Établissement des courants électriques dans un système quelconque de fils conducteurs immobiles

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Submitted on 1 Jan 1881

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Établissement des courants électriques dans un système quelconque de fils conducteurs immobiles

M. Brillouin

To cite this version:

M. Brillouin. Établissement des courants électriques dans un système quelconque de fils conducteurs immobiles. J. Phys. Theor. Appl., 1881, 10 (1), pp.257-266. �10.1051/jphystap:0188100100025701�.

�jpa-00237783�

257 Il est intéressan t de

rapprocher

^ces

expériences

de celles de

M.Koenig sur la

différence de

phase

^{de deux}

téléphones associés (1 ),

dans

lesquelles

^deux

diapasons ^{U, T4}

^{en relation}

téléphonique

^lui

ont donné une différence de

phase

^d’un

quart

de vibration.

Elles ne sont pas

rigoureusement comparables cependant,

^car,

dans celles de M.

Koenig,

^{c’est le mouvement même du}

premier diapason qui

donne naissance au courant d intensité variable

qui

excite le

second, tandis que,

^{dans les}

^lniennes,

^le courant est

produit

par une cause extérieure et le

premier diapason agit

seule1l1en!

comme

interrupteur brusque

^d’un courant constant

ÉTABLISSEMENT DES COURANTS ÉLECTRIQUES DANS UN SYSTÈME QUELCONQUE DE FILS CONDUCTEURS IMMOBILES (2);

PAR M. M. BRILLOUIN.

Lorsque

^{des courants}

électriques,

^{arrivés à l’état}

permanent,

^cir- culent dans ^un

système quelconque

^{de fils}

conducteurs,

^{les lois}

d’Ohlll

permettent

d’étudier facilement leur

répartition

^{entre ces}

fils.

Mais , pendant

^la

période ^variable,

^{ces lois ne sont}

plus applicables.

^Le

partage

^du courant entre les flls

dépend

^{alors des}

phénomènes

d’induction et n’a été

étudié,

^{à ma}

connaissance,

_que

dans un nombre restreint de cas

particuliers.

^{C’est l’étude}

générale

des lois de ce

partage,

aboutissant à une

règle précise

pour la formation de

l’équation algébrique unique

^à

laquelle

^{se ramène la}

question qui

^fait

l’objet

^{de ce travail.}

I. ^- Dans la

première Partie, j’étudie

^{un système}

simple,

^formé

de circuits ferlés voisins en nombre

quelconque.

La nécessité

physique

que l’intensité des courants ne croisse pas indéfinin1cnt avec le

temps

^{conduit aux}

conséquences

^sui-

van tes :

(1) Journal ^de Ph,.sÙjlle, ^t. ’%’III, p. 175.

(2) Je ^ne donne ici que ^la manière d’établir les équations ^du pt obicmc ^{et l’enonce}

des principaux résultats. Le lecteur honora le LI. tail des demonstrations et les

exemptes ^{dans mon Mémoire} original _, 1 hese pUll!’ le doctorat es sciences iiiathema-

tiques (Annales ^de l’rculc Normale, janvier 1881)].

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphystap:0188100100025701

1. Le

potentiel

d’un circuit fermé sur lui-même est

toujours positif.

Cela résulte aussi d’une manière évidente de la forme de

l’intégrale qui représente

^ce

potentiel.

2. Les

potentiels

^{sur eux-mêmes et les}

potentiels

^{mutuels d’un}

nombre

quelconque

^{ii de} circuits fermés satisfont

toujours

^{à la}

relation

(1)

où

Whk désigne

^le

potentiel

mutuel des deux circuits fermés

Iz, k,

et

Whh

^{le double du}

potentiel

^{du circuit It sur lui-même.}

Lorsqu’il n’y

^a que ^deux circuits

fermés,

^{cela se réduit à}

3. Si le

potentiel

^{d’un fil sur lui-même est}

^nul,

^le

potentiel

mutuel de ce fil avec un autre

quelconque

^{est aussi nul. Ce fil n’a}

plus

^aucune action inductrice.

(lue n’est là

qu’un

^cas

particulier

^d’une

propriété beaucoup plus générale

^{relative aux} déterminants A.

4. S’il _{n’est pas}

possible

de satisfaire

rigoureusement

^{à la con-}

dition limite

on

peut

^{du moins en}

approcher beaucoup.

Formons deux torons, l’un de ci

fils,

^{l’autre de b}

fils,

^{et enroulons-}

les côte à côte de manière à en faire ^une seule bobine.

