Probl ˜ A¨me 1.

MPSI A - MPSI B Ann ˜A ce 2014-2015. DS 5 le 19/12/14 22 d´ecembre 2017

Probl ˜ A¨me 1.

Dans ce probl ˜A¨me,aet bsont deux r ˜A cels tels quea < bet I= [a, b].

Partie I. th ˜A cor ˜A¨me du point fixe

Soitg:I→Iune fonctionk-lipschitzienne aveck∈[0,1[.

1. a. (Question de cours) Montrer quegest continue surI.

b. Montrer que l’ ˜A cquationg(x) =xposs ˜A¨de une solution et une seule dans le segmentI. On noteraαcette solution.

2. Soitu∈I et (x_n)_n∈N la suite r ˜A celle d ˜A cfinie par : x0=u et ∀n∈N :xn+1=g(xn) a. Montrer que :

∀n∈N, |xn−α| ≤kⁿ|u−α|

En d ˜A cduire que (xn)_n∈N converge vers un r ˜A cel ˜A pr ˜A cciser.

b. ´Etablir que :

∀(n, p)∈N², |xn+p−xn| ≤1−k^p

1−k|xn+1−xn| c. En d ˜A cduire que :

∀n∈N, |xn−α| ≤ kⁿ

1−k|x1−x0|.

3. On suppose quegest d ˜A crivable enα.

a. ´Etablir que|g⁰(α)| ≤k.

b. Avec les notations de la question 2, montrer que, (∀n∈N, x_n6=α)⇒

xn+1−α x_n−α

n∈N

→g⁰(α)

Partie II. M ˜A cthode de Newton

Soitf une fonction deIdansRde classeC² et telle que : f(a)<0, f(b)>0, ∀x∈I, f⁰(x)>0

On s’int ˜A cresse ici ˜A la r ˜A csolution de l’ ˜A cquationf(x) = 0 d’inconnuex∈I.

1. a. Montrer que cette ˜A cquation poss ˜A¨de une unique solution dans ]a, b[.

Cette solution sera not ˜A ceα.

b. Soit x0 ∈ I. D ˜A cterminer l’abscisse du point d’intersection de l’axe des abscisses et de la tangente ˜A f enx0.

2. On d ˜A cfinit la fonctiong par :

g:





 I→R x7→x− f(x)

f⁰(x) a. Justifier queg est de classeC¹.

b. Calculerg(α) etg⁰(α).

3. Dans cette question seulement,f⁰ est d ˜A ccroissante.

a. Dessiner le graphe d’une fonctionf v ˜A crifiant toutes ces conditions.

b. Montrer que, l’intervalle [a, α] est stable parg. En d ˜A cduire que l’on peut d ˜A cfinir une suite (xn)_n∈Npar :

x0=a et ∀n∈N, xn+1=g(xn).

c. Montrer que (x_n)_n∈Nconverge versα.

4. On revient au cas g ˜A cn ˜A cral.

a. Justifier qu’il existeh >0 tel que, en notantJ = [α−h, α+h], on ait :

∀x∈J, |g⁰(x)|<1 b. ´Etablir que :∀x∈J, g(x)∈J.

c. Justifier qu’il existek∈[0,1[ tel queg soitk-lipschitzienne surJ. d. En d ˜A cduire que, pour toutu∈J, la suite (xn)n∈Nd ˜A cfinie par

x0=u et ∀n∈N, xn+1=g(xn) converge versα.

Cette cr´eation est mise `a disposition selon le Contrat

Paternit´e-Partage des Conditions Initiales `a l’Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

1 S1405E

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z0

z1

z2

z3

z4

Fig.1: D ˜A cfinition des points zi.

Fig.2: Intersection avec ]0,+∞[.

Probl ˜ A¨me 2.

On d ˜A cfinit par r ˜A ccurrence une suite (zn)_n∈N^∗de nombres complexes ˜A l’aide de propri ˜A ct ˜A cs g ˜A com ˜A ctriques. SoitO le point d’affixe 0, fixons z₀ = 1 et construisons z_n A partir de˜ z_n−1 en imposant des conditions sur le triangle Oz_n−1z_n. Il doit ˜A^atre :

rectangle enz_n−1, orient´edans le sens direct, tel que|z_n−1−zn|= 1.

La r´eunion des segments [zn, zn+1] constitue une ligne polygonale infinie (not ˜A ce L) de forme spirale (figures 1 et 2).

Partie I. Expression d’un argument.

1. Formuler tr ˜A¨s pr ˜A ccis ˜A cment un r ˜A csultat de cours liant la fonction arctan avec un argument d’un nombre complexe non nul.

2. Exprimerz_n en fonction dez_n−1de|z_n−1|et deipuis|z_n+1|en fonction de z_n. En d ˜A cduire|z_n| en fonction den.

3. Pourn≥1, on d ˜A cfinitα_n par : α_n =

n

X

k=1

arctan 1

√ k Montrer queαn est un argument dezn.

Partie II. Lemme technique.

Dans cette partie, (un)n≥2 et (vn)n≥2 sont deux suites de r´eels strictement positifs. On d´efinit (Un)n≥2et (Vn)n≥2 par

Un=u2+u3+· · ·+un, Vn=v2+v3+· · ·+vn

1. Calculer un ´equivalent de la forme _n^√A_n (Ar´eel) pour 1

√n−1 − 1

√n

n≥2

2. On suppose (un)n≥2 domin´ee par (vn)n≥2 et (Vn)n≥2 convergente vers un r ˜A celV.

a. Montrer que (Un)_n≥2est convergente. On noteU sa limite.

b. Montrer que (U−Un)n≥2est domin´ee par (V −Vn)n≥2.

3. Soit B > 0 et (un)_n≥2 une suite ´equivalente `a (Bn⁻³²)_n≥2. Montrer que (Un)n≥2est convergente et que, siU est sa limite, (U−Un)n≥2est domin´ee par (n⁻¹²)n≥2.

Partie III. Un d ˜A cveloppement asymptotique.

Pourn≥1, on pose

un= 2√ n−2√

n−1−arctan 1

√n

1. D ˜A cterminer une suite simple ´equivalente `a (un)<sub>n∈N</sub>. En d ˜A cduire que (un)<sub>n∈N</sub>v´erifie les hypoth`eses de II.3.

2. ´Etablir l’existence d’une constante r´eelleC telle que αn= 2√

n−C+O(n⁻¹²)

Partie IV. Intersection avec ]0,+∞[.

On parcourt la ligne polygonaleLdans le sens direct `a partir dez0.

1. Montrer queLcoupe la demi-droite [0,+∞] en une infinit´e de points not ˜A cs successivementM0(=z0), M1, . . . , Mk, . . .(figure 2).

L’unique arˆete de la ligne polygonaleLqui contient le pointMk (k≥1), est d´esign´ee par ]z_v(k)−1, z_v(k)].

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2. Montrer quev(k)∼k²π² en +∞et en d ˜A cduire v(k) =k²π²+Cπk+C²

4 +O(1)

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