Sur l'agitation thermique des liquides, leurs nouvelles propriétés thermomécaniques et leur conductibilité calorifique

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Sur l’agitation thermique des liquides, leurs nouvelles

propriétés thermomécaniques et leur conductibilité

calorifique

René Lucas

To cite this version:

SUR L’AGITATION

_THERMIQUE

DES

_LIQUIDES,

LEURS NOUVELLES

PROPRIÉTÉS

THERMOMÉCANIQUES

ET LEUR

CONDUCTIBILITÉ

CALORIFIQUE

Par M. RENÉ LUCAS.

Ecole de

Physique

et Chimie de Paris.

Sommaire. - Ce travail a pour objet de montrer les raisons soit _théoriques soit _{expérimenlales, qui} permettent de penser que les ondes transversales d’inertie et de viscosité jouent un rôle important dans

l’agitation thermique des liquides.

1° Une théorie des chaleurs _spécifiques des _{liquides monoatomiques analogue} à celle donnée par

P. Debye pour les _{solides, peut} ètre développée en tenant compte à la fois des ondes longitudinales et de ces

ondes transversales. Cette théorie semble plus satisfaisante que celle déjà connue _qui ne lient compte que des ondes _{longitudinales.}

2° De nouvelles actions _{thermo-mécaniques} montrent par voie expérimentale que les transferts de chaleur par conductibilité thermique s’accompagnent, dans les _liquides, de transferts de _quantité de mouvement. L’expérience permet d’avoir une valeur approchée de la vitesse moyenne de _phase des ondes

qui véhiculent la chaleur. Cette _vitesse, notablement _{plus grande que la} vitesse des ondes _{longitudinales}

(vitesse du _{son), s’explique} bien si l’on _attribue, en majeure partie, les transferts _{d’énergie thermique} aux

ondes transversales d’inertie et de viscosité.

3° Pour les fréquences jouant le rôle _principal dans _{l’agitation} thermique, une discussion des ordres de grandeur montre que les ondes transversales ont une vitesse et un libre parcours notablement plus grands que la vitesse et le libre parcours moyen des ondes longitudinales

L’évaluation _approchée de la conductibilité thermique de l’eau pour les ondes des deux espèces montre

que celle-ci serait presque uniquement due aux ondes transversales d’inertie et de viscosité. 1.

_{Agitation thermique}

des

solides

et des

_liquides.

1. Généralités. - La

_{représentation}

de

_{l’agitation}

thermique

de la matière se

_présente

sous deux formes très différentes suivant

_{qu’il s’agit}

de matière en

phase dispersée (gaz, vapeur)

ou en

_phase

condensée

(solide,

liquide).

Dans le

_premier

cas, nous _{pouvons considérer}

l’énergie

individuelle des molécules et

_atomes,

c’est le

point

de vue de la théorie

_cinétique

_{des gaz}

_classique.

Le

_{développement}

t de cette

_conception

a donné un

ensemble satisfaisant t _{pour rendre}

_compte

des

princi-pales propriFtés thermiques

des gaz

(chaleurs

spéci-fiques,

viscosité,

conductibilité

_{calorifique, etc.).}

Dans le cas de la matière en

_phase

condensée

_(solides

et

_liquides)

il n’est

_plus

_possible

de considérer indix;1-duellement

_l’énergie

_{d’agitation thermique}

des atomes et des molécules. Les forces d’interaction intenses

_qui

agissent

entre ces éléments font

_qu’un

état de

mouve-ment d’un atome se fera sentir sur tout un ensemble

d’atomes voisins.

On est donc conduit avec P.

_Debye

_(~)

à,

_analyser

les états

_{d’agitation}

_thermiques

par la notion d’ondes

élas-tiques

renfermant les

_{énergies cinétique}

et

_potentielle.

Cette

_{représentation}

de

_{l’agitation}

_thermique,

déve-loppée

surtout dans le cas des solides

_{monoatomiques}

a

_permis

d’obtenir une théorie

_quantique

très

satisfai-sante des chaleurs

_{spécifiques.}

Les ondes

élastiques

représentant

1°agitation

thermique

sonl ici les ondes

longitudinales

et transversales de la théorie de l’élasti-cite.

Dans les cas des

_liquides

le

_problème

est

_plus

com-plexe.

P.

_Debye

et les différents

_{physiciens qui}

ont

repris

la

_question

ont tenté de

_représenter

_{l’agitation}

thermique

des

_{liquides monoatomiques}

_par un

d’ondes

_{lorz,gztu,dinalcs.}

L’objet

du

_présent

travail est de montrer les diverses raisons soit

_théoriques,

soit

_{expérimentales,}

pour

les-quelles

il y a lieu de penser que ce mode de

représen-tation de

_{l’agitation}

_thermique

des

_liquides

est

insuffi-sant. En

_particulier,

les

theriiio-uaécaniciues

présentées

par les

liquides

ne semblent

explicables qu’à

condition de considérer i’existence

d ondes transversales et de viscosité dont le rôle dans les

_{propriétés thermiques}

des

_liquides

a été

jusqu’ici

tout à fait méconnu.

,Te commencerai par le

problème

des chaleurs

spéci-fiques

des corps

monoatomiques

en

_{rappelant quelques}

résultats

_{généraux relatifs}

au dénombrement des modes de vibrations stationnaires d’un volume de matière. Ces résultats

_permettront

très

_simplement

de _{passer du}

problème

de

_{l’agitation}

_thermique

des solides - traité

par P.

Debye -

au cas des

_liquides.

2. Etats vibratoires stationnaires d’un milieu

matériel

_isotrope.

-- Soit

un milieu limité par des

parois

(réfléchissantes

pour les ondes

étudiées)

qui

est t le

_siège

d’ondes stationnaires

_{longitudinales}

ou

versâtes,

nous

_préciserons

_plus

loin les

_types

d’ondes. On

_peut

établir

_(f)

_{que le nombre du d’états} vibra-toires stationnaires

_(ou

_{résonnateurs)}

de

_fréquences

comprises

entrc v et,,)

_{-~- ~ v}

_est,

_{par unité ue volume du}

milie-n, et _pour un état de

_polarisation

déterminé

_(s’il

s’agit

d’ondes

_{transversales)}

est : .

V la vitesse de

_phase

et U _{la vitesse de groupe}

(léfinie par la relation: -.