Supposons qu’un

^courant parcoure successivement les ^a fils du

premier

^toron

et un autre les b fils du deuxième toron dans le même sens.

Soit w le

potentiel

^sur lui-même d’un seul fil enroulé comme

l’ont été les deux torons. Le

potentiel

111mutuel de deux fils ainsi

(1) ^{Dans la théorie de} l’induction de Maxwell (-4 ^{Treatise oti} electricit.)" ^alid magne- tism, ^t. Il, chap. VI), ^on déduirait immédiatement cette relation du ne 56G, chap. V,

sur les équations ^de Lagrange.

259 enroules ^{est à} peu

près

^{2 w, et l’on a}

ce

qui

^{donne bien}

5.

Quand

^un déterminant .1 est

nul,

^{il v a une} relation linéaire

entre les intensités dans les ^m fils

correspondants, indépendante

des dérivées des intensités.

Pour deux fils enroulés côte à

côte,

^{comme il vient d’être}

dit,

cette relation est

II. ^- 6. Les

systèmes qui

^font

l’objet

de la seconde Partie sont

formés de fils

qui

^se réunissent en certains

points

^{nommés sommets;}

ces fils sont

disposés

^{de telle sorte}

qu’on puisse toujours

aller d"une extrémité à l’autre d’un fil donné par ^un chemin

composé unique-

ment de fils différents du

premier:

^tout fil fait donc

partie

^d’un circuit fermé.

On

peut

^alors

négliger

^la

capacité

^{des fils et}

regarder

^chacun

d’eux comme parcouru ^à

chaque

instant par le même ^courant dans

toute sa

longueur.

^Il

s’agit uniquement

^{de fils}

qui

^{ne subissent ni}

déplacement

ⁿⁱ

déformation,

^{et dans le}

voisinage desquels

^aucun

aimant ^ne se

déplace.

^Les résistances sont

supposées

constantes, ainsi que laforce électromotrice des

piles.

^Les variations d’ntensité

peuvent

^{être dues à une} modification

quelconque

^de 1 étant du

réseau,

pourvu

qu’elle

^{laisse tous} les circuits fermés. Telles sont :

la fermeture simultanée de tous les circuits

qui

contiennent des

piles ;

^la substitution

instantanée,

^{à un nombre}

quelconque

^des

piles,

de fils de même

résistance,

^{ou la} substitution inBcr5c. Ces substitutions

peuvent

avoir lieu soit

pendant

^l’état permanent, ^soit à un moment

quelconque

^{de la}

période ^variable,

^ce

qui

^altère

brusquement

^les constantes

qui dépendent

^{de l’étal}

initial,

^sans

changer

^les

équations

différentielles.

7. Soniinets. ^- A

chaque

^sommet

correspond

^une

équation

de conservation de 1 électricité :

Les intensités _y sont

précédées

^du

signe

^{-;- ou -, suivant} que le

sens

positif

^{sur le fil}

correspondant

^est

dirigé

^{vers le sommet ou en}

sens inverse.

Croupes.

^{- Il}

peut

^arrivcr

qu’un

certain nombrc de ^sommets reliés entre eux par des fils ^ne soient reliés à aucun des autres sommcts : on dit alors que ^{les fils}

qui communiquent

^seulement

avec les

premiers

^{sommets forn1ent un} groupe distinct.

Soient g

^le

nombre de ces groupes dans le

système

^{de n fils} que ^{nous con-}

sidérons,

^{et s}

+ g

le nombre total des sommets. Il

n’y

^a que

.s équations

distinctes rclatives aux sommets. En

effet,

^en

ajoutant

toutes celles d’un mcme groupe, ^on obtient une

identité,

^{car toute}

intensité

qui

^{entre avec le}

signe

^{-E- dans}

l’équation

^{d’un sommet}

entre avec le

signe

^{- dans}

l’équation

^{d’un autre} du méme groupe

et n’entre pas ailleurs.

8. Pour établir les

équations

^{relatives à}

chaque fil,

^{il faut tenir}

compte

^{de deux sortes} d’actions : celles

qui proviennent

^{du courant}

électrique

^{ou de ses}

variations,

^{et celles}

qui

^{tiennent à} la distri- bution

superficielle

^de l’électricité sur les conducteurs.

Occupons-

nous d’abord des

premières.

9. Force électromotrice d’induction.

Lorsque

^{dem circuits}

fermés,

invariables de forme et de

position,

^sont parcourus par des courants

variables,

^{la force} électromotrice totale dans le

premier circuit,

^{duc à une} variation di1 dt dt de l’intensité dans le deuxième

circuit,

est, ^{comme on}

sait,

en

posant

2 étant

l’angle

des deux éléments

ils, cls’,

^{et r} leur distance

(’ ).

