Contribution des phonons transverses et longitudinaux à la conductibilité thermique de réseau de l'antimoniure de gallium à basse température

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Contribution des phonons transverses et longitudinaux à la conductibilité thermique de réseau de l’antimoniure

de gallium à basse température

G. Le Guillou, H.J. Albany

To cite this version:

G. Le Guillou, H.J. Albany. Contribution des phonons transverses et longitudinaux à la conductibilité

thermique de réseau de l’antimoniure de gallium à basse température. Journal de Physique, 1970, 31

(5-6), pp.495-500. �10.1051/jphys:01970003105-6049500�. �jpa-00206931�

CONTRIBUTION DES PHONONS TRANSVERSES

ET LONGITUDINAUX A LA CONDUCTIBILITÉ THERMIQUE ^DE RÉSEAU

DE L’ANTIMONIURE DE GALLIUM A BASSE TEMPÉRATURE

G. LE GUILLOU et H. J. ALBANY

Service

d’Electronique Physique,

^Centre d’Etudes Nucléaires de

Saclay,

B. P. n°

1, Gif-sur-Yvette, 91,

^France

(Reçu

^{le 18 décembre}

1969,

^{révisé le}

2, février 1970)

Résumé. ²⁰¹⁴ La conductibilité

thermique

de réseau de l’antimoniure de

gallium

^{a été}

analysée

entre 5 °K et 300 °K sur la base de la formulation de Holland,

qui distingue

les contributions

respectives

^des phonons transverses et

longitudinaux.

^{Un bon} accord de la courbe calculée avec

les résultats expérimentaux ^a été obtenu dans l’intervalle de température

compris

^{entre le maxi-}

mum de conductibilité

thermique

^{et 300} °K, où la diffusion

électron-phonon

^est

négligeable.

^Cette analyse

souligne l’importance

de la contribution des

phonons

transverses à la conductibilité ther-

mique

de l’antimoniure de gallium.

Abstract. ²⁰¹⁴ The lattice thermal

conductivity

^K of GaSb in the temperature range 5-300 °K has been analysed ^on the basis of Holland’s

formulation,

which considers the separate ^contribu- tions of

longitudinal

^and transverse

phonons.

^A

good

^{fit to the}

experimental

data has been obtained in the temperature range from about the

peak

^{to 300} °K, where

electron-phonon scattering

^is negligible. ^This

analysis emphasizes

^the

important

role of the transverse

phonons

in the lattice thermal

conductivity

^{of GaSb.}

1. Introduction. ^- Aux basses

températures,

^on

considère

généralement

trois processus de diffusion des

phonons,

à savoir la diffusion _par les

parois

^de

l’échantillon

[1],

par les fluctuations de masse

[2] [5],

et la diffusion

phonon-phonon [2]-[6]. Cependant,

^il

est apparu récemment

qu’en deçà

du maximum de conductibilité

thermique K,

^il y avait lieu de tenir

compte

^{d’un autre} mécanisme de diffusion du

type électron-phonon.

^{Ce mécanisme a été mis en évidence}

par l’étude de l’effet du

dopage

^sur la conductibilité

thermique

^d’un certain nombre de semiconducteurs tels _que le

germanium [7]-[11],

l’antimoniure d’in- dium

[12]

^et l’antimoniure de

gallium [13] [14].

^Par

ailleurs,

l’influence d’irradiations

électroniques

^{et neu-}

troniques

^{sur le}

germanium [15]-[18]

^et l’antimoniure d’indium

[19],

^{et en}

particulier

^le

comportement

^{de K} dans la

région

de transition de

type n

^en type p ^du

germanium [18],

^ont

souligné l’importance

^du processus de diffusion

électron-phonon.

^Plusieurs

analyses

^de

ce mécanisme de diffusion ont été

proposées,

^suivant

que les électrons se trouvent dans ^une bande

dégéné-

rée

[20],

^{ou sont liés aux centres}

d’impuretés [21] [22].

Aux hautes

températures,

au-delà du maximum de

K,

le _processus de diffusion

phonon-phonon

^est

pré-

dominant.

