Partie II

2ECS

Devoir surveill´e 1

EXERCICE 1

On d´efinit sur l’intervalle ]0; 1] les deux fonctions f :x7−→xln(x) et g :x7−→x^x= e^xln(x). 1. a) Les fonctions f etg admettent-elles des limites en 0 ?

b) Dresser les tableaux de variations des fonctions f et g sur ]0; 1].

c) Repr´esenter graphiquement f.

d) Justifier que l’int´egrale Z 1

0

g(t)dt est convergente. On notera I sa valeur.

2. Pour tout n∈N, on pose :

u_n = 1 n!

Z 1

0

(tln(t))ⁿdt et :

Sn=

n

X

k=0

uk. a) Justifier que, pour tout n∈N, u_n existe.

b) Montrer que la suite (un)n∈N converge vers 0.

c) Calculer u₀ etu₁.

d) `A l’aide d’int´egrations par parties successives, montrer que :

∀n∈N, un= (−1)ⁿ (n+ 1)ⁿ⁺¹. e) Montrer que la s´erie de terme g´en´eral u_n est convergente.

f) ´Ecrire une fonction Scilab d’en-tˆetefunction S = somme(n)qui prend en param`etre d’entr´ee un entier natureln et qui produit en param`etre de sortie la valeur deS_n. 3. a) `A l’aide de l’in´egalit´e de Taylor-Lagrange en 0 `a l’ordre n appliqu´ee `a la fonction

exponentielle, montrer que, pour tout x∈

−1 e,0

et tout entier naturel n :

e^x−

n

X

k=0

x^k k!

6 1

eⁿ⁺¹(n+ 1)!. b) En d´eduire que :

∀n∈N, |I−S_n|6 1 eⁿ⁺¹(n+ 1)!. c) Montrer que :

I =−

+∞

X

n=1

(−1)ⁿ nⁿ .

d) ´Ecrire une fonction d’en-tˆete function I = estimation(eps) qui prend comme param`etre d’entr´ee un r´eel flottant strictement positif ε et qui produit en param`etre de sortie une valeur approch´ee de I `a ε pr`es.

1

EXERCICE 2

On d´esigne par n un entier naturel sup´erieur ou ´egal `a 1 et on consid`ere la fonction fn d´efinie par :

∀x∈[0,1] , fn(x) =

n

X

k=1

x^k.

1. a) Compl´eter la fonctionScilabsuivante pour qu’elle renvoie la valeur def_n(x) `a l’appel de f(x,n), o`ux et n sont donn´es par l’utilisateur.

function y=f(x,n) y=sum(---) endfunction

b) Transformer, pourx6= 1, l’expression defn(x) puis en d´eduire une deuxi`eme fa¸con de d´eclarerf, en compl´etant la d´eclaration suivante o`u la fonction est toujours nomm´ee f.

function y=f(x,n)

if x==1 then y=--- else y=--- end

endfunction

2. Montrer que l’´equation f_n(x) = 1, d’inconnue x ´el´ement de [0,1], poss`ede une unique solutiona_n dans [0,1].

3. a) Montrer quef_n+1(a_n)>1 et en d´eduire que la suite (a_n)n∈N^? est d´ecroissante.

b) En d´eduire que la suite (an)n∈N^? converge.

4. a) D´eterminer a₂ puis v´erifier que 0 6a₂ <1.

b) Utiliser les variations de la suite (a_n)n∈N^? pour ´etablir que lim

n→+∞aⁿ⁺¹_n = 0.

c) En d´eduire que lim

n→+∞a_n = 1 2.

5. On suppose que f_n a ´et´e d´eclar´ee (voir question 1) et on consid`ere les commandes suppl´ementaires suivantes :

n=input(’entrer la valeur de n :’) x=0

while f(x,n)<1 x=x+0.001 end

disp(x)

Quel est le lien entre le r´esultat affich´e et a_n?

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PROBL` EME

Partie I

1. Dans cette question, (a_n)n∈N est une suite de r´eels strictement positifs, d´ecroissante et de limite nulle.

Pour tout entier naturel n, on pose : u_n =

2n

X

k=0

(−1)^ka_k, v_n =

2n+1

X

k=0

(−1)^ka_k, s_n =

n

X

k=0

(−1)^ka_k.

a) Montrer que la suite (u_n)n∈N est d´ecroissante, et que la suite (v_n)n∈N est croissante.

b) Montrer que les deux suites (u_n)n∈Net (v_n)n∈Nforment un couple de suites adjacentes.

c) En d´eduire que la s´erie de terme g´en´eral (−1)ⁿa_n, est convergente.