( 1 ) ^Cette expression de la force electromotrice due à la variation de l’intensité a

261 Il faut donc que la force électromotrice

produite

^{dans un élément}

di’

ds par ^{une variation} dt ^{dt dans un autre} élément ds’ soit de la forme

p étant

^une fonction de la distance seule des deux

éléments,

^con- dition nécessaire et suffisante pour que p

disparaisse

dans l’action de deux. circuits fermés.

Désignons

par ^oc,

B, ^{Y.1 ,} B’

des indices

qui

^se

rapportent aux

extrémi tés de deux fils ^non fermés . W

désignan t tou j ours

^{la même}

intégrale ^double,

^{étendue aux deux fils}

donnés,

la force électro- motrice dans le

premier ^fil,

^{due à une variation}

cI ¡i’

^{cit dt dans le}

deuxième,

^est

et, pour l’action de tous les fils du réseau

( 6 )

^{sur le}

premier ^fil,

c’est la ^somme de termes

pareils.

Groupons

^{tous les}

termes Pa,a’ qui

^se

rapportent

^{au même som-}

met

a’ ;

^{ils se réduisent au}

produit

de y«,«, par la dérivée de la ^somme des intensités

qui

aboutissent à ce sommet; comme Pa,a’

change

^de

signe

suivant que le ^sens

positif

^{choisi sur le fil est}

dirigé

^{vers le}

sommet ou en sens

inverse,

les intensités entrent dans la somme avec le méme

signe

que dans

l’équation

^{de ce sommet.} Ce coefficient

est donc

identiquement

^nul.

La force électromotrice dans ^un fil

donné,

^{due à} l’ensemble du réseau

(6),

^{est donc}

égale

^à

avec

utu établie par Felici ^au moyen d expériences directement inspirées ^des expéniences fondamentales d’Ampère ^en

Éiectrodynamique.

O11 sait aussi qu’il ^{est facile d’ima-} giner ^une loi d action des masses électriques ^{en mouvement} qui ^{ait à la} fois pour

conséquences les lois de l’Électrodynamique ^{et de} 1 induction. Celle de li°eber est 1.1

plus ^connue.

On verrait méme que,

s’il y

^{avait entre} deux éléments des actions électromotrices

proportionnelles

^aux dérivées successives des

intensités,

par le seul fait

qu’elles disparaissent

^de l’action mutuelle de deux circuits

fermés,

^elles

disparaîtraient

^{aussi du}

système (6).

10. Nous conserverons donc à

l’intégrale

^double

le nom de

potentiel

^{mutuel ou}

coefficient

d’induction mutuelle des deux

fils, puisqu’elle

^définit

complètement

^{la force électro-}

motrice des deux

fils, quand

^{ils font}

partie

^{du réseau} que

j’étudie.

Rappelons

que, par ^sa forme

même,

^elle fournit les lois d’addi- tion suivante

10 Le

potentiel

^mutuel de deux circuits

forlnés

^{chacull de}

plusieurs parties

^est

égal

^{à la SOl1une des}

potentiels

^{mutuels (le}

toutes les

parties

^{de l’un avec ta utes} celles de l’autre circuit.

2°

Lorsque

les deux éléments

appartiennent

^{au même}

fil,

^{c’est la}

moitié de

l’intégrale qu’on appelle potentiel du fil

^{Slll’ lui-même}

ou

coefficient

^de

self-induction.

Le potentiel sur

llli-1Jlélne

d’un fil formé de plusieurs parties est égal à

^{la somme des}

potentiels

^sur elles-lnêlnes de

chaque partie, augmentée de

^{la SOlJl1ne des}

potezztiels mzct zcels

^{de toittes}

ces parties

entre elles.

11.

Équations

^{dit mouvement} de l’électricité dans un

quelconque

des

fils.

^{---- Soit AB un}

^fil,

^sur

lequel

^la direction AB est choisie arbitrairement comme

positive.