Le modèle de conductibilité

thermique

^de

Callaway [4]

inclut trois types de processus de diffusion des

phonons :

^{effets de}

paroi,

^{effet de} fluctuation de masse, diffusion à trois

phonons.

^{Il a été}

appliqué

^avec

succès,

dans son

expression simplifiée,

^{à un certain nombre}

de matériaux

[23].

^{On a} pu ainsi observer que, dans

les matériaux où la diffusion du

type électron-phonon

est

négligeable,

^{il rend}

compte

des résultats

expéri-

mentaux de K dans un intervalle de

température

^allant

des basses

températures jusqu’au voisinage

^{du maxi-}

mum de K.

L’expression complète

^de

Callaway, qui comprend

la contribution des _processus normaux à la conducti- bilité

thermique,

^{a été}

parfois

^utilisée

[24] [14],

per- mettant d’étendre à de

plus

^hautes

températures

^la

région

de concordance des courbes

théorique

^et

expé-

rimentale.

Un certain nombre

d’hypothèses simplificatrices

ont été faites _par

Callaway [4].

Il associe aux

phonons

un spectre ^de

Debye

constitué d’une seule branche

acoustique

moyenne, ^en prenant pour l’interaction

phonon-phonon

^un temps de relaxation

ce dernier

apparaît

^comme n’étant valable _{que pour} des

phonons longitudinaux

^{de basse}

fréquence [3]

dans les processus N.

Holland a

plus

^récemment

proposé,

pour la conduc- tibilité

thermique,

^une formulation

[6] qui distingue

les contributions

respectives

^{à la} conduction

thermique

des

phonons longitudinaux

^et transverses, ^et

qui adopte

des temps ^de relaxation mieux

appropriés

^{aux inter-}

valles de

température,

^aux types de processus N ^ou

U,

et aux modes de

polarisation.

^{Ce modèle a été}

appliqué

avec succès par l’auteur

[6]

^au

germanium

^{et au sili-}

cium,

^et par Bhandari et Verma

[26]

^à l’arséniure de

gallium

^{et à} l’antimoniure d’indium.

Parallèlement,

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphys:01970003105-6049500

496

Parrot

[27],

étudiant la conduction

thermique

^des

composés Si-Ge,

^montra

qu’aux

^hautes

températures,

elle était

principalement

^{due aux}

phonons

transverses,

rejoignant

^{ainsi les} conclusions de Holland.

En ce

qui

^concerne l’antimoniure de

gallium,

^Hol-

land

[28], puis Poujade

^et

Albany [14],

^{ont montré}

que

l’expression simple

^de

Callaway

^était

inapplicable puisque,

^{dans sa zone} habituelle de

validité,

^{les inter-} actions

électron-phonon

^sont

prépondérantes.

^En

utilisant

l’expression complète

^de

Callaway, Poujade

et

Albany [14]

^ont pu

analyser

les résultats

expérimen-

taux de K dans un intervalle restreint de

température

situé entre le maximum de conductibilité

thermique

et 100

OK, région

où les interactions

électron-phonon

sont peu

importantes,

^sinon

négligeables.

Dans le

présent travail,

nous avons tenté

d’évaluer,

sur la base du modèle de

Holland,

les contributions

respectives

^des

phonons

transverses et

longitudinaux

à la conductibilité

thermique

de l’antimoniure de

gallium.

Aux hautes

températures,

au-delà du maximum de conductibilité

thermique K,

^la diffusion électron-

phonon

^est

négligeable. L’analyse

des résultats

expé-

rimentaux de K à ces

températures permet donc,

par l’extension des valeurs calculées de K à de

plus

^basses

températures,

de mieux déterminer éventuellement la contribution de la diffusion

électron-phonon

^{à la}

résistivité

thermique

^au

voisinage

^{et en}

deçà

^{du maxi-}

mum de K.

