Étude de la distribution du potentiel dans des conducteurs à deux ou à trois dimensions traversés par des courants électriques permanents

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Submitted on 1 Jan 1884

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Étude de la distribution du potentiel dans des

conducteurs à deux ou à trois dimensions traversés par des courants électriques permanents

A. Chervet

To cite this version:

A. Chervet. Étude de la distribution du potentiel dans des conducteurs à deux ou à trois dimensions traversés par des courants électriques permanents. J. Phys. Theor. Appl., 1884, 3 (1), pp.292-299.

�10.1051/jphystap:018840030029201�. �jpa-00238245�

produits

^dans les conditions que

j’ai signalées

^{ne sont} pas

physi-

quenient

identiques,

eu il m’cst pas douteux que l’examen des diverses

propriétés

^{de ces cristaux ne mette en} évidence les chan- get-iients que

j’ai

^constatés par deux voies dislinctes concluisamt ^à la même

conséquence :

^{la mesure de la durée de} leur accroissement

eu celle de la vitesse de leur transformation en éléments

prisma- tiques.

ÉTUDE DE LA DISTRIBUTION DU POTENTIEL DANS DES CONDUCTEURS A DEUX OU A TROIS DIMENSIONS TRAVERSÉS PAR DES COURANTS ÉLEC-

TRIQUES PERMANENTS;

PAR M. A. CHERVET.

I.

Plaque rectangulaire

^de

Longïleur indéjinie.

^{- Soit une}

plaque

^limitée par les droites .z° ⁼ u, ^{x =} cc, y = o, r = ~. DE

signons

par

dr Vo les potentiels

^{constants des deux électrodes}

circulaires de très

petit

rayon p,

qui

^{sont aux deux sommets du}

rectangle,

^l’une

positive

^au

point

^{x = o, J = o, l’autr2}

négative

au

point

^{x = a,} d- ^{= o.}

.L’équation

difl’érentielle des courbes de niveau s’obtiendra en

écrivant que la densité

électrique

^{est nulle en tout}

point

^{du con-}

ducteur traversé par ^{un courant} permanent

sera une solution de cette

équation.

V ne doit _pas

changer

^de

signe quand

^on

remplace Y

par - Y,

x

par - x; V doit

s’annuler pour ^x

= a quel

que soit j,; ^et enfin V doit tendre vers zéro

quand J/

augmente indéfiniment.

La fonction

satisfait à tontes ces conditions.

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphystap:018840030029201

293 Si l’on

remplace

^{la somme des}

exponentielles

^{par un}

cosinus,

V se mettra sous la forme

C’est donc une solution de

l’équation différentielle,

^{et cette}

solution satisfait à toutes les conditions

particulières

^an

problème.

On déterminerait la constante A en écrivant

qu’en

^un

point

^du

contour de

l’électrode, X

⁼ p, ,y ⁼ 0, le

potentiel

^est

^Vo. o étant

très

petit,

A une constante

près,

^le

potentiel

^en

chaque point

^{de la lame rec-}

tangulaire

^sera

représenté

par le nombre

Pour étudier ce

problème expérimentalement

^on

prend

^une

lame de verre bien

plane,

^de

largeur a,

^{et dont la}

longueur

^est

égale

^à

plusieurs

^{fois la}

largeur;

^sur les bords on coule quatre bandes de

brai,

^matière

qui

^{reste adhérente au verre; on obtient}

ainsi une sorte de bassin

plat rectangulaire

que l’on

remplit

^d’urne

dissolution de sulfa te de

cuivre ;

^{si la}

plaque

^{ést bien}

horizontale, l’épaisseur

^{sera la même en tous les}

points.

^Aux extrémités du

petit

^{côté du}

rectangle,

^on

dispose

les électrodes : ce sont des fils de cuivre verticaux dont la section est

noyée

^{aux trois} quarts dans le

brai ;

^{ils sont en} communication avec les

pôles

^{d’un élé-}

ment Daniell monté aux deux sulfates. Au moyen d’un électro- m ètre

capillaire,

^on

peut

^{mesurer le}

potentiel

^d’un

point quel-

conque, ^en prenant ^comme

potentiel ^zéro,

^{celui de tous les}

points équidistants

des deux électrodes. Ces

potentiels

^{ont été trouvés}

proportionnels

^{aux nombres V}

( 1 ).

( 1 ) ^Voir Comptes rendus, 24 septembre 1883; Annales de Chimie et de Phy- sique, ^février i88j, p. 268.

II.