/ -- ,

Par

_{suite, pour’tes}

ondes

_{longitudinales (indice}

-,

et _pour les ondes transversales

_(indice

t) :

en raison des deux états de

_{polarisation possibles}

de

ces ondes.

Soit w

_(v)

_l’énergie

_moyenne relative à un

résonna-teur de

_fréquence

v.

Nous aurons

_l’énergie

_{thermique présente}

_{par unité}

de volume

_(et

_pour l’intervalle de

_{fréquence compris}

entre ’1 et v

₊

d

_j)

_par la

_{quantité :}

3.

_Energie

_thermique

des solides

miques. -

Nous

admettons,

avec P.

_Debye,

_{que les} ondes

_{longitudinales}

et transversales

_{d’agitation}

ther-Inique

sont celles de la théorie de l’élasticité des solides.

isotropes .

,

/-X et .

désignant

les

_paramètres

_élastiques

de

_{Lamé , /}

la densité. Dans ce cas il

_n’y

a _{pas de}

_dispersion.

Il faut encore définir le domaiiie des

_fréquences.

Celui-ci s’étendra de v = 0 à une valeur de

_fréquence

limite définie _par une double condition : d’une

_parut

l’impossibilité

de considérer des valeurs de

_longueurs

d’ondes très inférieures à la distance

_séparant

deux atomes

_voisins,

et d’autre

_part

_pouvoir

retrouver, par

atome

_{gramme 3}

ItY

_degrés

de liberté.

Avec

Debye

et L. Brillouin nous définirons la

fré-(1) J. H. JEAX8. l’hil, _1J;/a.r., 190J, X, p. 91. - H. Mati.

Ann., 1911, p. ’2i3. ’oïr aussi L. BRiLt.ouiy. Ann. de l’Ecole JBorrn. _Sup., 19~’~, p. 360.

qucnce limite B’maB par la relation : r

V,

vitesse de

_phase;

_iN’,

nombre

_{tl’Àvogadro;}

îl, volume de l’atome grammes.

Cette

_définition,

_{que ra montre L. Brillouin}

_(1),

semble

_plus

correcte _{que celle}

_qui

consiste à définir

une seule

_fréquence

limite commune aux deux

_types

d’ondes ainsi que l’avait fait

priinitivemenl

P.

_Debye.

On définit dans le cas des

solides,

deux fré-quences liiiiiles -.

pour les ondes

longitudinales

et les ondes transver-sales.

Il est facile de _{vérifier que} c-es définitions des fré-quences limites donnent un nombre de

_degrés

de liberté

qui

est bien 3 N _{par atome gramme, (le nombre de}

degrés

de

_liberté,

ou nombre d’états vibratoires

station-naires,

est en effet

ce

_qlll

donne bien ii ! :3 Á B~ avec les définitions

précé-dentes des

_fréquentes

limites,

qu’il y

ait Gu non

dis-I)e)-sioji

pour les vitesses

Vz

et

_Vt.

Pour avoir le contenu

_d’énergie

_thermique

il reste

à définir

_l’énergie

_{moyenne w}

_(i)

du résonnateur de

fréquence

v. Dans le cas où l’on a

_égalité

des

_énergies

cinétique

et

_potentielle

moyenne on

_{peut adopter}

l’une

ou l’autre des deux

_expressions

déduites des

considé-rations de

_{quanta :}

La deuxième

_expression,

_qui

_paraît

plus

eorreeler

tient

_compte

de F existence d’une

_énergie

_{d’agitation}

résiduelle au zéro absolu.

Si l’on admet

qu’il

y a

_pratiquement

absence de

dis-persion

Ul

=

TTl’ Ut

= Vl

le contenu

d’énergie

ther-mique

de l’atome gramme de _{corps solide} est

Cette

_expression,

comme l’on

_sait,

donne la valeur

, ôE’

de chaleur

_atomique

à volume constant = 3 à1

il

_température

_élevée,

en accord avec la loi de

_Dulong

et Petit. On déduit

_également

de

_{l’expression}

de E

ene excellente théorie de la

_{degénérescence}

des cha-leurs

_spécifiques

aux basses

_{températures.}

4.

_énergie

_thermique

des

_liquides

monoato-miques d’après

P.

_{Debye. -}

Dans le cas des

liquides

une théorie

_analogue

à celle relative aux _corps

soldes fut

_proposée

_{par P.}

_Debye,

mais en faisant

une

_{hypothèse particulière}

au

_sujet

des ondes de

l’agitation thermique.

Cette

_hypothèse

_{était que seules} ’les ondes

_{longitudinales pouvaient}

représenter

l’agita-tion

_thermique

d’un

_liquide

_{monoatomique.}

Je revien-dirai

_plus

loin sur le caractère très

_particulier

de cette

~supposition.

Il résulte d’ailleurs de celle-ci la nécessité de modifier la définition de la

_fréquence

limite de manière à retrouver au total 3 N

_degrés

de _{liberté par} ;atome gramme de

liquide.

On devra avoir en effet

ce

qui oblige

à

_prendre

avec P.

_Debye,

_{pour les}

liquides :

Le contenu

_{d’énergie thermique}

_par atome _gramme

’est alors :

Avec les mêmes

_{hypothèses simplificatrices}

_{que pour} les solides on en déduit une chaleur

_atomique

à volume constant

_(et

à

_température

_élevée)

omme _{pour les solides}

5. La réalité

_physique

des ondes

_élastiques

thermiques

des solides et des

_{liquides. -}

Avant de faire la

_critique

de la

_{représentation}

de

_{l’agitation}

thermique

des

_liquides

de P.

_{Debye, je}

i

appellerai

les

phénomènes

optiques

découverts récemment

_qui

per-mettent de penser que la

représentation

ondulatoire de

_{l’agitation}

_thermique

_{n’est pas} une

_équivalence

.purement formelle,

mais

_correspond

à une réalité

physique.

L’action des ondes

_{élastiques thermiques}

sur la lumière a d’abord fait

_l’objet

d’une étude

_théorique

.très

_générale

de L. Brillouin

_{(1) .}

Parmi les

_{conséquences}

importantes

de ce

_travail,

_je

ne retiendrai ici que le

changement

de

_fréquence

_(effet

_Doppler)

des radiations lumineuses _{diffusées par les ondes}

_élastiques

Si des rayons lumineux

correspondant

à des ondes

mono-chromatiques

de

_{fréquence v}

rencontrent des ondes ~~~ L. BRIL1.ODIY. Afill. de

_Phys.,

17, p. 88.