II. Modèles de conductibilité

thermique

^{utilisés. -}

Pour un gaz de

phonons,

^{et dans}

l’approximation

d’un

spectre

^de

Debye

pour des

phonons acoustiques, l’expression générale

^{de la} conductibilité

thermique

s’écrit :

où k est la constante de

Boltzmann, vs la

^vitesse

moyenne des

phonons,

co, la

pulsation

^de

Debye,

^m

et Te la

pulsation

^{et le}

temps

de relaxation total des

phonons.

C’est le modèle de

Callaway qui

^{est le}

plus

^utilisé

pour

l’analyse

^{de la} conductibilité

thermique [23].

Dans ce

modèle,

^le

temps

^de relaxation

global

ic :

inclut l’effet des

parois (T; 1

^-

Vs/L),

la diffusion _par les fluctuations de masse

(,rD A(04 )

^{et les} processus U et N à 3

phonons ^{T 3}

^et

^W2 T3).

L’approximation

^de l’additivité des inverses des temps de relaxation

implique

que les différents _processus de diffusion soient

indépendants

^{les uns des autres.}

Par

ailleurs,

^les processus

N, qui

conservent les vecteurs d’onde et ne contribuent donc pas à la résis- tance

thermique, jouent cependant

^un rôle dans la conduction

thermique,

^en

déplaçant

la distribution de Planck. C’est _pour tenir compte ^{de ce}

phénomène

que

Callaway

introduit dans

l’expression

de la conduc- tibilité

thermique

^{un terme correctif}

K2 :

où

I~l

^est

l’expression

^définie

précédemment

^{et :}

avec :

La contribution du terme

K2, qui

^est

négligeable

aux basses

températures

^où l’influence des processus à 3

phonons

^est

faible,

^devient

importante

^{aux hautes}

températures,

^{au-delà du}

pic

^de conductibilité ther-

mique.

Malgré

l’introduction de ce terme

correctif,

^la

validité du modèle de

Callaway

^{aux hautes}

tempéra-

tures est

discutable, puisqu’on n’y

^tient

compte

que d’un seul

type

^de

phonons

^et que les

temps

^{de relaxa-} tion choisis _pour les _processus N et U sont, ^ainsi que

nous l’avons

déjà précisé, inadéquats

à de telles

tempé-

ratures

[3] [25].

Par

ailleurs,

pour ^un certain nombre de

matériaux,

les

spectres

^{de vibration ont été}

déterminés,

ainsi que les vitesses des différents modes de

polarisation.

^La

conductibilité

thermique

^{de ces matériaux est donc}

susceptible

^d’être

analysée

^sur la base du modèle de Holland

[6].

Cet auteur a calculé

séparément

^les contributions

respectives

^à la conductibilité

thermique

^{des deux}

modes de

polarisation :

KT

^{est la} contribution des

phonons

transverses :

et

KL

^{est la} contribution des

phonons longitudinaux :

c~2 ^et co, ^sont les

fréquences respectives

des branches

acoustiques

transverse et

longitudinale correspondant

au vecteur d’onde _qmaR définissant la limite de la _pre- mière zone de Brillouin. _col est la

fréquence

^{de la}

branche transverse

correspondant

^à

q,,,a./2,

^{valeur à}

partir

^de

laquelle

^les processus U interviennent.

V T

^et

V,

^sont les vitesses de

propagation

^des

phonons

^trans-

verses et

longitudinaux.

^{Aux basses}

fréquences, hT

^est

supposée

constante et

égale

^à Elle décroît brus-

quement

^{à la}

fréquence puis,

^de w1 à ^reste sensiblement constante et

égale

^à

V12-

iB ^est le

temps

^de relaxation du _processus de diffu- sion _par les

parois

^de l’échantillon :

où

vs

^{est la vitesse} moyenne des

phonons,

^donnée par la relation :

et L est la

« longueur

^de

Casimir »,

déduite de la section s de l’échantillon

[1 ] :

Tp ^{est le}

temps

^de relaxation du processus de diffu- sion _par les fluctuations de masse

[2] :

Le coefficient A est calculé au moyen de la relation de Klemens

[2] :

où

Vo

étant le volume

atomique

^et

fi

^la

proportion

d’atomes de ^masse _m~.

