I. Rappels. 1 ) Définition. Ce nombre x est appelé le logarithme népérien de y. On le note ln y. 2 ) Exemples. e 1 donc ln1 0. e donc ln e 1.

TS La fonction logarithme népérien

Plan du chapitre :

I. Rappels

II. Commentaires

III. Propriétés immédiates (conséquences de la définition)

IV. Propriété liée à l’ordre

V. Propriétés algébriques

VI. Dérivée de la fonction logarithme népérien

VII. Étude de la fonction logarithme népérien

VIII. Limites de référence

IX. Fonctions associées à la fonction logarithme népérien

X. Fonctions logarithmes de base quelconquef

XI. Puissances réelles

Au XVII^e siècle, on déterminait la position des grands voiliers par des calculs astronomiques qui étaient facilités par l’usage des tables de « logarithmes ». Ces tables permettaient de « changer » des calculs avec des multiplications en calculs avec des additions.

Le livre dans lequel figuraient ces tables servait ainsi à déterminer et à noter sa position mais aussi à noter d’autres informations : la météo, l’état du navire, le moral de l’équipage… Ce journal de bord s’appelait un

« log-book ». On a conservé ce terme et lorsque son support a changé, que ce journal s’est écrit sur Internet, il s’est dénommé « web-log » qui par contraction a donné le mot « blog ».

John Napier (1550-1617) est un mathématicien écossais plus connu sous le nom francisé de Néper.

Il lui a fallu près de 20 ans pour mettre au point sa découvert des logarithmes. Il publie sa découverte en 1614 et donne une table des logarithmes.

I. Rappels 1°) Définition

On a démontré dans le chapitre sur les exponentielles que la fonction exp est strictement croissante sur R, et que e^x  _{x  } et e^x_{x  } 0.

D’après la version généralisée du TVI qui sera vue plus tard, on peut donc dire que pour tout réel y0, il existe un unique réel x tel que e^xy.

Ce nombre x est appelé le logarithme népérien de y. On le note ln y.

2°) Exemples

e01 donc ln10. e1e donc ln e1.

e est appelé le nombre de Néper ou la base du logarithme népérien.

Pour d’autres valeurs, on utilise la calculatrice (qui donne en général des valeurs approchées).

On n’utilise pas de parenthèses lorsque l’on a un nombre seul.

3°) Remarque

Le logarithme népérien d’un réel négatif ou nul n’existe pas dans R (la calculatrice affiche un message d’erreur du type « erreur : non real answer » lorsque l’on est en mode réel ; néanmoins, lorsque l’on est mode complexe, la calculatrice affiche un résultat complexe lorsqu’on lui demande le calculer le logarithme d’un réel

strictement négatif*, ce résultat sera interprété beaucoup plus tard dans le supérieur lors de l’étude des fonctions complexes). Ce résultat est un nombre complexe qui sera interprété plus tard dans le supérieur avec les fonctions complexes.

*Par exemple, le calcul de ln – 1 sur la calculatrice en mode réel donne « erreur : non real answer ».

 

4°) Exercice

Donner l’ensemble de définition des fonctions : f : x ln 3 – x g : x

 

^ln

 

^{x– 1 x4}



^

 f x existe

 

⇔ 3 x 0 ⇔ x3



^{; 3}



f    D

 ^{g x}

 

^{existe ⇔}

 

^{x1 x 4}



⁰

⇔x 4 ou x1 (tableau de signes non utile)



^{; 4}

 

^{1 ;}



g    ∪   D

Il est intéressant de tracer les courbes représentatives des fonctions f et g ; on peut ainsi vérifier d’une certaine manière, les ensembles de définition que l’on a trouvé précédemment.

5°) Vocabulaire

La fonction exp établit une bijection de R dans »^*_.

Cela signifie que tout élément de »^*_ admet un unique antécédent dans R par la fonction exp.

La fonction ln est la bijection réciproque de la fonction exp ; elle est définie sur »^*_ à valeurs dans R. exp

x y ln La fonction ln « renverse » les flèches.

On peut déjà observer graphiquement sur l’écran de la calculatrice que les courbes des fonctions exponentielles et logarithme népérien sont symétriques par rapport à la première bissectrice dans le plan muni d’un repère orthonormé. Cette propriété est générale pour une bijection et sa bijection réciproque.