^Une

pile

^est

placée

^{sur ce}

^fil;

^sa

force électromotrice

rapportée

^à la direction

po si tiye

^{sur le}

^fil,

c’est-à-dire l’accroissement de

potentiel électrostatique qu’on

^ob-

serve en la traversant de A vers

B,

^{est E.}

Soient

V,, VB

^les

potentiels électrostatiques

^aux extrémités

A,

^B

du

fil ;

^{la force} électromotrice due à la distribution

superficielle

^de

l’électricité est

Pendant le

temps clt,

la chaleur

dégagée

^{dans le fil est R i2dt.}

Le travail

chimique

^{de la}

pile

^{est E i clt.}

263 Le travail des forces

électromotrices,

^tant

électrostatiques

qui

d°induction,

^est

enfin,

les circuits étant invariables de forme et de

position,

^le

travail des forces

électrodynamiques

^{est nul.}

L’éduation

des forces vives donne donc

ou

Ces

équations

^{sont en nombre}

égal

^{à celui des fils}

(1).

12.

Remarquons qu’elles

^ne contiennent que les différences des

potentiels électrostatiques

^{aux divers sommets. Comme}

chaque

groupe est, ^{à cet}

égard, complètement indépendant

^{des autres, on}

peut rapporter

^les

potentiels

^{des sommets à} celui d’un

quelconque

du même groupe. Le nombre des différences de

potentiel

^distinctes

qui

^{entrent dans les}

équations

d’un groupe ^est

égal

^{au nombre de,}

soJnmets, moins un ; pour le ^réseau entier contenant s

+g

^sommets

et

groupes, il

n’y

^a que s différences de

potentiel distinctes,

autant que

d’équations

distinctes de conservation de l’électricité.

13. Toutes les

équations

^{étant linéaires à} coefficients constants,

on sait

qu’on

^les

intégrera

par des ^sommes

d’exponentielles.

Posons donc

et formons

L’équation

^{en a. On sait}

quelle

résulte de l’élimination

(1) Si les fils se déplaçaient ^{ou se} deformaient, il faudrait remplacer ^{dans ces} équations ^{les termes}

W1p2013dip dt

^par

d (W1pip).

264

des constantes

A,

^{B entre les n}

équations

^{des fils}

et les s

équations

^{des fils}

qu’on

^{aura soin} d’écrire dans l’ordre des indices des sommets.

Cette

équation

^s’écrit immédiatement sous forme d’un déterminant de

(n

⁺

s)2 termes égalé

^{à zéro.}

Désignons-la par F (a) =

^o.

14. En

prenant l’équation

^{so us cette}

^forme,

^{on reconnaît facile-}

ment

qu’elle

^{est de}

degré

n 2013 s en x.

Par une transformation assez

simple,

^{on la ramène à une}

équation

très étudiée dont toutes les racines sont réelles et

inégales.

Ainsi,

^{toutes les racines de F}

(i)

^{= o sont réelles et}

inégales.

Il en résulte

qu’il

^ne

peut

s’introduire ni sinus ni cosinus du temps ^dczns

r expression

des intensités et des

potentiels

^{aux som-}

mets d’un

système quelconque

^de

fils

^{sOlunis aux seules loi.s de}

1"Indtictio7z

électrodynamique.

^Aucun

phémomène pé7»iodiqtte

^ne

peut y prendre

naissrzrzce.

On reconnaît très facilement

qu’il

^{n’en est}

plus

^{de même dès}

qu’on

^{introduit sur} le circui t ^un condensateur

(1).

1.5. Règle

pour écrire imnaédiaternent

l’équation qui

doii7ie les

exposants

^{a d’lln}

système quelconque

^{de bobines. -}

^Enfin,

^en

comparant

^les différentes manières de réduire le déterminant à

(n 2013 s)2

^{termes, on arrive à la}

règle

^{suivante :}

n, nombre total des

bobines;

g, nombre des groupes

distincts;

s +

nombre

^{total des sommets.}

Le

plus

^haut

exposant

^{de x est n - s, et}

l’équation

^est

e) ^{Journal de} Physique, ^t. IV, p. 88.

265

16. Former le

coefficient An-s-e.

^{- On a} choisi d’ayance arbi- trairement la direction

positive

^sur

chaque

^fil.

^Ecrivons

^{toutes les}

combinaisons

différentes E â e

des ^1l résistances. Pour chacune

d’elles, parmi

^les

^{n - ç}

^autres

résistances,

choisissons-en s telles

qu’au

^{moins une aboutisse à} chacun des s

+ g-

^{sommets. Si c’est}

impossible,

^cette combinaison n’entre pas dans le ^terme

An-s-e.

^Si

c’est

possible

^de

plusieurs ^manières,

^{fixons notre choix sur une,}

n’importe laquelle d’ailleurs,

^{et ne nous} occupons pas des ^autres.

