Corrigé du DS du 05/02/2019
Exercice 1 : Voir le cours Exercice 2 :
1. = −3 20 −3 = −3 0
0 −3 + 0 2
0 0 = −3 1 0
0 1 + 0 2
0 0 = −3 + 2. = 0 00 0
Ainsi = −3 + = 9 − 6 + = 9 − 6 3. Initialisation :
= et −3 + 0−3 = 1 + 0 = : la propriété est vraie au rang 0.
Hérédité :
Supposons que = −3 + −3 est vraie pour un certain rang et montrons que = −3 + + 1−3.
= × = −3 + −3 × −3 +
= −3+ −3 − 3−3 + −3
= −3 + −3 + −3 + −3× 0
= −3 + −3 + −3
= −3 + + 1−3 Conclusion :
pour tout entier naturel , = −3 + −3
Enfin : = −3 2−3
0 −3 .
Exercice 3 : 1. a)
≡ ⋯ [2] 0 1
+ 5 ≡ ⋯ [2] 1 0 ≡ ⋯ [2] 0 0
≡ ⋯ [3] 0 1 2
+ 5 ≡ ⋯ [3] 2 0 0
≡ ⋯ [3] 0 0 0
b) Le premier tableau montre que 2 divise et le deuxième montre que 3 divise .
2 et 3 étant premiers entre eux, d’après le corollaire du théorème de Gauss, 2 × 3 = 6 divise . 2. a) 14 × 2 + 27 × −1 = 28 − 27 = 1.
b) D’après le théorème de Bézout, les nombres 14 et 27 sont premiers entre eux.
c) 14$ + 27% = 1 = 14 × 2 + 27 × −1
Ce qui s’écrit : 14$ − 2 = 27−% − 1∗
Ainsi 27 divise 14$ − 2. Or 14 et 27 sont premiers entre eux donc, d’après le théorème de Gauss, 27 divise $ + 1 et donc $ − 2 = 27' ⇔ $ = 27' + 2 où ' décrit l’ensemble ℤ.
En remplaçant dans l’égalité ∗, on obtient – % − 1 = 14' ⇔ % = −1 − 14'
Les solutions de l’équation sont les couples 27' + 2; −1 − 14' où ' décrit l’ensemble ℤ. d) On multiplie par 5 dans l’égalité de la question a) : 14 × 10 + 27 × −5 = 5.
14$ + 27% = 5 = 14 × 10 + 27 × −5 Ce qui s’écrit : 14$ − 10 = 27−% − 5
Par une résolution similaire : les solutions de l’équation sont les couples 27' + 10; −5 − 14' où ' décrit l’ensemble ℤ.
Exercice 4 : 1)
2) , = -0,9 0,8 0 0 0,2 0,5 0,1 0 0,5/
3) On suppose qu’au départ un individu est immunisé donc 0 = -1 00/.
, = -0,81 0,88 0,4 0,05 0,04 0,35
0,14 0,08 0,25/ et donc 0 = ,0= -0,81 0,88 0,4 0,05 0,04 0,35 0,14 0,08 0,25/ -1
00/ = -0,81 0,050,14/ a) La probabilité que l’individu soit malade au bout de 2 mois est de 0,05,
b) La probabilité que l’individu soit encore immunisé au bout de 2 mois est de 0,81.
4) Calculer la probabilité pour que, au bout d’ 1 an, un individu soit malade dans chacun des cas suivants :
a) au départ, il est immunisé donc 0 = -1 00/.
0= ,0 ≈ -0,755 0,094
0,151/, la probabilité qu’il soit malade au bout d’un an est d’environ 0,094.
b) au départ, il est sain et non immunisé donc 0 = -0 01/.
0= ,0 ≈ -0,755 0,094
0,151/, la probabilité qu’il soit malade au bout d’un an est d’environ 0,094.
c) au départ, il est malade, donc 0 = -0 10/.
0= ,0 ≈ -0,755 0,094
0,151/, la probabilité qu’il soit malade au bout d’un an est d’environ 0,094.
Exercice 5 :
1) a) Si et 2 sont pairs, ≡ 0[2] et 2 ≡ 0[2] et donc + 2 ≡ 0[2] et − 2 ≡ 0[2]
De même si et 2 sont impairs, ≡ 1[2] et 2 ≡ 1[2] et donc + 2 ≡ 2[2] ≡ 0[2] et − 2 ≡ 0[2]. b) Pour tout ∈ ℕ, si est pair, aussi donc + et − sont pairs et donc
5
et
5 sont des entiers. Même conclusion si est impair.
2) a) 16 = 1 = 1− 0, 26 = 8 = 9 − 1 = 3− 1 et 36 = 27 = 36 − 9 = 6− 3. b ;2 + < = 2 − < = ⇔ ; 22 = +
2< = − ⇔
⎩⎨
⎧2 = + 2
< = − 2
D' après la question précédente, les nombres 2 et < obtenus sont bien des entiers naturels.
6 = × = 2 + <2 − < = 2− <
c) D’après ce qui précède, pour tout entier naturel non nul, 6 = 2− <
où 2 = +
2 et < =
− 2 . 3 Application : 76 = K7+ 7
2 L
− K7− 7 2 L
= 56 2
− 42 2
= 28− 21.
Exercice 6 : Bonus, seulement s’il reste du temps
Répondre au problème revient à résoudre l’équation 5$ + 12% = 200 où $ et % sont des entiers naturels.
La résolution de l’équation diophantienne donne $ = 40 − 12' et % = 5' où ' décrit l’ensemble ℤ. Il faut que $ ≥ 0 donc ' ≤ 3 et % ≥ 0 donc ' ≥ 0 : ' prend donc 4 valeurs possibles : 0, 1, 2 et 3 Solutions : 40; 0, 28; 5, 16; 10; 4; 15.