II. Commentaires 1°) Aspect historique

Historiquement, la fonction ln est apparue avant la fonction exponentielle. La fonction ln est apparue au XVII^e siècle avec Néper et Briggs. La fonction exponentielle est apparue au XVIII^e siècle avec Euler.

La fonction ln a été inventée à la fin du XVI^e siècle pour aider les astronomes dans leurs calculs à une époque où les moyens de calcul étaient très limités (il n’y avait pas de calculatrice !) : elle permettait de transformer toute multiplication en addition comme nous le verrons avec la propriété fondamentale

2°) Expression

Nous admettrons que, comme la fonction exp*, la fonction ln n’admet pas d’expression à l’aide des symboles usuels.

*Remarque : Avec les limites, il existe pourtant une « expression » :

0

e lim

!

k n k x

n k

x k



  







mais cette « formule » n’est pas considérée comme une formule explicite.

On dit que la fonction ln est une fonction transcendante. Elle n’a pas de formule explicite par opposition aux fonctions algébrique (les mathématiciens ont démontré qu’il n’existe pas de formule explicite, résultat difficile).

C’est ce qui fait la complexité de cette fonction (et ce qui explique qu’elle ne soit étudiée qu’à partir de la terminale). Les mathématiciens ont certainement été troublés par cela.

On retiendra que la fonction ln fait partie de la famille des fonctions transcendantes comme les fonctions sinus, cosinus, tangente, Arccosinus, Arcsinus, Arctangente…

Nous verrons plus tard dans le cours que la fonction ln a pour dérivée la fonction « inverse » x 1 x sur



^{0 ; }



qui, elle, est algébrique et même rationnelle (ce qui est remarquable). On dit qu’elle fait partie de la famille des fonctions transcendantes à dérivée rationnelle.

3°) Calculatrice et logarithme népérien

La calculatrice utilise un algorithme de calcul (algorithme C.O.R.D.I.C.) pour donner le début de l’écriture décimale du logarithme népérien d’un réel.

4°) Utilisation

La fonction logarithme népérien, comme la fonction exponentielle, est une fonction d’une très grande importance.

Les fonctions logarithme népérien et exponentielle ont de nombreuses applications aussi bien en mathématiques (primitives, calculs d’aires…) qu’en sciences physiques (radioactivité, pH d’une solution…). Les applications mathématiques de la fonction logarithme népérien et exponentielle seront vues dans la suite du cours.

III. Propriétés immédiates (conséquences de la définition) 1°) Propriété 1 [équivalence fondamentale]

x *_

 » y » ylnx⇔ e^yx

2°) Propriété 2

x *_

 » e^lnxx

On dit, en mauvais langage, que le e « annule » le ln.

Cette propriété permet de simplifier des expressions.

Exemple : eln 22 3°) Propriété 3

 x » ln e^xx

On dit, en mauvais langage, que le ln « annule » le e.

Cette propriété permet de simplifier des expressions.

Exemple :

 

²

ln e 2

IV. Propriété liée à l’ordre 1°) Propriété

 

^{a b,}

 

^{* 2}

  » lnalnb ⇔ ab lnalnb ⇔ ab 2°) Démonstration

lnalnb⇔e^lnae^lnb (propriété de la fonction exponentielle) ⇔ ab

lnalnb⇔e^lnae^lnb ⇔ ab 3°) Interprétation

La deuxième inégalité de la propriété permet de dire que la fonction ln est strictement croissante sur »^*_. Nous le reverrons avec la dérivée dans le paragraphe VII.

Cette propriété est liée à la notion de bijection.

4°) Application aux équations et inéquations avec ln

 Exemple 1 :

Résoudre dans R l’équation lnx2 (1).

Condition d’existence : On doit avoir x0.

On résout l’équation (1) dans »^*_. (1) ⇔ xe² qui convient car e²0 Soit S l’ensemble des solutions de (1). ₁

 

²

1 e

S 

 Exemple 2 :

Résoudre dans R l’équation ^{ln 2}



^{x 1}

 

^{ln 5x}



^(2).