Plaque rectangulaire

^linlitée.

É lectr()des

aux

potentiel

+

V 0,

^{aux deux} extrémités d’tcn côté. ^- Soient x _{=o, x} ⁼ _a,

y= o, y = b

^les

^équations

^des

^{côtés ;} je supposerai

l’électrode

positive

^au

point ⁰⁾

^{x = o,} y ⁼ o, ^et l’électrode

négative

^au

point ^A,

^{x = a, y = o ;}

j’appelle

^{B le sommet x = o, y =}

^b,

^et

.

je désigne

^{par C le}

quatrième

^{sommet x = a, y, = b.}

Je suppose ^la

plaque rectangulaire

indéfiniment

prolongée

^dans

les deux sens

0 y

^et

0 y’,

^{et aux}

points 01, 02, 03, 0",

^...,

0’1) 0’2’ O’3, 0’4’

^{... ,} si tués au-dessus et au-dessous du

point 0,

^{à des}

distances

2 b, 2

^{b X} 2,

2 b X 3,

^{2 b X}

4, ...; j’imagine

^{des élec-}

trodes

positives

^au

potentiel + V 0;

^{et sur une}

parallèle

^à

yy,

menée par le

point A, j’imagine

^une infinité d’électrodes

négatives

au

potentiel - Vo,

^{en des}

points AI, A2, A3,

^...,

A’1, A’2, A’3,

^...,

situés au-dessus et au-dessous du

point ^A,

^{à des distances}

^{2 b,}

2 b X 2,

2 b X 3,

^....

En un

point x,

y du

rectangle,

^le

poten tiel,

^{sous la seule influence}

des électrodes

On, An, serait,

^{à un facteur constant}

près,

comme nous l’avons vu

précédemment;

^{et sous} l’influence de

toates les

électrodes,

^les

potentiels

s’additionnent :

Les courbes définies par ^cette

équation

^{sont normalcs aux droites}

x = o, ^{x = a et} à toutes les droites

y = ( 2n +I ) b, n prenant

toutes les valeurs entières

positives

^ou

négatives : donc,

^{si nous ne}

considérons que les

points

^du

rectangle OABC,

les courbes de ni-

veau définies par

l’équation précédente

coïncideront avec celles dues aux deux seules électrodes

positive

^et

négative

^{en 0 et en}

A,

le

rectangle

^{OABC étant isolé du reste du}

plan.

Si

je désigne par m(x, y)

la fonction

295

V = ~ ( X, y) représente,

^{à un facteur constant}

près,

^le

potentiel

en tout

point

xy du

rectangle.

V est infini

positif

^au

point x -

^{o, y = o : il est infini}

négatif

au

point

x = a, y - 0; ^ces deux

points

^{sont les}

^sièges

^{des élec-}

trodes.

On déterminerait le facteur constant

A,

^en écrivant que le po- tentiel ^est

Vo

^au

point

^{x =} 0, 1, ⁼ o, P ^étant fort

petit ( 1 ).

III.

Électrodes symétriques

^par rapport ^{et la droite}

qui Joint

les milieux de dezcx côtés

opposés

^dit

t-ectai2gle.

^Soient

a,b

^les

coordonnées de l’électrode

positive

^au

potentiel ^{+ V o;}

^{et a -} tf.,

fi

^{celles de} l’électrode

négative

^au

potentiel

^-

Vo ; a

^est

plus petit

^{que a}

et b

^est

plus petit

que b.

Le

potentiel

^en

chaque point

^{xy sera}

On

vérifierait,

^en

effet,

que V conserve sa valeur

quand

^on

change

^{x en - x,} y en -y, x en 2a2013 x, et j/

en 2 b - y. V est

fini

"pour

^{tous les}

points

^du

rectangle,

^sauf pour ^le

point

^a,

p ;

alors V est infini

positif,

^et pour le

point

^{a -} x,

b;

^{V est infini}

négatif.

^Ces

points

^{sont les}

sièges

des électrodes.

J’écrirai,

pour

abréger,

Tel est le

potentiel,

^{à un facteur constant}

près.

IV.

Électrodes symétriques

par rapport ^{ait centre du rec-}

taj2gle. - Soient x,

^b

-B

^les coordonnées de l’électrode

positive,

et

a-a, B

celles de l’électrode

négative.

(’ ) ^Voir Comptes rendus, ^{31 mars} 1884.