élastiques planes,

celles-ci

_pourront

les « réfléchir »

partiellement

à la faveur de la variation

_rapide

d’indice de réfraction du milieu condensé ou _{dilaté par l’onde.}

Dans ce mécanisme on voit que seules les ondes

longilit-dinales

_pourront

_aplJorter

une contl’ibutiol1 au

change-W’nt rlc

_{puisqu’elles}

seules

_{s’accompagnent}

de

condensation

et dilatation. Les

_expériences

faites d’abord par

Meyer

et Ramm

_(1),

_puis

_par

Ragha,ven-dra-Rao

_(?)

ont

_permis

de montrer _{que la diffusion de}

la lumière

_{s’accompagne}

d

_{un changement de fréquence}

explicable

quantitativement

par le mécanisme

précé-dent. Au lieu de retrouver la

_fréquence

excitatrice ’1 pour la lumière diffusée de

_Rayleigh

on trouve soit un

doublet

_(~r

-~ ~ ~, v

2013 A

_’1)

dans le cas des corps

_solides,

soit un

_triplet

_(v

_{+ à}

_{v, v, v} - o

_v)

clans le cas des

liquides.

L’évaluation

_permet

d’obtenir une

estimation satisfaisante de la vitesse du son

_(ondes

longitudinales).

Cet ensemble de faits

_{expérimentaux}

constitue un

argument

très solide en faveur de la réalité

_physique

de

_{l’agitation thermique}

sous forme d’ondes

_élastiques,

aussi bien pour les solides que pour les

liquides.

6 Les chaleurs

_spécifiques

_{expérimentales}

des

_{liquides monoatomiques. -}

Les valeurs

expé-rimentales des chaleurs

_spécifiques

d’un certain nombre de

_liquides

_{monoatomiques}

ont été discutées

et représentées

de manière très heureuse par

Bauer,

Magat

et Surdin

_(3).

On

_peut

obtenir en

_première

approximation

une

_{représentation}

_{valable pour}

plu-sieurs corps en

_portant

les valeurs des chaleurs

spéci-fiques atomiques

en fonction d’une «

_température

réduite » fi définie par fi

’ -

_l’

f _{où 11 est 1}

_{t ’}

réduite )) 6 _{définie par}

=201320132013

où

7’estlatempé-l’CC Ul e » ’J e Inie _par v ==

c

- Tf

ou es a

empe-rature ordinaire

_fit

la

température

de fusion et

T,

la

température critique.

La courbe suivante

_{(fig. 1)}

tirée du travail de MM.

Bauer,

Magat

et Surdin montre _{que, de} manière

générale,

la chaleur

_atomique

_part

de la valeur

_Cal

=

au

_voisinage

de la

_température

de fusion

₍₈

=

₀₎

pour tendre vers

_Cal

= 261 _au

_voisinage

du

_{point critique}

(8

=

1).

La valeur = _{pour 9=0}

s’explique

fort

bien si l’on admet un état

_{d’organisation}

microcri8tallin de la

_plupart

des atomes au

_voisinage

de la

_température

de

fusion,

ce

_qui

_équivaut

à une

_organisation

fournis-sant _{presque le même résultat que l’état solide pour les}

chaleurs

_spécifiques

Cette

_conception

de l’état

_liquide

organisé

en état subcnstallln ne sera pas discutée

ici,

je

me borne à

_rappeler

qu’elle

_permet

d’interpréter

de

manière satisfaisante un certain nombre de faits observés dans la diffraction des rayons X et dans l’effet Raman.

La chaleur

_atomique

C= 2a ne

_{s’interprète}

_pas

dans le cadre de la théorie

_proposée

_{par P.}

_Debye.

On

(1) E. H. L. NIEYER et RAMM.

_Physik.

1932, 33,

p. 270. ,

doit à L. Brillouin

₍₁₎

des

_critiques

et _remarques,

_qui

paraissent

très

_fondées,

_que

_je

_reprends

ici.

Tout d’abord la valeur de la

_fréquence

limite

adoptée

pour les ondes

longitudinales

des

_liquides

qui

diffère de la valeur

_{correspondante}

_pour l’état

solide

, "".,....1 ln.

conduit à admettre que pour un _{même corps les osides}

lrl,rliticdileales

lî»jîtttes ont une

_longueur

d’onde

_plus

petite

dctris le

_liquide

_{que dans le solide. Ce}

_point

de

vue

_paraît

difficile à

_accepter

étant donné l’état

d’orga-nisation moins

_parfait

des atomes du

_liquide

vis-à-vis

de

_{l’organisation}

des atomes du solide.

Fig. i. - Variations des chaleurs _{spécifiques atomiques} de

l’argon, du mercure et du néon en fonction de la température réduite 0 (ordonnées comptées en calories).

En

_outre,

la seule intervention des ondes

longitu-dinales dans la

_{représentation}

de

_{l’agitation thermique}

exclut arbitrairement l’existence d’autres états de

mouvements sur

_{lesquels je}

reviendrai. L. Brillouin

propose donc

d’adopter

la même définition de fré-quence limite

pour les ondes

longitudinales

du

_liquide

et du solide. à.Jais il faut introduire d’autres

_degrés

_{de liberté pour}

retrouver au total 71 ==::1 _par atome gramme. Ceci

exige qu’il

y ait 2

A" degrés

de liberté

occupés

par des états de mouvements non

_{longitudinaux.}

L. Brillouin

( 1) L. BRILIOUIN. Journ. de Phys., i936, 7e Série, 8, p. 153.

envisageait

l’exislence

_possible

de mouvements

trans-versaux

_{tourbillonnaires,}

c’est-à-dire ne

_{cOlnpl’enanl}

que-de

_{l’énel’gie cinplique.}

Suivant le

_principe

d’équipar-tition

_{(c’est-à-dire}

à tern

_{pé ratu}

e

_élevée)

ces 2

_{.i° degré&}

de liberté

_{supplémentaires}

doivent t

_comprendre

une-énergie

thermique :

Les A

_degrés

de liberté relatifs aux ondes

longitu-dinales

_comprennent

une

_énergie

k T

_(car

l’exis-tence d’une

_{énergie potentielle}

entre atomes voisins T par

degré

de liberté à

_ajouter

à _{T pour} 2

l’énergie

cinétique).