Conditions d’existence : On doit avoir 2 1 0

5 0

x x

  

  

 soit

1 2 5 x x

 

 



soit enfin 1 2 x 5.

On résout l’équation (2) dans l’intervalle 1 2; 5

 

 

 . (2) ⇔ 2x  1 5 x

⇔ 3x6

⇔x2 qui convient car 1

2 ; 5

2

 

  

Soit S l’ensemble des solutions de (2). ₂

 

2 2

S 

 Exemple 3 :

Résoudre dans R l’inéquation ^ln

 

^{x21 ln}

^

^x3

^

^(3).

Conditions d’existence : On doit avoir

2 1 0 (toujours vrai)

3 0

x x

  

  

 soit x 3.

On résout l’inéquation (3) dans l’intervalle



^{  3 ;}



^.

(3) ⇔x²1x3 ⇔ x² x 2 0 ⇔ x– 1 ou x2

Soit S l’ensemble des solutions de (3). ₃

   

3 3 ; 1 2 ;

S    ∪  

 Exemple 4 :

Résoudre dans R l’équation

 

^{lnx22 lnx 8 0 (4).}

Conditions d’existence :

On résout l’équation (4) dans l’intervalle »^*_.

On pose Xlnx.

(4) s’écrit X²2X 8 0 (4').

(4') ⇔X 4 ou X2 Or Xlnx.

Donc :

(4) ⇔ lnx 4 ou lnx2 ⇔ xe^4 ou xe²

Soit S l’ensemble des solutions de (4). ₄



^{4 2}



4 e ; e

S  ^

 Exemple 5 :

Résoudre dans R l’inéquation

 

^{lnx22 lnx 8 0 (5).}

Conditions d’existence :

On résout l’inéquation (5) dans »^*_. On pose Xlnx.

(5) s’écrit X²2X 8 0 (5').

(5') ⇔X 4 ou X2 Or Xlnx.

Donc :

(5) ⇔ lnx 4 ou lnx2 ⇔ xe^4 ou xe²

Soit S l’ensemble des solutions de (5). ₅

4 2

5 0 ; e e ;

S  ^   ∪   Bilan :

On retiendra que pour les équations et inéquations avec ln on doit commencer par chercher l’ensemble de résolution.

On fera bien la distinction entre la notion d’ensemble de résolution d’une équation avec la notion d’ensemble de définition d’une fonction (même s’il y a une similitude entre les deux).

5°) Signe du logarithme népérien d’un nombre

 Si x1, alors lnx0.

 Si 0 x 1, alors lnx0.

 Si x1, alors lnx0.

V. Propriétés algébriques

1°) Propriété 1 (propriété fondamentale)

• Énoncé

 

^{a b,}

 

^{* 2}

  » ^ln

 

^{ab lnalnb}

On dit que le logarithme népérien transforme les produits en sommes (alors que l’exponentielle transforme les sommes en produits).

• Exemple

 

ln 3 ln 4 ln 3 4 ln12

On peut utiliser la propriété dans les deux sens.

• en exercice

Vérifier que a0 et b0.

Si a0 et b0, alors ^ln

 

^{ab ln}

  

^{a b }^ln

   

^{a ln b} .

 

ln ab existe dans le cas où ab0 c’est-à-dire dans les deux cas suivants :

•a0 et b0 ;

•a0 et b0.

Il faut prendre garde que ^ln

 

ab n’existe pas dans le cas où ab0 c’est-à-dire dans les deux cas suivants :

•a0 et b0 ;

•a0 et b0.

Il est important de bien prendre conscience de ce point.

• Démonstration

  eln^ab ab

ln ln ln ln

e ^{a b}e ^ae ^bab

D’après la propriété d’égalité de deux exponentielles, ^ln

 

^{ab lnalnb.}

• Généralisation



^{a b c, ,}

  

^{* 3}

  » ^ln

 

^{abc lnalnblnc}



^{a a1, 2, ...,an}

  

^{* n}

  » ^ln



^{a a1 2 ... an}



^{lna1lna2 ... lnan}

2°) Propriété 2

• Énoncé

a *_

 » 1

ln ln a

a 

• Exemple ln1 ln 2

2 

• Démonstration

1 1

a a

ln a 1 ln1

a

  

 

 

prop. 1 propriété lna ln1 0

 a On en déduit que 1

ln ln a

a  .

