Classe de terminale S
Activité préparatoire : Suites arithmétique ou géométrique
Rappel
Suite arithmétique Suite géométrique
Relation de récurrence
Il existe un réel a, (raison de la suite) tel que :
Pour tout n, un+1− =un a
Il existe un réel b (raison de la suite) tel que :
Pour tout n, un+1= ⋅b un
Terme général Pour n ≥ p, un =up + −(n p a) Pour n≥ p, un =up⋅b(n p− )
Sommes particulières ( 1)
1 2 2
n n n+
+ + + =⋯ Si b≠1,
1
2 1
1 1
n
n b
b b b
b
− +
+ + + + =
⋯ −
Limite lim n 0 si 1, lim n si 1
x b b x b b
→+∞ = < →+∞ = +∞ >
Le réel (ou ) est la raison de la suite arithmétique (ou géométrique) On cobsidère un triangle ABC de côté , avec 0, et le triangle rectangle
de hauteur , .
6 A partr de chacun de ces
a b
d d
POQ OP h OPQ π
>
= =
triangles, on construit une spirale en traçant successivemen:
* Des arcs de cercles de centre A,B ou C
* Des segments, chacun perpendiculaire au précédent et ayant leurs extrémités sur et '.
Cn
D D
Pour 1, on note le rayon de l'arc de cercle , sa longueur et la longueur du n-ième segment tracé.
1)a) Justifier que la suite ( ) est arithmétique.
b) Pour 1, exprimer ( ) en fonction
n n n n
n n
n r C l p
r
n l
≥
≥
1 1
de . En déduire que la suite ( ) est arithmétique.
2) Montrer que la suite ( ) est géométrique.
3) Pour 1, On pose et .
a) Donner une interprétation géométrique de chacun
n n
n
n n
n k n k
k k
r l
p
n L l P p
= =
≥ =
∑
=∑
des nombres et . b) Exprimer en fonction de et de , et en fonction de et . c) En déduire la limite de et celle de lorsque tend vers .
n n
n n
n n
L P
L n d P n h
L P n + ∞