En ce

qui

^{concerne les} processus à 3

phonons

pour le mode transverse, ^des temps de relaxation mieux

adaptés

^aux intervalles de

température

^{et aux}

types

^de

processus N ^ou U ont été retenus dans ^ce modèle

[6] :

Il faut noter que la contribution c~T est

négli- geable

^{aux basses}

températures.

Aux hautes

tempéra-

tures, ^{ce terme se trouve} inclus dans

qui

^est alors de la forme

BTI - k

^{Aussi ce terme}

n’est pas ^retenu dans

l’expression

^{de K.}

Enfin,

pour les

phonons longitudinaux,

^le

temps

^{de relaxation}

global

pour les processus U ^et 1V est

pris

^{sous la}

forme

(BL w2 T3)-1.

III.

Analyse

des résultats. ^- L’effet du

dopage

^en

tellure sur la conductibilité

thermique K

de l’antimo- niure de

gallium

^a été étudié _par

Poujade

^et

Albany [14]

entre 5 OK et 100

OK ;

^{les mesures ont été} récemment

prolongées

par

Poujade,

pour certains

échantillons, jusqu’à

300 "K.

L’antimoniure de

gallium

^non

dopé

^{est de}

type

p,

avec une concentration en trous d’environ

1017 CM-3.

La conductibilité

thermique

^{de ce matériau à basse}

température

^{est à peu}

près

^{cent fois}

plus

^faible que la valeur

théorique

résultant de la diffusion _par

parois

et de la diffusion _par fluctuation de ^masse

[28] [13] [14].

Cette différence a été reliée à une diffusion

trou-phonon.

Un faible

dopage

^en

tellure,

le matériau restant de

type

p, donne lieu à une

augmentation

^{de K. Ceci a}

été associé à la diminution de la diffusion

trou-phonon,

résultant de la

compensation progressive

^{du maté-}

riau

[13].

^{Une fois ce} dernier converti en

type

n, il a

été observé _que l’addition de tellure en excès

(pour

des concentrations en

porteurs comprises

^{en 2 x}

^101~

à 2 x

1018 CM-3)

provoque ^une diminution de K

[14].

Cette diminution a été attribuée à la diffusion des

phonons

par les électrons de la bande de conduction

(000).

Afin

d’appliquer

le modèle de Holland à l’antimo- niure de

gallium,

nous avons considéré un matériau dans

lequel

la diffusion de

type électron-phonon

^était

faible. Aussi avons-nous

choisi, parmi

les échantillons de

type n

^étudiés

[14],

^celui

qui

^{était le}

plus près

^{de la}

compensation,

^et

qui présentait

donc la concentration apparente ^en porteurs ^la

plus

^faible.

longueur

de Casimir

L = 0,425 cm).

^{Il faut}

cependant préciser

que les échantillons de concentrations _appa- rentes en

porteurs

^voisines

présentent

la même conduc- tibilité

thermique K

^{à haute}

température,

^{au-delà du}

maximum

de K,

^où la diffusion

électron-phonon

^et

l’effet de

paroi

^sont

négligeables.

Les

fréquences

^des

phonons

transverses

(cv2)

^et

longitudinaux (c~3)

^{en limite de zone} de Brillouin ont été extraites ^{de mesures}

d’absorption infrarouge

^effec-

tuées ^sur l’antimoniure de

gallium

par Mitra

[29].

^En

ce

qui

^{concerne la}

fréquence

(ù 1 au-delà de

laquelle

^le

processus

Umklapp

intervient dans le mode trans- verse, ^{nous avons}

supposé

que le rapport de l’antimoniure de

gallium

^était

égal

^{à celui de}

l’arséniure de

gallium

^{et de} l’arséniure d’indium

498

=

1,105), puisque

^{ces matériaux}

possèdent

la même structure

[30] [26].

La vitesse

V,

^des

phonons longitudinaux

^ainsi que celle

(VY1)

^des

phonons

transverses de basse

fréquence (ce col)

^{ont été calculées à}

partir

^{des constantes}

élastiques

^de l’antimoniure de

gallium

mesurées à 300 oK par Mc Skimin et al.