3°) Propriété 3

• Énoncé

 

^{a b,}

 

^{* 2}

  » lna ln ln

a b

b 

• Exemple ln3 ln 3 ln 2

2 

• en exercice

Vérifier que a0 et b0.

Si a0 et b0, alors ^lna_b^ln^^a_b^^ln

   

^{a ln b}

• Démonstration 1 a a b b lna ln 1

b a b

 

    prop. 1

lna ln ln1 b a b prop. 2

lna ln ln

a b

b 

4°) Propriété 4

• Énoncé

a *_

 »  n » ^ln

 

^{an nlna}

• Exemple

 

²

ln 9ln 3 2 ln 3

• Démonstration 1^er cas : n0

fois n ...

n

a    a aa

  ^{ }

ln aⁿ ln a a  ... a prop. 1

 

_termes

ln ⁿ ln ln ... ln

n

a a a  a

 

ln aⁿ nlna 2^e cas : n0

On pose : m n 0

m

n m 1

a a m

a

  

 

¹

ln ⁿ ln

a m

a

 

   prop. 2

 

ln aⁿ  lna^m

m0 donc le 1^er cas s’applique.

 

ln aⁿ  mlna

 

ln aⁿ nlna 3^e cas : n0

0 1

a  (par définition)

 

⁰

ln a ln10

On peut donc écrire : ^ln

 

^{a0 0 lna}

Bilan : n » ^ln

 

^{an nlna}

5°) Propriété 5

• Énoncé

a *_

 » 1

ln ln

a2 a

• Exemples ln 3 1ln 3

2 0 a et b0

 

ln 1ln

a b 2 ab

• Démonstration

 

^{a 2a}

 

²

ln a lna prop. 4

2 ln alna ce qui donne immédiatement 1

ln ln

a2 a N.B. : Nous verrons plus tard que pour tout réel a0, on a :

1

aa2.

La propriété de ce paragraphe est une généralisation de la règle donnée au 4°) pour les exposants entiers relatifs.

Généralisation aux racines n-ièmes :

Pour n entier naturel supérieur ou égal à 2 et a réel strictement positif, on a 1 lnⁿa lna

n . 6°) Formulaire récapitulatif

 

ln ab lnalnb ln1 ln a

a  lna ln ln

a b

b 

 

ln aⁿ nlna

ln 1ln

a2 a

7°) Application aux puissances du nombre e

 »n ln eⁿnln en ln1 1

e  ln e 1

2

8°) Application à la résolution d’inéquations avec des puissances (fonction logarithme et valeur seuil) Exemple :

Déterminons les entiers naturels n tels que

 

^{0,9 n1}₂ ^(1).

Méthode :

On « prend » le logarithme népérien des deux membres.

On a l’impression que l’on complexifie mais en fait on simplifie le problème (comme souvent en mathématiques, on complexifie pour simplifier).

(1) ⇔^ln_

 

^{0, 9n}_^ln1₂

⇔ 1

ln 0,9 ln

n 2

: ln 0,9 ( ln 0,90 car 00,9 1 ) ⇔

ln1 2 ln 0,9 n

Avec la calculatrice, on trouve ln1

2 6,578...

ln 0,9 .

Or n».

Donc les entiers naturels n cherchés sont supérieurs ou égaux à 7.

VI. Dérivée de la fonction logarithme népérien

1°) Rappel [définition d’une fonction dérivable en un réel et du nombre dérivé]

On dit qu’une fonction f est dérivable en a lorsque le quotient ^{f x}

   

^{f a}

x a



 admet une limite finie lorsque x tend vers a.

Dans ce cas, la limite est appelée le nombre dérivé de f en a.

On la note ^f'

 

^{a .}

Le rapport ^{f x}

   

^{f a}

x a





est appelé taux de variation de f entre a et x.

2°) Démonstration

 

^ln

f x  x

On considère un réel a fixé dans »^*_.

On forme le rapport ^{f x}

   

^{f a}

x a



 où x est un réel strictement positif avec xa.

