• Aucun résultat trouvé

Calculer la diff´erentielle de f en tout point

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Partager "Calculer la diff´erentielle de f en tout point"

Copied!
1
0
0

Texte intégral

(1)

Universit´e Claude Bernard - Lyon 1 Semestre de printemps 2019-2020 UE de calcul diff´erentiel et analyse complexe

Feuille d’exercices no2: Fonctions diff´erentiables

Exercice 1. (?) Soit B ∈ Mn(R) et soit f : Mn(R) → R d´efinie par f(A) = tr(AB). Calculer la diff´erentielle de f en tout point.

A quelle condition` Df est-elle surjective ?

Exercice 2. (?) SoitB∈Mn(R) et soitf l’applicationf :A∈Mn(R)7→AB. Calculer la diff´erentielle de f en tout point. En quels points Df est-elle surjective ? injective ?

Exercice 3. (?) Soit f l’application f :A∈Mn(R) 7→tr tAA

. Calculer la diff´erentielle def en tout point.

Exercice 4. (?) On note det et tr le d´eterminant et la trace d’une matrice de Mn(R). Montrer que la diff´erentielle de det en X∈Mn(R) est l’application H7→tr(tXH) o`u X est la comatrice deX.

Exercice 5. (?) Soit f : GLn(R) → R d´efinie par f(M) = M−1. D´eterminer la diff´erentielle de f, d’abord enM = In puis en un pointM quelconque.

Exercice 6. Soit (E,h , i) un espace euclidien et soit u un endomorphisme sym´etrique de E (i.e.

∀x, y∈E, hu(x), yi=hx, u(y)i).

1. On d´efinit f :E →R par f(x) = hu(x), xi. Montrer que f est diff´erentiable sur E et d´eterminer sa diff´erentielle en tout point.

2. Soit g:Er{0} →Rd´efinie par

g(x) = f(x) hx, xi. Montrer queg est diff´erentiable en tout point.

Montrer que pour touta∈Er{0}, on a :

Dg(a) = 0 ⇐⇒ a est un vecteur propre deu.

Exercice 7. (?) Soit f :R2 →Rune fonction diff´erentiable.

Pour α∈R, on dit que f est homog`ene de degr´eα si

∀t >0, ∀(x, y)∈R2, f(t(x, y)) =tαf(x, y).

Montrer quef est homog`ene de degr´e α si et seulement si

∀(x, y)∈R2, x∂f

∂x(x, y) +y∂f

∂y(x, y) =αf(x, y).

Pour l’implication “⇐”, on pourra consid´erer l’application g : t 7→ f(tx, ty)−tαf(x, y) sur R>0 et montrer que g est solution d’une ´equation diff´erentielle.

Exercice 8. (?) On note C0([0,1]) les fonctions continues sur [0,1]. Soit f : ϕ ∈ C0([0,1]) 7→

R1

0 ϕ4(t)dt∈R. Calculer la diff´erentielle de f. Exercice 9. (?) Soitf :ϕ ∈C2([0,1])7→ R1

00)2(t) ∈R. Calculer la diff´erentielle de f. Caract´eriser les ´el´ementsϕ∈C2([0,1]) tels que la diff´erentielle Df s’annule enϕ.

1

Références

Documents relatifs

[r]

[r]

Pourquoi une fonction harmonique sur une vari´ et´ e riemannienne compacte connexe est-elle n´ ecessairement

D´ emontrer le th´ eor` eme de Synge : une vari´ et´ e compacte, orien- table, de dimension paire et portant une m´ etrique ` a courbure sectionnelle stric- tement positive est

On se place sur une vari´ et´ e riemannienne (M n , g) compacte, orient´ ee et connexe, dont la connexion de Levi-Civita sera not´ ee ∇... Lieu des

D´ eterminer le champ de vecteur X sur T M dont ces courbes consti- tuent le flot... Soit λ un nombre

Reprendre la preuve de l’exercice pr´ ec´ edent en utilisant la r` egle de diff´ erentiation du point b)..

g est d´ efinie et deux fois d´ erivable sur R par composition de exp, d´ efinie et deux fois d´ erivable sur R et ` a valeurs dans I , et de y, d´ efinie et deux fois d´ erivable