Au total l’état

_{liquide parfait}

correspondrait

à

_température

élevée et _{pour les}

liquides

monoatomiques

à une

_énergie

par atome gramme, c’est-à-dire à une chaleur

_atomique

en accord avec la valseur obsFrvée au

_{point critique.}

7 Etats vibratoires stationnaires dans les fluides rëcts. - Les remarques de L.

Brillouin,

pour intéressantes

qu’elles

étaient,

ne _{donnaient pas} une

_analyse

_précise

des mouvements transversaux. D’autre

_part

ure élude des

_{dégénérescences}

des cha-leurs

_spécifiques

ne

_pouvait

en être déduite.

En

_reprenant

cette étude

_je

fus

_frappé

de ce fait _que

les

_propriétés

_mécaniques

des

_liquides,

_qui

doivent ètre à la base de cette

_étude,

_{n’étaient pas}

_envisagées

de manière

_complète

Les

_liquides

étaient

taisant

abstraction de leurs

_{projJriéti-s}

de viscosité. Or

celles-ci

_jouent

un rôle

_important

dans

_l’analyse

des états de mouvement stationnaires

_qui

_peuvent

être

présents.

Leur considération

_justifie

en effet l’existence

des états de mouvements transversaux.

Les

_propriétés

de viscosité des

_liquides

_peuvent

d’après

Stokes,

être

_{représentées}

_{par deux coefficients} A _{et -1} liant les effoi ts aux

_gradients

de vitesse. Soit p, la valeur de la

_pression

du

_{liquide ;}

_{p, la}

_{densité ;}

les

_composantes

de la vitesse du

_liquide

suivant

ryz. Les

équations

des

_petits

mouvements du fluide

sont :

Un état de mouvement entretenu

_quelconque

_peut

composantes

de vitesses sont irrctationnelles

(existence

d’un

_potentiel

de vitesse ondes

longi-tudinales)

et en mouvements _pour

_lesquels

les vitesses sont sans

_{divergence (0}

= 0 ondes

trans-a)

Ondes

longitudinales. -

Si le

_{déplacement U}

du fluide a lieu suivant _ox,

_{si désigne}

la

_{compressibilité}

adiabatique.,

les relations

_{précédentes}

donneront,

en

remarquant

que :

5iokeB relie entre eux les coefficients /.

_{et r,,}

en

admet-tant

_qu’une

déformation

_isotrope

d’un élément t de volume du fluide ne se _{traduit par} aucun travail des forces de viscosité -

hypothèse

donne la

rela-tion :

3

_{+ 2vj}

== 0

en _{sorte que les}

_propriétés

de viscosité ne

_dépendent

que du seul

coefficient ’’1 qui

se manifeste dans le

régime

d’écoulement de Poiseuille.

L’équation

aux dérivées

_partielles

montre

_{qu un}

mouvement

_harmonique:

de

_{fréquence v}

se

_propageant

) la

_{vite’Sse VI}

== 20132013

subira un amortissement

expo-Z ...

1,.,.. B

/ B

b)

Ondes transversales d’inertie et de viscosité

_(1).

- L’état de mouvement

correspond

uniquement

à

un

_glissement

relatif des diverses

_parlies

du fluide

u ~ 0. Créons un tel état de mouvement en

_déplaçant

d°un mouvement

_harmonique

de

_{fréquence v}

un

_plan

(plan x o y)

mouillant le

_liquide,

le

_déplacement

du

plan n’ayant

lieu que suivant o r _pour

_siinplifier.

L’équation

différentielle du mouvement devient :

à , A2 ,

et le mouvement transversal sera

_{d’amplitude :}

Vi

est la vitesse de

_phase

de ces ondes transversales

d’inertie et de

viscosité,

z, leur

coeffieient

d’amortisse-ment

_{d’amplitude.}

-(1) Voàr à ce _sujet 11. BRII.LOUI-X sur la eiseosia

’

Gauthier-1’illars.

8.

_Energie

_thermique

des

_liquides

monoato-miques

en tenant

_compte

des ondes d’inertie et

de viscosité. - Les résultats

généraux

rappelés

au

début de ce travail

_permettent

d’obtenir de suite

l’expression

du contenu

_d’énergie

thermique

(1)

si l’on

admet que les deux

types

d’ondes sont ceux

_qui

repré-sentent

_{l’agitation}

_thermique.

La nécessité de tenir

_compte

des ondes

transver-sales d’inertie et de viscosité

_justifiée

un _peu

_plus

loin par des résultats

expérimentaux

et par une

discus-sion sur les conductibilités

_thermiques,

mais l’on

_peut

déjà

invoquer

diverses raisons en faveur de leur

exis-tence.

Tout

_d’abord,

un état de mouvement

_périodique

quelconque,

tel que celui d’un

liquide

en

_agitation

thermique,

dflit à

_{priori comprendre}

une distribution de vecteur de vitesse tout à fait

_complexe,

c’est-à-dire

décomposable

en un

_champ

de vecteur irrotationnel et

un

_champ

de vecteur sans

_divergence.

Exclure à

_priori

tel ou tel

_type

d’état de mouvement ne saurait se

jus-tifier que si l’on

pouvait

montrer que l’une ou l’autre

des distributions est

_incompatible

avec les

_propriétés

mécaniques

des

_liquides,

nous venons de voir

_qu’il

n’en

est rien. En outre, un

_liquide

enfermé dans les

_parois

d’un

_récipient

solide

_reçoit

de celui-ci des mouvements

transversaux par suite de

l’agitation thermique

du solide constituant les

_parois.

De manière tout à fait semblable au cas de l’évalua-tion de

_{l’énergie thermique}

des

_solides,

nous aurons à considérer les états stationnaires de mouvements

lon-gitudinaux,

et de mouvements transversaux. Pour ers

derniers,

en raison de l’absence

_d’énergie

_potentielle

de déformation du fluide

_(coefficient

de

_{rigidité nui)}

l’énergie

moyenne des résonnateurs due

sera :

(s.i

adopte

la valeur

_{d’Einstein).}

On aura _{done par}

atome gramme de

liquide monoatomique :

’J/m et ’Ilm t les

fréquences

limites

clui

découleront de

_{l’application}

de la relation :

en tenant

_compte

de l’absence de

_dispersion

pour les ondes

_{longitudinales}

et de l’existence de celle-ci pour les ondes transversales.