   

^{ln ln}

f x f a x a

x a x a

 

  

y b x a

 

 en posant ylnx et blna

e^y e^b y b

 

1

e e

y b

y b

 



Lorsque x tend vers a, y tend vers b (obtenu grâce à la continuité de la fonction logarithme népérien qui est admise cette année).

 

e e

exp'

y b

y b b

y b ^

 

 car la fonction exp est dérivable sur R, donc en particulier en b.

Or exp'exp (la dérivée de la fonction exponentielle est elle-même).

Donc ^exp'

 

^{b exp}

 

^{b eba.}

Donc e^y e^b

y b a

y b ^

 

 et par suite,

   

¹

x a

f x f a

x a ^ a

 

 .

Comme le résultat de la limite est finie, on en déduit que la fonction ln est dérivable en a et que le nombre dérivé de ln en a est 1

a. Ainsi, ^ln'

 

^{a 1}_a

Autres démonstrations :

- Dans le supérieur, on verra le théorème de dérivation d’une bijection réciproque qui permet de démontrer plus rapidement que la fonction ln est strictement croissante et dérivable.

- En admettant que la fonction ln est dérivable et en utilisant la relation



^ln○exp

 

^{x x.}

3°) Propriété

La fonction ln est dérivable sur »^*_ et  x »^*_ ^f'

 

^{x 1}_x^.

VII. Étude de la fonction logarithme népérien 1°) Définition

La fonction logarithme népérien est la fonction f : x ln x.

2°) Domaine de définition

* ln»

D

« à valeurs dans » (sans talon) On peut noter f : »^*_ R

x ln x

« a pour image » (avec talon) 3°) Dérivée

Nous avons démontré que la fonction f est dérivable sur »^*_ et que  x »^*_ ^f'

 

^{x 1}_x

4°) Tableau de variation

x 0 +  Signe de ^f'

 

^x +

Variation de la fonction f

+ 

–  5°) Limite en + 

lim ln

x_{  } x  

Démonstration : On se donne un réel A.

On pose Be^A.

Si xB, alors lnxlnB c’est-à-dire lnxA. Par définition, on obtient lim ln

x

   x  . 6°) Limite en 0⁺

0

lim ln

x _ x

   

Démonstration :

On effectue un changement de variable.

On pose 1

Xx ⇔ 1

xX (x → 0⁺) ⇔ (X → +)

lnx ln1

 X prop. 2

lnx lnX

 

lim ln

X X

       (d’après le 5°)) D’où

0

lim ln

x

 x

   

Conséquence graphique : La courbe représentative de la fonction logarithme népérien admet la droite d’équation x0 c’est-à-dire l’axe des ordonnées pour asymptote verticale.

7°) Tableau de valeurs (avec la calculatrice)

x 0,1 0,5 1 2 3 4 5

ln x

(valeurs arrondies au dixième) – 2,3 – 0,7 0 0,7 1,1 1,4 1,6

8°) Représentation graphique

O e

1 1

i j

9°) Tangente particulière au point d’abscisse 1

   

^{ln ' 1  1}₁ ¹

La tangente au point d’abscisse 1 a pour coefficient directeur 1.

10°) Tangente particulière au point d’abscisse e

L’équation réduite de la tangente au point d’abscisse e s’écrit :

   

^{ln ' e e}



^{ln e}

y x 

 

1 e 1

ye x  e 1 1 y  x

e yx

Cette tangente passe donc par l’origine du repère.

D’où le tracé de la tangente (on joint l’origine du repère au point d’abscisse e).

11°) Symétrie Propriété :

Dans le plan muni d’un repère orthonormé (ou normé c’est-à-dire dont les deux vecteurs de base ont la même norme), les courbes

C

_exp ^et

C

ln sont symétriques par rapport à la droite d’équation yx.

C^{ln : y}^lnx

Démonstration :

Pour tout réel a strictement positif, on a : e^lnaa.

Donc les points M



^{a; ln}a et N(ln a ; a) sont symétriques par rapport à la droite



 et appartiennent respectivement aux courbes représentatives de la fonction ln et de la fonction exp.

Cette propriété est à relier au fait que les fonctions exp et ln sont réciproques l’une de l’autre.

Il en est de même des courbes des fonctions « carré » et « racine carrée » sur



^{0 ; }



^.