La fonction 03A6 ( x, y) peut se ramener à des fonctions connues

les fonctions 02 ^et 61 ^sont définies par les équations (18), p. 3y de la Théorie des

fonctions elliptiques de MïVI. Briot et Bouquet, ^{28 édition.}

On fera dans ces équations

Si nous avions deux

électrodes,

^{Fune en}

aB,

^au

potentiel

⁺

Vo,

l’autre en a oc,

B

^au

potentiel -Vo,

les courbes de niveau seraient

Si les électrodes

étaient,

^{l’une en} a,

B,

^au

potentiel ^{- Vo,}

l’autre en a,

b - B,

^au

potentiel + V o,

^le

potentiel

^en

chaque

point x,

^{y serait ’}

en

désignant

par

03A61(y, x)

^ce que devient la

fonction 03A6(x,y), quand

^on transforme x en y ^{et cc en b.}

Si nous avons simultanément les

quatre électrodes,

^les

_poten-

tiels

s’additionnent,

mais les deux électrodes en

a,B

^{se neutra-}

lisent,

^{et l’on a}

Si,

^en

particulier,

les électrodes sont aux deux extrémités d’une

diagon ale,

^{on aura}

l’électrode

positive

^{étant au}

point ^B,

^et l’électrode

négative

^au

sommet, A.

V. Distribution du

potentiel

^{dans un mur. - Soit un con-}

ducteur limité par les deux

plans

^{indéfinis x - o, x = a; l’élec-}

trode

positive,

^au

potentiel

⁺

^Vo,

^{est à}

l’origine

des coordonnées : l’électrode

négative

^{est au}

point

x = a, y = o, z = o; ^les

points

du

plan

^x

^{= a}

^{seront au}

potentiel

^zéro.

On sait que

si,

^{dans un} conducteur

indéfini,

x1, y1,

z,-sont les

coordonnées du centre d’une électrode

sphérique

^de

petit rayon,

le

potentiel

^{en un}

point x,

^{JI’, z, sera}

en posant

l’expression

297

satisfait,

^en

effet,

^à

l’équation

différentielle

qui exprime

que la densité

électrique

^{est nulle au}

point

^xy.

A, désignant

l’électrode

négative, je

suppose le conducteur in- défini dans le sens Ox et dans le sens

Ox’;

^{et aux}

points ^Ai A2, A3, A4,

... ;

A’1’ A2, Agy A"I’

^{... situés à droi te et à}

gauche

^du

point ^0,

^{sur l’axe des x, à des distances cc, 2 a,}

^{3 cz, 4 a,} ..., j’ima- gine

des électrodes

positives

^aux

points

^d’indice

pair,

^et

négatives

aux

points

^d’indice

impair; ^{+ V o}

^et

^{- Vo}

^{sont les}

potentiels

^de

ces électrodes. Si

je désigne

par no le rayon ^{vecteur d’un}

point

^xy,

par ^{nn sa distance au}

point An,

par

r’n

^{sa distance au}

point A’n,

on aura

et le

potentiel

^au

point

xy, ^sous l’influence de toutes ces élec-

trodes,

sera, à ^un facteur constant

près,

On

aperçoit

facilement la loi de formation de cette

série;

^{elle est}

convergente,

puisque

^{le terme}

général,

alternativement

positif

^et

négatif,

^{tend vers zéro}

quand

^{j2 augmente} indéfiniment. Les sur-

faces définies _par

l’équation précédente

^{sont normales aux}

plans

Il ^- ncz, ⁿ prenant ^toutes les valeurs

entières, positives

^ou

néga- tives ; donc,

^{si nous ne} considérons que les

points

^de

l’espace compris

^{entre les deux}

plans x

^{= o et x - a, les surfaces de ni-}

veau définies par

l’équation précédente

doivent coïncider avec les surfaces de niveau dues aux deux seules électrodes 0 et

A, ;

^le

mur étant isolé du reste de

l’espace,

est donc le

potentiel

^{cherché à un facteur constant}

près.

Pour étudier

expérimentalement

^ce

problème,

^on

prend

^comme

conducteur une dissolution de sulfate de cuivre enfermée dans une cuve en verre dont

l’épaisseur

^{a est}

plus petite

que ^{les autres} di-

mensïons ;

^les

électrodes,

^en communication avec les deux

pôles

d’une batterie d’élémcnts Daniell aux deux

sulfates,

^{sont deux fils}

de cuivre aboutissant aux milieux des

grands

^{côtés du}

rectangle

^des-

siné par la surface libre du

liquide.