[31].

^{Ce calcul a été}

effectué en tenant compte ^{du fait} que les échantillons utilisés ont un axe sensiblement

parallèle

à la direc- tion ¹¹¹ > du cristal :

CIl’ C12

^et

C44

étant les constantes

élastiques

^de

l’antimoniure de

gallium

^et p ^{sa masse}

volumique.

La vitesse

V T2

^des

phonons

transverses de haute

fréquence (col

⁽⁰

W2)

^a été déterminée en suppo- sant que le

rapport

^reste le même dans l’anti- moniure de

gallium,

l’arséniure de

gallium

^{et l’anti-}

moniure d’indium

(VT2/VTl

⁼

0,363) [30] [26].

^Le

paramètre

^de fluctuation de masse calculé

[28]

^à

partir

de la relation de Klemens

[2] appliquée

^{à un}

composé,

^{est A =}

0,813

^x

^{lO-44 s3.}

La détermination des

paramètres BTU, BL

^et

BTN

relatifs aux processus à trois

phonons

^a été effectuée de la

façon

^suivante.

En

premier lieu,

^donc

KT2,

^a été obtenu en

réalisant,

^{autour de 300}

°K,

^un

ajustement

^{de la}

courbe

représentative

^de

KT2

^et de la courbe

expéri- mentale ; KT1

^et

KL

^étant

supposés négligeables

^{à ces}

FIG. 1. ^- Conductibilité thermique ^{de GaSb. KT et KT2 sont} les contributions des phonons transverses, KL ^la contribution des phonons longitudinaux, ^{et K la} conductibilité thermique

totale.

températures.

^{De la même}

façon, BL,

^donc

KL,

^{a été} déterminé _par

ajustement,

^{vers 100}

OK,

^de

KT2 + KL

et de la courbe

expérimentale,

^étant

négligé. Enfin, BTN

^a été déduit de

l’ajustement optimal,

^au

voisinage

du

pic

de conductivité

thermique,

^{de la courbe}

repré-

sentative de

KTI + KL

⁺

KT2

^et de la courbe

expéri-

mentale. Les trois

paramètres

^ont ensuite été

légère-

ment

retouchés,

^de

façon

^à

parfaire

l’accord des deux courbes dans tout l’intervalle de

température

^considéré.

Les résultats de ^ce travail sont

représentés

^{à la}

figure

^1. La différence

appréciable

que l’on observe entre les courbes

théorique

^et

expérimentale

^{de K aux}

basses

températures

^est à rattacher à ^une

compensation imparfaite

des échantillons

étudiés ;

la diffusion élec-

tron-phonon

résiduelle provoquant ^{aux basses}

tempé-

ratures une diminution de la conductivité

thermique.

Les valeurs des différents

paramètres

utilisés dans cette

analyse

^sont rassemblées dans le tableau I.

TABLEAU 1 Paramètres utilisés

On notera que les valeurs déterminées des _para- mètres

BTN, BTU

^et

BL

^{sont du même ordre de}

grandeur

que les valeurs

correspondantes

déterminées _par Holland _pour le silicium et le

germanium.

Afin de

souligner

l’intérêt du modèle de

Holland,

nous avons

reporté

^{sur la}

figure

² les courbes calculées

sur la base de

l’intégrale simple Ki

^{et de}

l’expression complète (K,

⁺

K2)

^de

Callaway,

^{en utilisant} pour les

paramètres

d’interaction

phonon-phonon

les valeurs déterminées _par

Poujade

^et

Albany [14] :

et

On voit _que le modèle de

Callaway

^ne peut ^rendre compte de la variation de la conductibilité

thermique

de l’antimoniure de

gallium

^{aux hautes}

températures.

Rappelons

que la formulation de

Callaway

^associe

aux

phonons

^un spectre ^de

Debye

constitué d’une seule branche

acoustique

moyenne. De

plus,

^le temps ^de relaxation choisi _pour les interactions

phonon-phonon

est de la forme i N

T3)-1,

^{et est}

adopté

^aussi

bien pour les processus N que pour les processus ^U.