VIII. Limites de référence

1°) 1^ère limite de référence (croissance comparée)

lim ln 0

x

x

   x  Démonstration :

On rencontre une F.I. du type « 

 », on va utiliser une méthode par changement de variable.

On pose ylnx ⇔ xe^y (x → + ∞) ⇔ (y → + ∞)

ln e^y

x y

x  1

e^y y



D’après le cours sur la fonction exponentielle

 

2 , on a : e lim

y

y^{  } y    donc ln

lim 0

x

x

   x  . Interprétation graphique :

La limite ln

lim 0

x

x

   x  permet de dire que la courbe représentative de la fonction logarithme népérien admet une branche parabolique de direction (Ox) en + .

2°) 2^e limite de référence

 

0

lim ln 0

x

x x

  

Démonstration :

On rencontre une F.I. du type « 0  ».

1^ère méthode :

On va utiliser une méthode par changement de variable.

On pose 1

Xx ⇔ 1

xX (x → 0⁺) ⇔ (X → + )

Réécriture : 1 1

ln ln

x x

X X



^_X¹



^{ln X}



ln X

  X

lim ln 0

X

X

   X

 

 

 

D’où _x^lim₀



^xlnx



⁰ 2^e méthode :

On pose ylnx ⇔ xe^y (x → 0⁺) ⇔ (y → – )

ln e^y

x xy

D’après le cours sur la fonction exponentielle, on a : y^lim

 

y^{ey 0}

    donc _x^lim₀



^xlnx



⁰. 3°) 3^e limite de référence : utilisation du nombre dérivé de la fonction ln en 1

 

0

limln 1 1

h

h

 h

 

On rencontre une FI du type « 0 0 ».

Démonstration :

On procède par une méthode par taux de variation.

On considère la fonction f : x ln x.

On effectue une réécriture.

   

ln 1 h f 1 h

h h

  

Or ln10.

On l’introduit de force pour faire apparaître un taux de variation.

     

ln 1 h f 1 h f 1

h h

   

Or comme la fonction f est dérivable sur



^{0 ; }



, par définition du nombre dérivé de f en 1, on a :

     

0

1 1

lim ' 1

h

f h f

f

 h

   .

Or ^{ x}



^{0 ; }



^f'

 

^{x 1}_x

donc ^{f' 1}

 

^1

Conclusion :

 

0

limln 1 1

h

h

 h

 

On peut aussi retenir

0

lim ln 1

1

h

x

 x 

 .

IX. Fonctions associées à la fonction logarithme népérien 1°) Propriété (découle de la formule de dérivée d’une composée)

u est une fonction définie et dérivable sur un intervalle I telle que  x I ^{u x}

 

^0.

La fonction f : x ^{ln u x}

 

^ est définie et dérivable sur I et  x I

   

 

' u x'

f x

u x . On retient :

 

^{lnu 'u}_u^'.

On pourra noter que fln^○u. 2°) Vocabulaire

Le quotient u'

u est appelé la dérivée logarithmique de u (vieux nom, que l’on utilisait beaucoup autrefois en sciences physiques avec les calculs d’erreurs en particulier).

On n’oubliera pas que u désigne une fonction dans cette formule.

3°) Exemple

f : x ^ln



^{x2 x 1}



 x » x²  x 1 0 donc f est définie sur R.

D’après la règle, f est dérivable sur R et x »

 

2

2 1

1 f ' x x

x x

 

  . 4°) Cas particulier

a et b sont deux réels tels que a0.

On note f la fonction définie par ^{f x}

  

^{ln ax b}



^.

(f x existe si et seulement si

 

ax b 0)

La fonction f est dérivable sur son intervalle de définition et  x

D

_f ^f'

 

^{x }_{ax b}^a_ ^.

On retiendra ^^ln



^{ax b}



^^'_{ax b}^a . 5°) Extension à un cas plus général

u est une fonction définie et dérivable sur un intervalle I telle que  x I ^{u x}

 

^0.

f : x ^{ln u x}

 

f est définie sur I.

Comme u est dérivable sur I, u est continue sur I, donc u est de signe constant sur I.