Ici la vitesse de groupe des ondes transversales se

calcule sans difficulté et donne

Le nombre de

_degrés

de liberté est tou

jours

en accord avec les résultats

généraux

rappelés

au début. Cette valeur de E donnerait la chaleur

_{spécifique atomique}

ô

à volume si l’on connaissait la ÔT

loi

_précise

de variation de la viscosité avec

la

_température

et si aucun autre

_phénomène

(tel

que

l’organisation cybotactique

du

liquide)

ne

_{pouvait prendre}

naissance. Ce

serait dans ce cas la

_possibilité

de traiter

_{la _}

dégénérescence

des chaleurs

_{spécifiques.}

Ces -conditions ne

_paraissent

_pas

_remplies

_par

les

_liquides

_pour

_lesquels

nous avons

quelques

données.

Dans le cas où la

_température

est

suffi-, ,

8amment élevée pour que tU

r) N

_{1 ’}

(équi-partition

de

_{l’énergie)}

_{l’expression}

_précédente

fournit la chaleur - 2 a soit 4 calories par atome gramme comme le montre

l’obser-vation au

_{point critique.}

Ce serait donc au

_voisinage

du

_point

cri ~

tique

que les

liquides monoatomiques

auraient les

_{propriétés thermiques exemptes}

de l’influence d’une

_organisation

micro-cristalline.

II.

Nouvelles actions

_mécaniques

des

ondes

_thermiques

des

_liquides.

La

_{représentation}

de

_{l’agitation}

_thermique

des solides et des

_liquides

_par les ondes

_élastiques

_permet

d’interpréter

les

_phénomènes

de dilatation

_thermique.

Il _{suffit pour cela de lier les}

_transports

de

_quantité

de inouveme-nt aux

_transports

_d’énergie

_{par les ondes}

Les ondes

_élastiques

_thermiques,

en se

réfléchissant sur les surfaces limitant le volume de

solide ou de

_liquide,

vont exercer une

_pression

_qui

aug-mente avec le contenu

_{d’énergie,}

c’est-à-dire avec la

température,

et

_qui

sera

_responsable

des effets de dila-tation. Ce

_point

de vue

_qui

_permet

d’obtenir

l’équation

d’état de la matière conde asée a été

_développé

en

par-ticulier par P.

Debye,

S.

_Ratnowsky,

H. A. Lorentz et L. Brillouin.

J’ai cherché à Inettre en

_évidence,

_jJar voie

rnentale,

cette 1 iaisolt entre

_trans)Jorts

de et de

quantité

de nlollvenlenl dans les

_liquides

_(1).

Un effet (1) R,, rendus Académie _{Sc., 193’7,} t.’204, p. H8.

de ce _{genre était}

_déjà

bien connu _{pour les gaz}

raréfiée,

e~ _{même utilisé pour les} mesures de basses

_paressions

(radiomètre,

manomètre absolu de

_Knudsen),

mais rien

d’analogue

n’avait été

_incliqué,

à

ma connaissance,

poui

les

_liquides.

°

1.

_{DispositHexperimentaL 2013Le dispositif}

utilisé

pour cette étude est fort

simple.

A un

_plateau

de balance

_apériodique

_Longue

de bonne

1 1

l’ig. 2. -

Dispositif expérimental pour l’observation des actions

Lhermomécaniqnes.

sensibilité

_(0,5

_{mg par division lue} au

_microscope)

ou

attache par un fil très fin ce _que

_{j’appellerai}

_{par la}

suite une

_palette

- _ou flotteur - constitué par _un tube

cylindrique

de verre _pyrex

_(épaisseur

1

_{mut) ayant}

un

diamètre de 5 cm

_{environ, 5}

cm de hauteur et dont les bases sont fermées à la

_picéine

_par des

_{disques plans}

métalliques (cuivre

laiton)

dont les

_épaisseurs,

B

varia-bles lo1ts des divers

essais,

étaient de l’ordre de

0,5mm,.

Ce flotteur

_rempli

d’air et convenablement _{lesté par}

une masse de

_{plomb reposant}

sur des

_{petits supports}

de stéatite

_(bon

isolant

_thermique)

est

_immergé

dans le

liquide

étudié

_(eau

ordinaire,

contenu dans une cuve

construite de la manière suivante. Un tube de verre

pyrex de diamètre

l20mm,

hauteur 120 mm environ

est fixé à ¡"aide due

_picéine

sur une sole

_métallique,

soit

en laiton

_mince,

soit en

_argent

_(épaisseur

un double fond

_permet

d’établir une circulation d’eau

rapide

dans cette sorte de

boîte ;

l’eau arrivant _par la tubulure centrale et

_repartant

_{par deux tubulures}

laté-rales. L’intervalle entre les deux

_parois

est d’environ

ce diamètre. Le débit d’eau était d’environ 10 litres par minute.

Ce

_dispositif

_permet

de refroidir l’eau de la cuve en

faisant circuler de l’eau

_plus

froide à la

_partie

infé-rieure,

la chaleur étant évacuée à travers la mince

paroi métallique.

Au lieu de refroidir la cuve _{par le bas il} est

_possible

d’échauffer celle-ci par le haut à l’aide d’un couvercle à deux

_{parois métalliques}

entre

_lesquelles

on

_peut

faire

circuler de l’eau chaude.

L’ensemble de ce

_dispositif

- sorte de balance

hydros-tatique

- est

représenté schématiquement

figure

2. 2. Action

thermomécaniques

exercées sur le flotteur. -

L’expérience

peut

être faite de deux

façons ;

soit en refroidissant l’eau de la cuve

_{par le}

_bas,

soit en l’échauffant _{par le haut.}

Fig. 3. - Variation dans le temps de la force sollicitant le flotteur (cuve refroidie par le bas) Distance sole froide-flotteur 3 mm environ.

A. _{Cuve refroidie par le} bas. -- Les

réglages

pré-liminaires sont les suivants : la base de la cuve, ainsi

que les surfaces terminales du flotteur sont rendues horizontales. La cuve

_garnie

d’eau

_prend

la

tempéra-ture du laboratoire

_{(18°C environ)}

on

_règle

la balance

à

_{l’équilibre}

et on

_ajuste

la distance du fond de la

cuve à la base du flotteur à une valeur z déterminée

(3

mm _par

_exemple).

Dans ces conditions on envoie

_brusquement

un

cou-rant d’eau _{froide pour refroidir la} cuve _{par la}

_base,

l’eau de la cuve se refroidit de

_proche

en

_proche

dans

un sens _{tel que} les courants de convection ne

_peuvent

se

_{produire (je}

reviendrai là-dessus un _peu

_plus

_loin).

