼=F⁰(K)^D, et donc le groupe :

MU :=



 M

v∈U⁽¹⁾

H¹(Kv, F)



/H¹(K, F)

est fini ; de plus, ce groupe est nul si U 6= X, c’est-`a-dire si S 6= ∅ ([2, Prop. 3.2.iii]).

En appliquant le lemme 2.1, on obtient alors la suite exacte : (4.4) 0→A(S, R0)→A(S, T)^m×A(S, R1)→MU →0.

(1) Supposons d’abord queS=∅. Dans ce cas, la remarque 4.4 montre queA(∅, R0)∼=Z^r⁰ (resp.A(∅, R1)∼=Z^r¹) pourr0= rgH⁰(K,Rˆ0) (resp.r1= rgH⁰(K,Rˆ1)). On en d´eduit queA(∅, T) est un groupe ab´elien de type fini de rang :

r0−r1

m = rgH⁰(K,Tˆ^m)

m = rgH⁰(K,Tˆ).

(2) Supposons maintenant que S est non vide. Dans ce cas, la remarque 4.4 montre que A(S, R0) et A(S, R1) sont divisibles. Par cons´equent,A(S, T)^m∼=M_U est nul etA(S, T) est divisible.

Corollaire 4.7. — Supposons que k est alg´ebriquement clos. Soit T unK-tore. Le groupeA(∅, T)est fini si, et seulement si,T est anisotrope.

4.2. Une application aux groupes linéaires connexes On suppose toujours que K est le corps des fonctions d’une courbe projective et lisseX sur un corps algébriquement clos de caractéristique zéro

(17)

k. Soit S un ensemble fini de points fermés de X. Dans ce paragraphe, on étend le théorème 4.5(2) à unK-groupe algébrique linéaire connexeG quelconque. On noteG(S,A_K) le produit restreint desG(K_v) pourv6∈S etG(K)adh l’adhérence deG(K) dansG(S,AK), puisA(S, G) l’ensemble quotientG(S,AK)/G(K)_adh, qui est donc le défaut d’approximation forte en dehors deS.

Théorème 4.8. — SoitSun ensemble fini non vide de points fermés de X. SoitGunK-groupe linéaire connexe. AlorsG(K)adhest un sous-groupe normal deG(S,AK)et le quotientA(S, G)est un groupe abélien divisible.

Démonstration. — On va déduire ce résultat du théorème 4.5(2) et du théorème principal de [2], en suivant une méthode un peu similaire à celle de [18, Th. 3.3].

On commence par observer que comme le corps K et les complétés K_v sont C₁, le théorème de Steinberg ([20, §III.2.2., Th. 1]) assure que H¹(K, L) = H¹(Kv, L) = 1 pour tout groupe linéaire connexe L. Il en résulte que toute suite exacte deK-groupes linéaires connexes

1→L1→L2→L3→1 induit une suite exacte de groupes

1→L₁(K)→L₂(K)→L₃(K)→1,

et de même si on remplaceK par K_v. On en déduit immédiatement par dévissage que siL1 et L3 satisfont l’approximation forte en dehors de S, il en va de même de L2. Or, le groupe additifGa vérifie l’approximation forte en dehors deS parce que S est non vide, d’après le théorème d’approximation forte pour les anneaux de Dedekind ([1, Th. 10.5.10]) appliqué

à l’anneau des fonctions régulières sur la courbe affineU :=X−S. Comme tout groupe connexe unipotent en caractéristique zéro s’obtient à partir du groupe trivial via des extensions successives parG_a, on en déduit que toutK-groupe unipotent connexe satisfait l’approximation forte en dehors deS.

SiUdésigne le radical unipotent deG, le quotientH :=G/Uest réductif ; de plus, comme K est de caractéristique nulle, en tant que K-variété, G est isomorphe au produit U ×_K H par le théorème de Mostow ([11, Th. VIII.4.3]). Il en résulte queG(K)adhest l’image réciproque deH(K)adh

par la surjection canonique G(S,A_K) → H(S,A_K). Pour démontrer le théorème, on peut donc supposer queGest réductif.