1^er cas :  x I ^{u x}

 

^0

I

 x ^{f x}

 

 ^{lnu x}

 

^ I

 x

   

 

' u x'

f x

u x

2^e cas :  x I ^{u x}

 

^0

I

 x ^{f x}

 

^ln^{u x}

 

^ On pose ^{v x}

 

^{ u x}

 

^.

ln f ^○v

On applique le 1°.

I

 x ^f'

   

^{x v xv x'}

 

 

 

' u x

u x





 

 

' u x

u x

On remarque que, dans les deux cas, on obtient la même expression sans valeur absolue.

I

 x

   

 

' u x'

f x

u x

On retient :



^{ln○ 'u}



^u_u^{' ou}



^{ln u}



^'u_u^'.

6°) Cas particuliers

• f : x ln x

* f »

D

^f'

_{ }

^{x 1}

x

(Faute à ne pas faire : ^f'

 

^{x  1}_x ⁾

• f : x ln ax b (où a et b sont deux réels tels que a0)

f \

b a

 

  

 

D

»

f est dérivable sur \ b a

 

 

 

» .

\ b

x a

 

   

 

» ^f'

 

^{x }_{ax b}^a_

• Attention

S’il n’y a pas de ln, on a un problème pour la dérivée de la fonction f : x x²1 .

x²1 si ^{x   }



^{; 1}

 

^{∪1 ; }



 

f x 

 x² 1 si ^{x }



^{1 ; 1}



On se place sur



^{  ; 1}



^,



^{1 ; 1}



^et



^{1; }



^.

On étudie ensuite directement la dérivabilité en 1 et en – 1.

X. Fonctions logarithmes de base quelconque 1°) Définition

a est un réel strictement positif tel que a1.

On appelle fonction logarithme de base a la fonction log_a: x ln ln x a.

On a donc : ln

log^a ln x x

 a. 2°) Cas particuliers

ae ln e1 x *_

 » _e ln

log ln

ln e x x x

La fonction logarithme de base e est la fonction logarithme népérien.

Le nombre de Néper e s’appelle d’ailleurs aussi la base du logarithme népérien.

a10 x *_

 » ₁₀ ln

log ln10

x x

log10x est noté log x.

(logarithme décimal de x)

log ln ln 10 x x

Sur calculatrice, on utilise la touche de calcul log . Application en chimie :

Le potentiel hydrogène d’une solution aqueuse est défini par pH log H O ₃ ^, la concentration en ions hydronium devant être exprimée en mol.L^1.

3°) Propriété

 Énoncé :

On a : ^loga

 

^{a 1.}

Plus généralement, n » ^loga

 

^{an n.}

 Démonstration :

 

^ln

log 1

a ln a a

 a

 

^{ln ln}

log ln

n n a

a n a

a  a 

ln a n

 Cas particulier du logarithme décimal :

On retiendra que log10 1 et que n » ^{log 10}

 

^{n n.}

3°) Propriétés algébriques

x et y sont deux réels strictement positifs.

n»

 

log_a xy log_axlog_ay log_a 1 log_ax

x 

log_a x log_a log_a

x y

y 

 

log_a xⁿ nlog_ax

log 1log

a x2 ax

Exemple de démonstration :

 

^ln

 

^{ln ln ln ln}

log log log

ln ln ln ln

a a a

xy x y x y

xy x y

a a a a

      

N.B. : On peut remplacer a par n’importe quel nombre strictement positif différent de 1.

4°) Exercice

Résoudre l’équation log ₂x3 (1).

Conditions d’existence : On doit avoir x0. On résout l’équation (1) dans l’intervalle



^{0 ; }



^.

Résolution :

(1) ⇔ ln ln 2 3

x

⇔ lnx3ln 2 ⇔lnxln 2³ ⇔ x8

Donc l’ensemble des solutions de (1) est ^S

 

^{8 .}

5°) Sens de variation

 Si a1, la fonction log_a est strictement croissante sur »^*_.

 Si 0 a 1, la fonction log_a est strictement décroissante sur »^*_. 6°) Une application du logarithme décimal

Le but de ce paragraphe est de trouver une formule donnant le nombre de chiffres d’un entier naturel.

Les nombres entiers naturels à 1 chiffre sont compris entre 10 (large) et ⁰ 10 (strict). ¹ Les nombres entiers naturels à 2 chiffres sont compris entre 10 (large) et ¹ 10 (strict). ² ….