FIG. 2. ^- Conductibilité thermique de GaSb. Les courbes A et B sont calculées respectivement ^sur la base des expressions

simple ^et complète ^de Callaway.

Or,

pour les processus

N,

^{un tel}

temps

de relaxation n’est valable _{que pour} des

phonons longitudinaux

^de

basse

fréquence.

^{Pour ce}

qui

^{est des} processus

U,

^il

n’est valable ni aux

basses,

^{ni aux hautes}

températures.

Il ^en résulte ainsi _{que, pour} les _processus à 3

phonons,

le

temps

de relaxation en

T3)-1,

^s’il n’est pas

justifié

pour les _processus

U,

^{reste à la}

rigueur repré-

sentatif des

phonons longitudinaux

pour les processus N.

En sorte que le rôle des

phonons

transverses se

trouve être

négligé

^{dans ce} modèle. Il

apparaît

^ainsi

que la

divergence

^entre les données déduites des deux modèles à haute

température

résulte de ce

qui distingue

tout

particulièrement

^ces modèles l’un de

l’autre,

^à

savoir la

prise

^en considération _par Holland de la contribution des

phonons

transverses à la conductibi- lité

thermique

^K.

Il faut noter

qu’une

conclusion

analogue

^{a été for-}

mulée ^sur le rôle des

phonons

transverses dans la conductivité

thermique

du silicium et du

germanium [6],

de l’antimoniure d’indium et de l’arséniure de

gallium [26],

^ainsi que des

alliages silicium-germanium [27].

Récemment,

^{Hamilton et Parrot}

[32]

^{ont calculé la} conductibilité

thermique K

^du

germanium

par la méthode variationnelle et ont obtenu ^un bon accord entre les valeurs calculées et les résultats

expérimen-

taux de K. Ce

calcul, qui

^tient

compte

des contributions des différents modes de

polarisation,

^montre que le

transport

de la chaleur a lieu essentiellement _par les

phonons

transverses.

Conclusion. ^- Le modèle de Holland

appliqué

^{à la}

conductivité

thermique

^{du GaSb a}

permis

^{de rendre}

compte

des résultats

expérimentaux

^dans l’intervalle de

température compris

^{entre le} maximum de K et 300 "K. L’écart observé aux basses

températures

^entre

les courbes

théorique

^et

expérimentale

^est à relier à la

présence

d’une diffusion

électron-phonon

^résiduelle

due à une

compensation imparfaite

du matériau étudié.

Comparativement,

le modèle de

Callaway

^n’a

pas

permis

d’obtenir des résultats satisfaisants. Cette étude

souligne l’importance

^{de la} contribution des

phonons

transverses à la conduction

thermique

^de

l’antimoniure de

gallium.

Remerciements. ^- Nous remercions A. M.

Poujade

des résultats récents de conductivité

thermique

^à

haute

température,

^{et C.}

Blanjot

pour ^son assistance

technique.

Bibliographie

[1] ^CASIMIR (H. B. G.),

Physica, 1938,

5, ^495.

[2] ^KLEMENS (P.

G.),

^Proc. Roy. ^Soc.

(London),

1951, A 208, ^{108 et} 1955, A 68, ^{1113. Solid State} Physics, ^SEITZ (F.) ^{et TURNBULL} (D.), ^Eds (Aca- demic Press, ^{Inc. New} York, 1958), 7, ^1.

[3] ^HERRING (C.), Phys. Rev., 1954, 95, ^954.

[4] ^CALLAWAY (J.), Phys. Rev., 1959, 113, ^1046.

[5] CARRUTHERS (P.), ^{Rev. Mod.} Phys., 1961, 33, ^92.

[6] ^HOLLAND (M. G.), Phys. Rev., 1963, 132, 2461.

[7] CARRUTHERS (J. A.), ^GEBALLE (T. H.), ^ROSENBERG (H. M.) ^{et ZIMAN} (J. M.), ^Proc. Roy. Soc., 1957,

A 238, ^502.

[8] CARRUTHERS (J. A.), ^COCHRAM (J. F.) ^{et MENDELS-}

SOHN (K.), Cryogenics, 1962, 2, ^160.

