EXERCICE 1
Donner la nature des intégrales suivantes :
1.
Z 1 0
√t Arctantdt t7→
√t
Arctant est continue sur ]0,1]donc localement intégrable ; elle y est également positive.
En 0 :
√t Arctant ∼
t→0
√1 t;
Z 1 0
√dt
t est une intégrale de Riemann convergente, donc par comparaison de fonctions positives,
Z 1 0
√t
Arctantdtconverge.
2.
Z 1 0
ln(t) t dt t7→ ln(t)
t est continue sur]0,1] donc localement intégrable.
Soitx >0, on a : Z 1
x
ln(t) t dt=
1 2(lnt)2
1 x
−→x→0−∞
On en déduit que l’intégrale Z 1
0
ln(t)
t dt diverge.
3.
Z +∞
0
sin 1
t2
dt t7→sin
1 t2
est continue sur ]0,+∞[donc localement intégrable.
En 0 : Pour t6= 0, on a
sin 1
t2
≤1 donc par comparaison Z 1
0
sin 1
t2
dt est absolument conver- gente donc convergente.
En +∞ :sin 1
t2
t→+∞∼ 1 t2;
Z +∞
1
1
t2dtest une intégrale de Riemann convergente, donc par compa- raison de fonctions positives sur [1,+∞[,
Z +∞
1
sin 1
t2
dt converge.
Finalement, Z +∞
0
sin 1
t2
dt converge.
EXERCICE 2
Etablir la convergence et calculer les intégrales suivantes :
1.
Z +∞
1
ln(t) t2 dt t7→ ln(t)
t2 est continue sur[1,+∞[donc localement intégrable.
Pour t≥1, on pose u(t) = lntetv(t) = −1
t ;u etv ainsi définies sont de classeC1 sur [1; +∞[, et lim+∞uv = 0 par croissances comparées.
Le théorème d’intégration par parties donne
Z +∞
1
ln(t)
t2 dt et Z +∞
1
−1
t2 dt de même nature, donc convergentes d’après le résultat sur les intégrales de Riemann, et par suite :
Z +∞
1
ln(t) t2 dt=
−lnt t
+∞
1
+ Z +∞
1
1 t2dt=
−1 t
+∞
1
= 1.
2.
Z 1 0
sin (ln(t)) dt
t7→sin (ln(t)) est continue sur]0,1] donc localement intégrable.
En posantu= lntil vientdu= dt
t et eudu= dt.
ϕ:u7→eu est de classeC1 surRet elle établit une bijection entre ]− ∞,0]et]0,1].
Le théorème de changement de variable donne Z 1
0
sin (ln(t)) dtet Z 0
−∞
sinueudu de même nature, et égales en cas de convergence.
Soitx≤0.
Z 0 x
sinueudu=Im Z 0
x
e(1+i)udu
=Im
"
e(1+i)u 1 +i
#0
x
=−1
2−ex(sinx−cosx)
2 −→
x→−∞−1 2 On en déduit que
Z 0
−∞
sinueudu converge, et par suite que Z 1
0
sin (ln(t)) dtconverge et vaut−1 2 Remarque : Une autre démonstration est proposée à la fin du corrigé.
EXERCICE 1
Donner la nature des intégrales suivantes :
1.
Z +∞
0
1−cos 1
t
dt
t7→1−cos 1
t
est continue sur]0,+∞[donc localement intégrable ; elle y est également positive.
En 0 : 0 ≤ 1−cos 1
t
≤ 2 donc par comparaison de fonctions positives, Z 1
0
1−cos 1
t
dt est convergente.
En +∞ : 1−cos 1
t
t→+∞∼ 1 2t2 ;
Z +∞
1
1
t2dt est une intégrale de Riemann convergente, donc par comparaison de fonctions positives,
Z +∞
1
1−cos 1
t
dtconverge.
Finalement, Z +∞
0
1−cos 1
t
dtconverge.
2.
Z +∞
1
ln(t) t dt t7→ ln(t)
t est continue sur[1,+∞[donc localement intégrable.
Soitx≥1, on a : Z x
1
ln(t) t dt=
1 2(lnt)2
x 1
x→+∞−→ +∞
On en déduit que l’intégrale Z +∞
1
ln(t)
t dtdiverge.