2. a) Montrer que la s´erie de terme g´en´eral (−1)^k

k+ 1est convergente.

On note

+∞

X

k=0

(−1)^k

k+ 1 sa somme.

b) ´Etablir, pour tout r´eel t positif et pour tout n deN^?, l’´egalit´e :

n−1

X

k=0

(−1)^kt^k = 1

1 +t −(−1)ⁿ tⁿ 1 +t.

c) En d´eduire que pour toutn deN^? :

n−1

X

k=0

(−1)^k

k+ 1 = ln(2)−(−1)ⁿ

1

Z

0

tⁿ 1 +tdt d) En d´eduire la valeur de la somme

+∞

X

k=0

(−1)^k k+ 1.

Partie II

Deux amis, Pierre et Paul jouent au jeu suivant : ils poss`edent une machine qui, `a chaque sollicitation, leur donne al´eatoirement un entier naturel n; chaque sollicitation constitue une manche de ce jeu et :

• si cet entier n est impair, Paul donne n Euros `a Pierre : on consid`ere que Pierre gagne et que son gain est ´egal `a + n;

• si cet entier n est pair, Pierre donne n Euros `a Paul : on consid`ere que Pierre perd et que son gain est ´egal `a - n;

• si n= 0, on consid`ere que Pierre perd, et que son gain est ´egal `a 0.

On consid`ere un espace probabilis´e (Ω,A, P) qui mod´elise le jeu.

Soit X la variable al´eatoire correspondant au nombre obtenu lors d’une sollicitation.

1. On suppose, jusqu’`a la fin de la question 5, que la loi de probabilit´e deX est d´efinie par P(X = 0) = 0, et pour tout n>1 :P(X =n) = α

n(n+ 1) o`uα est un r´eel strictement positif.

3

a) D´eterminer deux r´eels a et b tels que, pour tout n deN^? : 1

n(n+ 1) = a n + b

n+ 1. b) En d´eduire la valeur deα.

2. a) Calculer la probabilit´e que Pierre gagne une manche quelconque.

b) On noteGla variable al´eatoire donnant le gain de Pierre pour une manche. D´eterminer la loi de Get calculer l’esp´erance de G si elle existe.

3. Pierre et Paul effectuent deux manches cons´ecutives. On suppose que les r´esultats de ces deux manches sont ind´ependants. On note Y le gain cumul´e de Pierre `a l’issue de ces deux manches.

Calculer P(Y = 0), P(Y = 2) etP(Y =−2).

4. a) Montrer que l’int´egrale

1

Z

0

ln(x)

1−x²dx est convergente.

b) ´Etablir, pour tout r´eel xde ]0; 1[ et pour tout n de N^?, l’´egalit´e : ln(x)

1−x² =

n

X

k=0

x^2kln(x) + x²ⁿ⁺²ln(x) 1−x² c) Montrer que pour tout entier naturel k, l’int´egrale

1

Z

0

x^2kln(x)dx converge.

Exprimer en fonction de k la valeur de cette int´egrale.

d) Montrer que la fonction x 7→ x²ln(x)

1−x² , d´efinie sur ]0; 1[, est prolongeable par conti- nuit´e en 0 et en 1. En d´eduire qu’elle est born´ee sur [0; 1]. Calculer lim

n→+∞

1

Z

0

x²ⁿ⁺²ln(x) 1−x² dx.

e) En d´eduire l’´egalit´e :

1

Z

0

ln(x)

1−x²dx=−

+∞

X

k=0

1 (2k+ 1)². On admet que :

+∞

X

k=1

1 k² = π²

6 . Calculer la valeur de

1

Z

0

ln(x) 1−x²dx.

5. a) D´eterminer trois r´eels a, b et ctels que pour toutn deN^?, on ait l’´egalit´e suivante : 1

n(n+ 1)²(n+ 2) = a

n + b

(n+ 1)² + c n+ 2 b) Calculer P(Y = 1).

6. On suppose dans cette question queX suit une loi de Poisson de param`etre λ, (λ >0).

a) Calculer, en fonction de λ, la probabilit´e que Pierre gagne une manche.

b) Comparer la probabilit´e que Pierre gagne une manche `a celle qu’il perde une manche.

c) On noteGla variable al´eatoire donnant le gain de Pierre pour une manche. D´eterminer la loi de Get calculer l’esp´erance de G si elle existe.

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