Le refroidissement de l’eau entourant le flotteur

s’accompagne

d’une

_augmentation

de masse

spéci-fique.

S’il

_n’y

_{avait pas} d’autres modifications que cet

accroissement de

densité,

il y aurait une

_{augmental’ion}

de la

_poussée

et le

_plateau

de la balance lié au flotteur tendrait à être soulevé.

_{L’expérience}

montre

_qu’il

n’en est

_{rien, pendant}

un certain

_temps

tout au moins. Le

_flattezcr

e.;t d’abord soumis à une

fo~~ce

d’attraction ve?-s la sole

_froide,

_{il repasse à} sa

position

de

_départ

au bout d’un

_temps

variable

(pou-vant être de l’ordre de

_plusieurs

minutes suivant la distance initiale du flotteur à la

_{paroi froide)}

et subit

progressivement l’augmentation

de

_poussée

d’Archi-mède liée à

_{l’augmentation}

de la densité de l’eau.

La

_figure

3

_représente,

en fonction du

_temps

_J les déviations de la balance

_(ordonnées

_comptées

en

milligrammes force),

le maximum de la force sollicitant t

la

_palette

est d’environ ()

_dynes,

le

_temps

au bout

duquel

apparaît

ce maximum 1 min environ. Dans

l’expérience qui correspond

à cette

_courbe,

la

_température

de l’eau froide de

réfrigéra-tion était

5,2°C,

la

_température

initiale de l’eau de cuve

_{17,8’ C.}

Le

_temps

_pendant

lequel

la force d’attraction

_apparente

vers la sole froide se manifestait était de 6 min.

’

Il est aisé de constater l’extrême

_régularit6

du

_phénomène

en suivant le mouvement de la balance et en

_répétant

les

_{expériences.}

B. _{Cuve chauffée par le haut. -} Les

réglages préliminaires analogues

aux

pré--

cédents étant faits on

_peut

chauffer l’eau

de la cuve _{par la}

_{partie supérieure}

à l’aide du couvercle à double fond. On constate alors

_(fig.

₄₎

_{que la}

_palette

est d’abord solli-citée vers le

_haut,

en sens

_opposé

_{à celui que}

-

fait

_prévoir

la diminution de

_poussée

cl’Ar-chimède due à la

diminution

de densité de l’eau de la cuve. Au bout d’un certain

_temps

ce dernier effet

_l’emporte

sur l’autre et le flotteur tend à descendre de

_plus

en

_plus.

.

J’ai fait varier diverses circonstances des

expériences

pour m’assurer de la fidélité du

phénomène

et

_préciser

certains caractères.

L’expérience

étant

_plus

commode à réaliser à certains

_points

de vue,

lorsqu’on

refroidit la cuve,

j’ai

constaté que si la base du

flot-teur est en métal

_épais

₍₃

mm _par

_exemple)

le

maxi-mum de la force observable était

_diminué.,

la mêmes

remarque

peut

être faite si l’on

_remplace

la fermeture

métallique

inférieure du _{flotteur par} une lame de verre

de faible

_épaisseur.

Enfin en

_remplaçant

le flotteur

rempli

d’air par un flotteur

_cylindrique

de mêmes

dimensions,

en aluminium massif,

je

n’ai

_plus

observé de mouvements de la balance en sens

_opposés

à ceux

qui

ne

_{dépendraient}

_{que des}

_changements

de

poussée

d’Archimède.

Comme conclusion

_pratique

à ces essais

_{j’ai adopté}

pour la fermeture de base du flotteur des lames de laiton de

_0,30

à

_0,50

mm

_{d’épaisseur,}

ce

_qui

semblait

conditions restant les mêmes. Une fermeture très mince

pourrait

présenter

le grave inconvénient de se déformer de manière

_appréciable

par

changement

de

_pression

intérieure

_lorsque

la

_température

varie et

_j’ai

_préféré

ne _{pas y avoir} recours.

Je

_{développerai}

tout d’abord la théorie de ces actions

thermomécaniques

dans

_{l’hypothèse}

où le

_liquide

n’est le

_siège

que de transferts

d’énergie

ther-mique

par conductibilité et en l’absence de courant de convection

_jouant

un rôle

méca-nique

a,ppréciable.

Je montrerai ensuite par des observations

_{complémentaires}

qu’il

semble bien que ce

_point

de vue soit en

accord avec les conditions des

_{expériences.}

3. Théorie des actions

thermoméca-niques

exercées sur le flotteur. - La

représentation

de

_{l’agitation thermique}

des

liquides

par une distribution d’ondes

en-traîne comme

_conséquence

ce fait que tout

transfert

d; énergie

s’accornpagne

de

_tï-ansfert

de

_quantité

de rnouvernent.

C’est cette

_{propriété qui}

va nous servir à l’évaluation des actions

_{thermomécaniques}

suivant un raisonnement

_qui

a été

_indiqué

par Francis Perrin et moi-même

_(’).

Soit un élément de

_volume,

_{traversé par}

une onde

_{élastique plane}

de vitesse

_(de

phase)

V,

supposons que cet élément de volume absorbe une

_quantité

_d’énergie

DE

nous admettrons _{qae l’élément} de volume

reçoit

en même

_temps

_que

_l’énergie

AE une

quantité

de mouvement !1G = dans la

v

direction de

_propagation

de l’onde considérée. Cette

relation

_peut

se

_{justifier complètement lorsqu’on}

ne

considère que les ondes

élastiques

longitudinales

ou

transversales ordinaires des solides et des

_liquides.

Il est facile de montrer

_qu’elle

est encore vraie dans

le cas de la

_dynamique

du

_point

matériel traduite en

langage

ondulatoire. On a en

_effet,

avec les notations

habituelles :

qui

est bien la vitesse des ondes de

phase

de L. de

Broglie.

Nous admettrons encore la validité de cette relation dans le cas des ondes transversales d’inertie et de

viscosité.

Dans un milieu

_isotrope

où se

_produisent

des

trans-lerts de

chaleur,

la

_{superposition}

des

_{impulsions qui}

correspondent

t aux ondes

_thermiques

de diverses fré-(à) Francis PERRIIY et R. LucAs. _Comptes Rendus, Acadéinie _Sc., J

1937, t. _{204, p..960.}

quences et de différents

types

se traduira par une force

appliquée

à tout élément de volume dont la

tempé-rature varie.