Autre méthode :Pour t≥e, on a : ln(t) t ≥ 1
t ; Z +∞
e
1
tdt est une intégrale de Riemann divergente, donc par comparaison,
Z +∞
e
ln(t)
t dtdiverge, donc Z +∞
1
ln(t)
t dtdiverge.
3.
Z +∞
1
1 t tan1
tdt t7→ 1
t tan1
t est continue sur [1,+∞[donc localement intégrable ; elle y est également positive.
En+∞:1 t tan1
t ∼
t→+∞
1 t2;
Z +∞
1
1
t2dtest une intégrale de Riemann convergente, donc par comparaison de fonctions positives,
Z +∞1 tan1
dt converge.
EXERCICE 2
Etablir la convergence et calculer les intégrales suivantes :
1.
Z 1 0
ln(t)
√t dt
t7→ ln(t)
√t est continue sur]0,1] donc localement intégrable.
Pour t > 0, on pose u(t) = lnt et v(t) = 2√
t; u et v ainsi définies sont de classe C1 sur ]0,1], et lim0 uv = 0, par croissances comparées.
Le théorème d’intégration par parties donne Z 1
0
ln(t)
√t dtet Z 1
0
√2
tdt de même nature, donc conver- gentes d’après le résultat sur les intégrales de Riemann, et par suite :
Z 1 0
ln(t)
√t dt= h
2√ tlnt
i1 0−2
Z 1 0
√1
tdt=−2h 2√
t i1
0 =−4.
Autre méthode : En posantu=√
t, il vient du= dt 2√
t.
ϕ:u7→u2 est de classe C1 surRet elle établit une bijection entre ]0,1]et lui même.
Le théorème de changement de variable donne Z 1
0
ln(t)
√t dtet Z 1
0
ln(u2) 2 dude même nature et égale en cas de convergence.
Pouru >0,ln(u2) = 2 ln(u)et Z 1
0
ln(u)duest une intégrale de référence convergente, donc Z 1
0
ln(t)
√t dt converge et
Z 1 0
ln(t)
√
t dt= 4 [uln(u)−u]10=−4, par croissances comparées.
2.
Z 1 0
cos (ln(t)) dt
t7→cos (ln(t))est continue sur ]0,1]donc localement intégrable.
En posantu= lntil vientdu= dt
t et eudu= dt.
ϕ:u7→eu est de classeC1 surRet elle établit une bijection entre ]− ∞,0]et]0,1].
Le théorème de changement de variable donne Z 1
0
cos (ln(t)) dtet Z 0
−∞
cosueudu de même nature, et égales en cas de convergence.
Soitx≤0.
Z 0 x
cosueudu=Re Z 0
x
e(1+i)udu
=Re
"
e(1+i)u 1 +i
#0
x
= 1
2 −ex(cosx+ sinx)
2 −→
x→−∞
1 2 On en déduit que
Z 0
−∞
sinueudu converge, et par suite que Z 1
0
sin (ln(t)) dtconverge et vaut 1 2.
x
On poseu(t) = cos (ln(t)), etv(t) =t;uetvsont de classeC1 sur[x,1]donc le théorème d’intégration par parties donne :
Z 1 x
cos (ln(t)) dt= [tcos (ln(t))]1x+ Z 1
x
tsin (ln(t))
t dt= 1−xcos (lnx) + Z 1
x
sin (ln(t)) dt.
Considérons l’intégrale Z 1
x
sin (lnt) dt.
On poseu(t) = sin (ln(t))etv(t) =t;uetv sont de classeC1 sur[x,1]donc le théorème d’intégration par parties donne :
Z 1 x
sin (ln(t)) dt= [tsin (ln(t))]1x− Z 1
x
tcos (ln(t))
t dt=−xsin (ln(x))− Z 1
x
cos (ln(t)) dt.
On obtient donc : Z 1
x
cos (ln(t)) dt= 1−xcos (lnx)−xsin (ln(x))− Z 1
x
cos (ln(t)) dtet donc Z 1
x
cos (ln(t)) dt= 1
2(1−xcos (lnx)−xsin (ln(x)).
En faisant tendre x vers 0, on retrouve le résultat déjà démontré !