^On

peut alors,

^{au moYen d’un}

électromètre

capillaire,

^{mesurer le}

potentiel

^d’un

point

^{de la sur-}

face

libre,

^en _prenant ^comme

potentiel

^{zéro celui d’un}

point équidistant

des deux électrodes. On trouve des nombres propor- tionnels aux valeurs de V

( ).

VI. Pris/ne

rectangullaire indéfini.

^{- Soient x = o, x = a,}

y=-b 2,y=+b 2

^les

équations

^des

^quatre

faces indéfinies dans le sens 0 z et dans le sens Oz’.

L’électrode

positive

^au

potentiel ^+Vo

^{est au}

point

^{x = o,}

y - 0, z = o, l’électrode

négative

^au

potentiel - Vo

^{est au}

point A,

x = a, y = o, ^{z = o.}

Supposons

^le

prisme

indéfiniment étendu dans le sens

Oy, Oy’;

^{il devient un mur.}

Imaginons

^aux

points 011 Os? 03, 04 ... ; 0’1, O’2, 0,, 0,,,

^{.... situés de}

part

^{et d’autre}

du

point

^{0 sur la droite}

yy’,

^{à des distances}

b, 2 b, 3 b,

^{..., des}

électrodes

positives

^au

potentiel

⁺

^{V 0}

^et

désignons

par

Ai, A2, A3,

... ;

A’i’ A§ , A§ ,

^{..., des}

points

^{situés sur une}

parallèle à yy’

menée

par le point ^A,

^à des distances de A

égales

^à

b, 2 b, 3 b,

^...,

de part ^{et d’autre du}

point A, qui

^{sont les}

sièges

^{des électrodes}

négatives

^au

potentiel ^{- V o.}

En un

point

^{du mur, sous} l’influence des électrodes

0,1, A,l,

^le

potentiel

^sera

en

posant

La valeur de n étant

donnée,

^on fera successivement _p

égal

^{à o,}

+ 1, ^- 1, , -f- 2, ^- 2, ..., et l’on aura

Vn.

Si l’on a une infinité d’électrodes ^aux

points ^On, An,

^{dont les}

ordonnées sont y=

nb,

ⁿ _prenant ^toutes les valeurs entières _po-

(1) Voir Annales de ChÍ1nie et de Physique, p. 275, ^{février 1884.}

299

sitives ou

négatives,

^les

potentiels s’additionnent,

^{et l’on a au}

point

^xy

C’est aussi le

potentiel

^{en un}

point

^du

prisme rectangulaire

^sous

l’influence de deux électrodes. M.

Appell

^{a démontré la conver}

gence de ^{cette série}

( 1 ).

SUR UN ÉTALON ÉLECTROSTATIQUE DE POTENTIEL;

PAR MM. CROVA ^ET GARBE.

Ayant

^eu l’occasion de nous servir d’une manière suivie de l’électromètre à

quadrants

de M. Thomson

(.modèle

de M. Mas-

cart),

nous avons été

frappées

^des

variations,

^{souvent considéra-}

bles,

^du

potentiel

^{de la}

pile

^de

charbe, formée,

^{comme on le}

sai t,

de

petits

^éléments

zinc-platine, chargés

^{avec de l’eau} pure, varia- tions _{que l’on}

corrige

^en

partie

par ^un

étalonnage

^souvent

répété

de

l’électromètre,

^au moyen de ⁱ élément Daniell

pris

pour type.

Nous nous somlnes

assurés,

par des essais

préliminaires,

que ^ces variations son t dues à deux causes

principales :

_ La

première

^est le défaut d’isolement des

éléments ;

^{il arrive}

en effet _que, souvent assez satisfaisant au

début,

l’isolement ne

tarde _pas à s’altérer par ^une condensation d’humidité

qui

^{se fait}

à la surface extérieure des éléments et de leur support, ^et par le

dépôt

^de

poussières qui

établissent une dérivation

variable,

^dont

l’effet est de diminuer la diflérence de

potentiel

^{aux deux}

pôles.

La seconde est la

polarisation

^du

platine

^{de l’élément à eau, con-}

séquence

^des dérivations dont nous venons de

parler

^{et de celles}

qui

peuvent ^se

produire

accidentellement dans le maniement de

l’électromètre, quand

^{un des}

pôles

^{de la}

pile

^{est mis en commu-}

nication,

^{ne fût-ce}

qu’un

^{instant avec le sol.} L’affaiblissement

(’ ) Voir Comptes rendus, ^{18 février,} Note de MM. Appell ^{et Chervet.}