(18)

On sait alors que G s’ins`ere dans une suite exacte de K-groupes alg´e- briques

1→L→G→T →1,

où L = [G, G] est semi-simple et T est un tore. Le théorème de Stein- berg fournit encore un diagramme commutatif à lignes exactes de groupes topologiques

1 //L(K) //

G(K) ^ϕ //

T(K) //

θ

1

1 //Q0

v6∈SL(Kv) //Q0

v6∈SG(Kv) ^u //Q0

v6∈ST(Kv) //1 Soit I = u⁻¹(Imθ). Comme T(K) est ferm´e dans Q0

v6∈ST(K_v) d’après le théorème 3.6, le sous-groupe I est fermé dans Q0

v6∈SG(Kv), et il est

´egalement normal carQ0

v6∈ST(Kv) est abélien. AinsiIcontient l’adhérence G(K)adh. On obtient un diagramme commutatif à lignes exactes

1 //L(K) //

i

G(K) ^ϕ //

T(K) //

θ

1

1 //Q0

v6∈SL(Kv) //I ^u //Imθ //1

o`u la fl`eche θ est maintenant surjective. Comme L(K) est dense dans Q0

v6∈SL(Kv) d’après le théorème 3.4 de [2], une chasse au diagramme immédiate donne alors queG(K)adh=I. Ainsi

A(S, G) =



 Y⁰

v6∈S

G(Kv)



/I ∼=



 Y⁰

v6∈S

T(Kv)



/T(K) =A(S, T) est bien un groupe ab´elien divisible, ce qui ach`eve la preuve.

Remarque 4.9. — Dans le cas où S = ∅ et G = G₀×k K (où G₀ est unk-groupe linéaire), on peut prendre G =G×kX comme modèle deG au-dessus deX. Alors, l’intersection

G(K)∩ Y

v∈X⁽¹⁾

G(Ov) =G(X) = Homk(X, G₀)

est réduite àG0(k) car X est projective et G0 affine surk. On en déduit immédiatement que G(K) est discret dans G(∅,A_K) (ceci pour k quelconque). Il ne semble pas y avoir de bonne description de l’ensemble quo- tientG(∅,A_K)/G(K) en général (même siGest semi-simple et simplement connexe), tout comme dans le cas d’un corps de nombres ou d’un corps de

(19)

fonctions sur un corps fini où il faut toujours enlever au moins une place pour obtenir des énoncés d’approximation forte. Nous allons voir au paragraphe suivant que la situation est meilleure si on se limite aux tores.

4.3. Suite de Poitou–Tate

Soit T un K-tore. Notre but ici est de traiter le cas d = −1 du théorème 3.20 de [12], et d’en déduire une suite exacte analogue à celle du corps de classes global reliant A(∅, T) à un groupe de cohomologie galoisienne surK associé àT. Dansloc. cit., où le corpskest un corpsd-local, c’est le complexe motiviqueZ(d) qui apparaˆıt. Suivant une suggestion de B. Kahn, que nous remercions pour son aide, c’estQ/Z(−1) qui va jouer ce rôle dans notre casd=−1. Plus précisément, on pose, en suivant [15], définition 4.1 :

Te= ˆT⊗Q/Z(−1).

Rappelons que G_m=Z(1)[1] dans la catégorie dérivée des modules ga- loisiens surK. On a alors ([15], section 5) dans cette catégorie un accouplement naturel :

(4.5) T⊗^LTe→Z(1)[1]⊗^LQ/Z(−1)→Z[2].

Pourv∈X⁽¹⁾, on obtient alors un accouplement naturel en cohomologie : (4.6) H⁰(Kv, T)×H⁰(Kv,Te)→H²(Kv,Z)∼=Q/Z.

Notons queTeest de torsion, avecnTe= ˆT⊗Z/nZ(−1) pour toutn >0.

Rappelons que pour tout groupe abélien A, on note A_∧ la limite projective lim←−n>0A/nA et A^∧ le complété profini de A. Ces deux groupes co¨ıncident dès queA/nAest fini pour toutn >0.

Lemme 4.10. — Soit v ∈X⁽¹⁾. L’accouplement (4.6)induit un accouplement parfait entre un groupe profini et un groupe discret de torsion :

H⁰(Kv, T)∧×H⁰(Kv,Te)→Q/Z.

D´emonstration. — Soitn >0. On ´ecrit la suite exacte de Kummer 0→nT →T →^.n T →0.

On a H¹(Kv, T) = 0 (ce groupe est d’exposant fini par Hilbert 90 et H¹(K_v, T)/n s’injecte dans H²(K_v,_nT) via la suite de Kummer, avec de plus Kv de dimension cohomologique 1 comme corps complet pour une valuation discrète de corps résiduel algébriquement clos). Ainsi H⁰(Kv, T)/n ∼= H¹(Kv,nT). Par [17, partie I, exemple 1.10], le groupe