Cette force sera

_parallèle

à la direction du courant

thermique,

dans le même sens _{que lui} ou en sens

opposé,

suivant que l’élément

reçoit

ou cède au total

de la chaleur.

0 t 2’ 3 _7rmpô

Fig. 4. - Variations dans le

temps de la force agissant sur le flotteur _(cuve chauffée par le haut). Abscisses _comptées en minutes, écart de _température

d To = _32oC; distance sole chaude-flotteur 3 _mm.

Soit c la chaleur

spécifique

et p la masse

_spécifique

du milieu

considéré,

la

_{quantité d’énergie}

absorbée

pendant

le

_{temps à t}

_par un élément de volume l v et

pour un accroissement à T de la

_température

est :

La

_grandeur

de la force

_appliquée

au _{milieu par unité}

de volume doit donc être _{donnée par la relation :}

où 4)

_désigne

une constante

_{caractéristique}

du

_iîiitieu,

homogène

à une vitesse et

_{1"epré.sentant}

une certaine

moyenne des vitesses de

propagation

des ondes

tlie1"-miques.

Cette valeur de

_f

_peut

encore

_s’exprimer

en fonction

des. dérivées

_d’espace

de la

_température

_d’après

la relation de Fourier pour un milieu

_{isotrope :}

k

_désignant

la conductibilité

_thermique.

Dans le cas où les surfaces isothermes sont des

_plans

normaux à l’axe 0 z on aura :

Cette relation

_permet,

dans le cas d’un

_liquide,

de

cal-culer facilement la différence de

_pression

Pi -

P~~

entre deux

_plans

isothermes de

_{cotes 21}

et _Z2, en tenant

compte

à la fois des forces de

_pesanteur

et de ces

forces

_{thermoélastiques,}

on déduit de suite :

(g,

accélération de la

_pesanteur),

en _{admettant que les}

grandeurs k

et 4) varient _peu

_lorsque

la

_température

varie entre

Ti

et

_T~.

Cette relation

_permet

de rendre

_compte

du sens des actions

_{thermomécaniques}

exercées sur le flotteur. Dans le

_premier

cas

_(sole

inférieure de la cuve

_refroidie)

d d’ ., à 71 ..

S. 1 les deux dérivées

7

,

sont

_positives.

Si la hauteur dz

zg

>

zi, et si z, -

zi, est assez

_grand,

le

_gradient

ther-mique a T)

_q est

_{pratiquement nul,}

et -

t est

rè-ô z Vn

q ’

lativement

_grand

au début du refroidissement _par

/2

suite : -.

PI - P2 -

P g

d z est

_négatif,

le flotteur est

’z. 1

sollicité

par

une force

_dirigée

vers la sole froide. Il serait

facile

de vérifier de manière

_analogue

_{que le} flotteur doit être soumis à une force d’attraction vers

la sole chaude

_supérieure

dans le deuxième cas

expé-rimental.

On

_peut

en résumé rendre

_compte

du sens des actions en

_remarquant

_{que dans le}

_premier

cas le

liquide baignant

le flotteur cède de

_l’énergie

vers le

bas,

en même

_temps

_{que de la}

_quantité

de

mouvement ;

il subit par réaction une

_impulsion

vers le

haut,

tout

se _passe comme si la

_poussée

d’Archimède

était dimi-nuée. L’inverse a

lieu

_lorsque

le

_liquide

_reçoit

de

l’énergie thermique

par la

partie supérieure.

Ces actions

sont

_masquées,

au bout de

_quelques

_temps,

_par

les variations

de

_poids

_spécifiques

inhérentes aux

dilata-tions

_thermiques.

_{C’est pour} cette _{raison que}

_j’ai

d’abord étudié l’eau pour

laquelle

ces derniers effets

sont

_{exceptionnellement}

réduits.

Là

_comparaison

entre la théorie et

_{l’expérience}

est

particulièrement

intéressante au

_sujet

du

_{paramètre 4)..}

Si

_l’énergie

se _{propage par ondes}

_{longitudinales (b}

est

en liaison très

simple

avec la valeur de la vitesse du son dans

l’eau,

déjà

mise en évidence dans la structure

fine des raies de diffusion de

_Rayleigh.

Nous verrons

plus

loin que la valeur observée 4$

oblige

à faire inter-venir les valeurs de vitesse des ondes transversales

d’inertie et de viscosité.

4. Etude

_{expérimentale}

_quantitative

des ac

-tions

_{thermomécaniques. -}

Le contrôle de la

théorie

précédente

nécessite la connaissance des

gra-dients

_thermiques

ainsi _que les termes de variation de densité afin de faire les corrections des

_poupées

d’Archimède. La mesure directe de ces

_grandeurs

est

trêt

délicate,

tout au moins avec le

_dispositif

décrit et

j’ai préféré

les déterminer par

application

de la théorie dé Fourier de la

_propagation

de la chaleur.

Le calcul est

_{particulièrement}

facile dans le cas

simple

traité par Fourier de l’établissement d’une dis-continuité de

_température

sur un

_plan

frontière d’un milieu indéfini.

J’ai donc

_supposé

_{que les}

_portions

de

_liquide

d’alti-tudes

_comprises

entre z,

et z,

_{présentaient}

des valeurs de

_température

_(et

de dérivées de

_celle-ci)

sensible-ment conformes aux valeurs calculées comme si la

présence

du flotteur n’entraînait pas une

_perturbation

importante.

Il est bien évident _que ceci n’est

_qu’une

approximation

d’autant meilleure

_que

le volume du flotteur est

_plus

réduit. Cette

_hypothèse

sera

_justifiée

à

_postériori

en _{montrant que les résultats} sont

indé-pendants

des sections des flotteurs dans les deux séries de mesures _que

_j’ai

faites. Afin de faciliter les

évaluations la hauteur Z2 - ZJ du flotteur était

suffi-samment

_grande

_{pour que le}

terme à il )

soit

négli-_

geable

vis-à-vis du

_(pendant

les

_temps

ô,z 1

p

d’observation)

lorsque

l’on

refroidit

la cuve à la

_partie

inférieure. Au terme

_près

de

_changement

de

_poussée

d’Archimède,

la force sollicitant le flotteur de

section

droite est

le sens

_positif

o z étant

_dirigé

de bas en haut. Si l’on

établit

à

_l’origine

des

temps

une discontinuité

de

tem-pérature à 110

au

_plan

frontière - = 0 le

_changement

de

température à

T du milieu à distancez et au bout du

temps 1

est,

diaprés

Fourier :

le

_{gradient thermique}

sera :

le

_{gradient thermique,}

_(pour

une valeur

_donnée)

passe par une valeur maximum

₀₎

_pour un

temps tm

tel que

en _{sorte que :}

Pour une discontinuité de

_{température à ~’o}

déterminée la

_grandeur

maximum du

_gradient

thermique

est ~en

-rai-son inverse de la distance du

_plan

considéré à

l’origine.

