MPSI A - MPSI B Ann ˜A ce 2014-2015. DS 5 le 19/12/14 22 d´ecembre 2017
Probl ˜ A¨me 1.
Dans ce probl ˜A¨me,aet bsont deux r ˜A cels tels quea < bet I= [a, b].
Partie I. th ˜A cor ˜A¨me du point fixe
Soitg:I→Iune fonctionk-lipschitzienne aveck∈[0,1[.
1. a. (Question de cours) Montrer quegest continue surI.
b. Montrer que l’ ˜A cquationg(x) =xposs ˜A¨de une solution et une seule dans le segmentI. On noteraαcette solution.
2. Soitu∈I et (xn)n∈N la suite r ˜A celle d ˜A cfinie par : x0=u et ∀n∈N :xn+1=g(xn) a. Montrer que :
∀n∈N, |xn−α| ≤kn|u−α|
En d ˜A cduire que (xn)n∈N converge vers un r ˜A cel ˜A pr ˜A cciser.
b. ´Etablir que :
∀(n, p)∈N2, |xn+p−xn| ≤1−kp
1−k|xn+1−xn| c. En d ˜A cduire que :
∀n∈N, |xn−α| ≤ kn
1−k|x1−x0|.
3. On suppose quegest d ˜A crivable enα.
a. ´Etablir que|g0(α)| ≤k.
b. Avec les notations de la question 2, montrer que, (∀n∈N, xn6=α)⇒
xn+1−α xn−α
n∈N
→g0(α)
Partie II. M ˜A cthode de Newton
Soitf une fonction deIdansRde classeC2 et telle que : f(a)<0, f(b)>0, ∀x∈I, f0(x)>0
On s’int ˜A cresse ici ˜A la r ˜A csolution de l’ ˜A cquationf(x) = 0 d’inconnuex∈I.
1. a. Montrer que cette ˜A cquation poss ˜A¨de une unique solution dans ]a, b[.
Cette solution sera not ˜A ceα.
b. Soit x0 ∈ I. D ˜A cterminer l’abscisse du point d’intersection de l’axe des abscisses et de la tangente ˜A f enx0.
2. On d ˜A cfinit la fonctiong par :
g:
I→R x7→x− f(x)
f0(x) a. Justifier queg est de classeC1.
b. Calculerg(α) etg0(α).
3. Dans cette question seulement,f0 est d ˜A ccroissante.
a. Dessiner le graphe d’une fonctionf v ˜A crifiant toutes ces conditions.
b. Montrer que, l’intervalle [a, α] est stable parg. En d ˜A cduire que l’on peut d ˜A cfinir une suite (xn)n∈Npar :
x0=a et ∀n∈N, xn+1=g(xn).
c. Montrer que (xn)n∈Nconverge versα.
4. On revient au cas g ˜A cn ˜A cral.
a. Justifier qu’il existeh >0 tel que, en notantJ = [α−h, α+h], on ait :
∀x∈J, |g0(x)|<1 b. ´Etablir que :∀x∈J, g(x)∈J.
c. Justifier qu’il existek∈[0,1[ tel queg soitk-lipschitzienne surJ. d. En d ˜A cduire que, pour toutu∈J, la suite (xn)n∈Nd ˜A cfinie par
x0=u et ∀n∈N, xn+1=g(xn) converge versα.
Cette cr´eation est mise `a disposition selon le Contrat
Paternit´e-Partage des Conditions Initiales `a l’Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
1 S1405E
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z0
z1
z2
z3
z4
Fig.1: D ˜A cfinition des points zi.
Fig.2: Intersection avec ]0,+∞[.
Probl ˜ A¨me 2.
On d ˜A cfinit par r ˜A ccurrence une suite (zn)n∈N∗de nombres complexes ˜A l’aide de propri ˜A ct ˜A cs g ˜A com ˜A ctriques. SoitO le point d’affixe 0, fixons z0 = 1 et construisons zn A partir de˜ zn−1 en imposant des conditions sur le triangle Ozn−1zn. Il doit ˜Aatre :
rectangle enzn−1, orient´edans le sens direct, tel que|zn−1−zn|= 1.
La r´eunion des segments [zn, zn+1] constitue une ligne polygonale infinie (not ˜A ce L) de forme spirale (figures 1 et 2).
Partie I. Expression d’un argument.
1. Formuler tr ˜A¨s pr ˜A ccis ˜A cment un r ˜A csultat de cours liant la fonction arctan avec un argument d’un nombre complexe non nul.
2. Exprimerzn en fonction dezn−1de|zn−1|et deipuis|zn+1|en fonction de zn. En d ˜A cduire|zn| en fonction den.
3. Pourn≥1, on d ˜A cfinitαn par : αn =
n
X
k=1
arctan 1
√ k Montrer queαn est un argument dezn.
Partie II. Lemme technique.
Dans cette partie, (un)n≥2 et (vn)n≥2 sont deux suites de r´eels strictement positifs. On d´efinit (Un)n≥2et (Vn)n≥2 par
Un=u2+u3+· · ·+un, Vn=v2+v3+· · ·+vn
1. Calculer un ´equivalent de la forme n√An (Ar´eel) pour 1
√n−1 − 1
√n
n≥2
2. On suppose (un)n≥2 domin´ee par (vn)n≥2 et (Vn)n≥2 convergente vers un r ˜A celV.
a. Montrer que (Un)n≥2est convergente. On noteU sa limite.
b. Montrer que (U−Un)n≥2est domin´ee par (V −Vn)n≥2.
3. Soit B > 0 et (un)n≥2 une suite ´equivalente `a (Bn−32)n≥2. Montrer que (Un)n≥2est convergente et que, siU est sa limite, (U−Un)n≥2est domin´ee par (n−12)n≥2.
Partie III. Un d ˜A cveloppement asymptotique.
Pourn≥1, on pose
un= 2√ n−2√
n−1−arctan 1
√n
1. D ˜A cterminer une suite simple ´equivalente `a (un)n∈N. En d ˜A cduire que (un)n∈Nv´erifie les hypoth`eses de II.3.
2. ´Etablir l’existence d’une constante r´eelleC telle que αn= 2√
n−C+O(n−12)
Partie IV. Intersection avec ]0,+∞[.
On parcourt la ligne polygonaleLdans le sens direct `a partir dez0.
1. Montrer queLcoupe la demi-droite [0,+∞] en une infinit´e de points not ˜A cs successivementM0(=z0), M1, . . . , Mk, . . .(figure 2).
L’unique arˆete de la ligne polygonaleLqui contient le pointMk (k≥1), est d´esign´ee par ]zv(k)−1, zv(k)].
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2. Montrer quev(k)∼k2π2 en +∞et en d ˜A cduire v(k) =k2π2+Cπk+C2
4 +O(1)
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