[9] ^GOFF (J. F.) ^{et PEARLMAN} (N.), Phys. Rev., 1965, 140, ^{A 2151.}

[10]

^MATHUR (M. P.) ^{et PEARLMAN} (N.), Phys. Rev., 1969, 180, ^833.

[11]

^ALBANY

(H.

^{J.) et LAURENCE} (G.), ^{Solid State} Commun., 1969, 7, ^63.

[12]

^CHALLIS (L. J.), ^CHEEKE (J. ^D. N.) ^{et WILLIAMS} (D. J.),

Low temperature Physics, ^Plenum Press, 1965,

1145.

[13]

^POUJADE

(A.

M.), ^ALBANY (H. J.), ^BOUGNOT (G.),

C. R. Acad. Sci., Paris, 1969, 268, ^860.

[14]

^POUJADE (A. M.) ^{et ALBANY} (H. J.), Phys. Rev., 1969, 182, ^802.

[15]

^VOOK (F. L.), Phys. Rev., 1965, 138A, ^1234.

[16]

^ALBANY (H. J.) ^et VANDEVYVER (M.), ^J. Appl. Phys., 1967, 38, ^425.

[17]

VANDEVYVER (M.) ^{et ALBANY} (H. J.), Physics Letters, 1967, 25A, ^115.

500

[18] ^ALBANY (H. J.) ^et VANDEVYVER (M.), Phys. Rev., 1967, 160, ^633.

[19] ^VOOK (F. L.), Phys. Rev., 1964, 135, ^{A 1750.}

[20] ^ZIMAN (J. M.), ^Phil. Mag., 1956, 1, 191 ; 1957, 2, ^292.

[21] ^KEYES (R. W.), Phys. Rev., 1961, 122, ^1171.

[22] ^GRIFFIN (A.), CARRUTHERS (P.), Phys. Rev., 1963, 131, 1976.

[23] ^POHL (R. O.), Phys. Rev., 1960, 118, ^1499.

WALKER

(C.

T.), Phys. Rev., 1964, 135A, ^1742.

TOXEN (A. M.), Phys. Rev., 1961,122, ^450.

THOMPSON (J. C.), ^YOUNGLOVE

(B.

A.), ^J. Phys. Solids, 1961, 20, ^146.

KLEIN (M. V.), Phys. Rev., 1961, 123, 1877.

HOLLAND (M. G.) ^{et NEURINGER}

(L.

J.), Proceedings of the International Conference on the Physics of

semiconductors,

Exeter, ¹⁹⁶² (The Institute of

Physics

^{and the} Physical Society, London, 1962),

474.

AGRAWAL

(B.

K.) ^{et VERMA} (G. S.),

Phys.

Rev., 1962, 126, 24.

AGRAWAL (B. K.) et VERMA (G. S.), Phys. Rev., 1962, 128, 603.

[24] ^TOXEN (A. M.), Phys. Rev., 1961, 122, ^450.

[25] ^KLEMENS (P. G.), ^Proc. Roy. ^Soc. (London), 1951,

A 208, ^108.

[26] ^BHANDARI

(M.)

^{et VERMA}

(G.

S.),

Phys.

Rev., 1965, 140, ^2101.

[27] ^PARROT (J. E.), ^Proc.

Phys.

^Soc.

(London),

1963, 81, 726.

[28] ^HOLLAND

(M.

G.), Phys. Rev., 1964, 134, ^{A 471.}

[29] ^MITRA (S. S.), Phys. Rev., 1963, 132, ^986.

[30] ^WAUGH (J. ^L. T.) ^{et DOLLING} (G.), Phys. Rev., 1963, 132, 2410.

[31] ^MCSKIMIN

(H. J.),

BOND (W.

L.), PEARSON (G. L.)

^et

HROSTOWSKI (H. J.), ^Bull. of Am.

Phys.

Soc., 1956, 1, ^11.

[32] ^HAMILTON

(R.

^A. H.) ^et PARROT (J. E.), Phys. Rev., 1969, 178, 1284.