La variation en fonction du

_temps

du

terme ô T

_est,

à àz

une

_quantité

constante

_{près, représentée}

_{par le terme}

La

_{figure 5 représente}

la courbe

en fonction de r,

Le maximum de la force

_f,

s’obtient en

faisant r==i _par suite :

Dans le cas de

_{l’expérience}

où l’on

refroi-1 Ai

représenterait,

en unités

_convenables,

la

variation daa~s le

_temps

de la force subie par le

_flotteur,

en

_supposant

_{que la} masse

spé-cif ique

du

_liquide

reste constante.

_L’analogie

de cette courbe 5 avec la courbe 2

expéri-mentale est

_évidente,

mais la courbe relevée

expéri-mentalement revient

_plus

_rapidement

à une valeur d’ordonnées nulle par l’action de

_{l’augmentation}

de

densité de l’eau _par refroidissement.

En

_changeant

le

_signe

des ordonnées de la courbe 5

on aurait la variation

_théorique

dans le

_temps

de la

force

_agissant

sur le flotteur

_lorsque

la cuve est

chauffée _{par le haut.}

On constate encore une

_analogie

avec la courbe

expé-rimentale

4,

mais celle-ci revient

_plus

_rapidement

à la valeur d’ordonnée nulle car les

_changements

de densité de l’eau entourant le flotteur sont relativement

_plus

importants

lors d’un échauffement

_(maximum

de den-sité à

_4°C).

5., Correction due au

_changement

de densité de l’eau. - Celle-ci

_peut

se calculer si l’on connaît la

distribution des

_{températures}

à l’instant où l’on mesure

la force sollicitant le flotteur. J’ai choisi

_chaque

lois l’instant où celle-ci était maximum

_{(T=1). La}

solution

de Fourier

_permet

alors de connaître les diverses

tem-pératures

en fonctions des cotes z à l’instant T - 1. A7’

La

_figure

6

_représente

20132013

en fonction

de -

pour

à _o a1

T = 1 et

_permet

de faire la correction. Pour T = 1 et

A 7"

.,:,

20132013 =

0,31.

Il est aisé de vérifier que l’on

A

_T,

q

obtient un terme de correction de

_poussée

d’Archi-mède suffisamment bon en _{admettant que la variation}

de

_température

est linaire entre la cote

réduite z

= 1 t et la cote

réduite -

_

2,2

(ceci

serait

rigoureux

si

ZI 1 1 Fig. 5. - Variations de y

= - ~

e ~’

en fonction de T.

B/2r

l’eau avait dans l’intervalle de

_température

corres-pondant

un coefficient de dilation

_constant).

C’est de cette manière que sont calculées les corrections uti-lisées ultérieurement. J’ai utilisé les tables de densités de l’eau du Recueil des Constantes de la Société de

Physique.

J’appellerai

par suite

fl

cette force

cor-rective.

6. Correction due au

_changement

_{d énergie}

thermique

du flotteur. - Il reste _encore à taire _nne

correction due à ce _{que la matière constituant le}

flot-teur est

_capable

de

_{perdre (cas}

du

_{refroidissement)}

ou

de gagner de la chaleur. Ces

changements

s’accompa-gnent

d’un

_échange

de

_quantité

de mouvement non

négligeable

dont il faut tenir

_compte,

la masse en eau

des

_disques

de fermeture du flotteur état

_{appréciable.}

J’ai évalué ce terme

_correctif,

assez délicat à déler->

miner,

de la manière suivante. J’ai

_supposé

que le

été

_{indiqué précédemment.}

Cette

_hypothèse

est mani-festement inexacte pour les très

petites

valeurs de z,,

car dans ce cas

_{l’épaisseur liquide}

très mince

_permet

un refroidissement

_{plus rapide}

du

_disque

fermant le

flotteur,

mais cette évaluation

_s’approche

d’autant mieux de la réalité que la distance .~1 est considérable

car à ce moment les

_échanges

_thermiques

latéraux ont

davantage

la

_possibilité

et le

_temps

de se

_produire.

... AV T

f t. d d. d. t

Fig. 6. - Variations de

AT

_en fonction des diverses distances

A7o

réduites 1

à divers instants comptés en _temps réduits « = _t, y i

1: _{== 4,} ï = _{9), d’après} la théorie de Fourier.

Si M

_désigne

la masse et c’ la chaleur

_spécifique

de la

_{partie principale}

du flotteur

_qui

se refroidit la

quantité

-

représenterait

la dérivée _par

(i) at -r=1 i

rapport

au

_temps

de la

_quantité

de

_mouvement,

c’est-à-dire la force de _{réaction du flotteur par suite} de son

_changement

_{d’énergie.}

_thermique,

au moment où l’on mesure les actions

_mécaniques.

Or:

Comme

on en déduit :

La force dont il faut tenir

compte

(et

qui

est en sens

inverse de celle

_{qu’on observe)}

est donc :

La résultante de toutes ces forces sera la force

_f)

observée à la balance.

Posons : -.

où ?

désigne

un terme calculable à

_partir

des

observa-tions,

et

_qui

serait

_égal

à ~ si le terme

_fc’I

était nul.

On en déduit:

La

quantité "

_{complètement}

accessible à

_partir

.

des observations faites sur la balance et de la

correc-tion

_te’

de densité doit être une fonction linéaire de Z1.

On

_peut

en déduire 1>.

7. Résultats

_{expérimentaux. -}

Les résultats sont

_exprimés

dans les tableaux

suivants ;

j’ai

adopté

pour la conductibilité

thermique

de l’eau la valeur k =

0,0014

(calorie,

_cm,

sec).

La

_température

initiale

_était,

dans les diverses

expé-riences,

voisine de ~7° à

_18°C,

la

_température

de l’eau de

_{réfrigération}

voisine de 3° à 4°C.

Les valeurs fmo et _tme des deux dernières colonnes

indiquent

les

_temps

nécessaires à

_{l’apparition}

du maximum de forces observées à la balance et calculées

d’après

la relation