Les nombres entiers naturels à n chiffres sont compris entre 10^n1 (large) et 10ⁿ (strict).

Par exemple, 10³2317 10 ⁴.

On considère un entier naturel non nul A à n chiffres (n1).

On a : 10^n1A 10 ⁿ (1).

(1) donne ^{log 10}

 

^n1 log A log10 ⁿ car la fonction log est strictement croissante sur »^*_. On a donc : – 1n log An (2).

(2) permet de dire que ^{n 1 E log A}

 

^{d’où nE log A}

 

^1.

On retiendra le résultat suivant dont il demandé de retenir la démonstration :

Le nombre de chiffres en base 10 d’un entier naturel A non nul est égal à ^{E log A}

 

^1.

Exemples d’utilisation :



^A2540

logA40 log 25 55, log A 9176

Le nombre de chiffres de A est égal à 55 1 56  . On aurait pu obtenir ce résultat avec la calculatrice.

En effet, avec la calculatrice, on obtient l’affichage suivant pour le calcul de A : 8.271806126 10 ⁵⁵. Il suffit d’ajouter 1 pour trouver qu’il y a 56 chiffres.



^B22013

log B2013 log 2 605,9 3 log B 73 

Le nombre de chiffres de B est égal à 605 1 606  .

Pour B, il n’est pas possible d’utiliser la calculatrice pour trouver le nombre de chiffres de l’écriture en base 10 de B. Celle-ci est en dépassement de capacité.

Exercice :

1°) Quel est le nombre de chiffres (0 ou 1) noté ^

 

ⁿ du développement d’un entier n1 en base 2 ? 2°) Exemple : Calculer ^



²⁰¹⁹



^.

XI. Puissances réelles 1°) Définition

Pour tout a0 et tout réel b, on note a le réel ^b e^blna. On retiendra que : a^be^blna.

2°) Exemples

 2^

Par définition, 2^e^{ln 2}.

Avec la calculatrice en utilisant directement la touche d’exposant, on trouve : 2^8,8249...



 

^2

La formule n’est pas applicable car  2 0 ;

 

^2 n’existe pas.

 La définition permet de définir en particulier des exposants fractionnaires (par exemple,

1

x ou 3 5

x pour 7

0

x ). Cela sera revu dans le cours sur les racines n-ièmes.

En particulier, pour x0, on a :

1

x2 x.

3°) Cas des exposants entiers, lien avec la définition de 4^e

n est un entier relatif quelconque.

ln ln

e^{n a}e ^anaⁿ n»

Pour un entier relatif, la définition du 1°) coïncide avec la définition connue.

4°) Signe d’une puissance réelle

 

^{a b, *}

 » » a^b0

5°) Logarithme népérien d’une puissance

 

^{a b, *}

 » » ^ln

   

^{ab ln eblna blna}

6°) Cas particuliers

• ae e^{xln e}e^x

• a1

1^xe^xln1e⁰1

7°) Propriétés algébriques

a et b sont deux réels strictement positifs.

x et y sont deux réels strictement quelconques.

x y x y

a a a ^

 

^{ax yaxy}

 

^{ab xa bx x}

x x

x

a a

b b

  

  

1 _x

x a

a

  x

x y y

a a

a

 

Démonstration de la 1^ère propriété :

ln ln

e e

x y x a y a

a a  

ln ln

y ex y

x a a

a a  ^

 ^ln

x y ex y a

a a  ^

x

x y y

a a a ^

8°) Lien avec le logarithme de base a

x *

y

  

 



»

»

 

* \ 1

a»_ log_axy⇔ ln

ln x y a ⇔ lny alnx ⇔^lnxln

 

^ay

⇔xa^y log_axy ⇔ xa^y

(xlny⇔ye^x)

Les fonctions log_a et x a sont réciproques l’une de l’autre. ^x

Cas particulier 10

a

log

y x ⇔ x10^y

Application en chimie :

Le potentiel hydrogène d’une solution aqueuse est défini par pH log H O ₃ ^, la concentration en ions hydronium devant être exprimée en mol.L^1.

On a donc pHlog H O ₃ ^. Par suite, H O₃ ^  10^pH.