Formons tous les circuits

fermés qu’on peut

^{obtenir avec un} nombre

quelconque

des s fils et un seul des ⁿ

-e-

^{s. Ils sont}

au nombre de

n-e-

^s. Au moyen des

potentiels

^{des fils}

pris

dans le sens

positif, ^formons, d’après la règle du

^no

10,

^les

potentiels

de tous ces circuits sur eux-mêmes et entre eux, ^et écrivons le déterminant

symétrique de (n-e- s)2

^termes

qu’on peut

^former

avec eux. C’est le facteur du

produit ^{des e}

résistances considérées dans le terme

An-s-e.

Parmi les

coefficients ,

remarquons ^les deux

extrêmes, An-s et AQ.

Le

dernier, Ao,

^ne contient que des résistances. Le

premier, ^.An-s, qui

^ne contient pas de

résistances,

^{se réduit à un} seul déterminant

symétrique

de circuits fermés.

17. La connaissance des coefficients de

F (a) permet

^d’établir

les propriétés

suivantes :

1° Les racines de

l’ équation F(a) =

^{o sont}

toujours

^toutes

néga-

tives ^ou nzclles.

2° Quand

^{lin tennze}

^An-s-e

^{est nul dans F}

(a),

^{tous les tei-nies}

d’indices

supérieurs

^{sont aussi nuls.}

3°

Lo7-silit-’il

^{existe entre} les intensites des courants, (1 ans certains

fils

considérés à

part,

^{zczze relation}

indépendante

des derivees des

intensités,

^la même relation subsiste

quels

^{que soierzt les nouveaux}

fils qu’on y ajoute.

Il faut seulement avoir eu soin d’écrire la relation

primitive

en y

séparant

^{les termes relatifs à} chacune des

parties

^entre

lesquelles

un fil

unique peut

^{être subdivisé}

quand

^on

ajoute

^{les nouveaux}

fils.

4°

Une relation

indépendante

des dérivées des intensités dans

une

lJartie

^des

fils

annule donc le

coefficient

^{de la}

pliis

^haute

puissance

^{de a dans F}

(a),

^et celui-là seul.

5° Le nombre de relations distinctes

indépendantes

des (lérivées des intensités est

toujours égal

^au nombre des

coefficients

^des

plus

^hautes

puissances

^{de ’Y.}

qui

^{sont nuls dans F}

(’Y.).

18. Le travail est terluiné _par une énumération

complète

^des

systèmes

de fils pour

lesquels

^le

polynôme F (a)

^{est de}

degré

inférieurà 5 et par ^un

exemple d’application

^{de la}

régle :

^{l’écriture}

en est un peu

longue,

^{mais ne}

présente

^aucune difficulté.

J.-J. THOMSON. 2014 On the electric and magnetic ^effects produced by the motion of electrified bodies ( Sur ^{les effets} électriques ^et magnétiques produits par le ^mouve- ment des _corps électrisés); Phil. Magazine, ^{3e série, t. XI,} p. 229-249; ^1881.

M. Rowlanda montré par

I’expérience

que le

déplacement

^d’un

corps

chargé

d’électrici té

statique produit

les mênles effets ^111a-

gnétiques qu’un

^{courant. M. Thomson}

applique

^{à ce}

problème

^la

théorie de Maxwell. Il cherche l’action

produite

sur une masse

magnétique

u. par ^une

sphère chargée

^d’une

quantité

d’électricité ^e

et

qui

^se

déplace

^{avec une vitesse v; il trouve} que ^cette action est

la nlême que celle

qui

^serait

produite d’après

^{la formule}

d’Ampère

par l’unité de

longueur

d’un courant, dont l’intensité

serait uv, qui

^serait

placé

^{au centre de la}

sphère

^et

dirigé

^{dans le sens du}

mouvement.

M. Thomson croit

pouvoir expliquer quelques-uns

^des

phéno-

mènes

présentés

par les tubes de

Crookes,

^en admettant que la lu- mière

négative

^est

produite

par des molécules d’air électrisées ^et

projetées

^{avec une}

grande

^{vitesse. Au moment où l’une de ces}

molécules rencontre la

paroi

^{de verre, elle}

change brusquement

de vitesse : il doit

donc y

^avoir

production

d’une force électromo- trice

d’induction,

^comme

lorsqu’un

^courant

change brusquement

de sens. Or des variations

rapides

de force électromotrice pro- duisent la

lumière, d’après

la théorie de Maxwell. On

expliquerait

ainsi la

phosphorescence qui

^{a lieu sur la}

paroi

^{de verre. Cette}

phosphorescence

^est

^locale;

^elle

n’apparaît qu’aux

^endroits

frappés