Chapitre 23 Séries de Fourier

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Chap 23 : Séries de Fourier

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Chap 23 : Séries de Fourier

I. Préliminaires : Polynômes trigonométriques

( ^ik )_k , c'est une algèbre dont ( ⁱ^k )_k ( )_k est une base vectorielle : _{k l} _{k l}

Vect e ^ _ e ^ _ e e e e _

  

2 2

( , 1 0

| ( ) ( ) ( )

) , 2 , c'est un ps hermitien sur pour lequel est un

Pour P Q P Q ^P t Q t dt e_k e BON

  

 



1

0 ( cos( ) sin( ))

Tout poly trogonométrique s'écrit alors _k

n

k

P c  k k k



 



  

0 0

1, cos( ) | , sin( ) | 2

2 2

Pour k n , k P ^k k P ^k et ^P c

        





0 0 0

1 1 1

0

( cos( ) sin( )) ' ( ' cos( ) ' sin( )) ' 1 ' '

2

ik ik

k k k k

k k k k k k

n n n

k n k n k n

n n n

k k k

k k

c k k c k k c c

e e

   

       

  

 





 

          

  

2

2 0

1 1

sin sin

2 1 2

( ) ( ... )

sin 1 ( 1)sin

2 2

Noyaux : de Dirichlet : , de Fejer : (rec)

N

n N N

ikt

k N

n t N t

D t e K D D

t N t

 N

   

 

 

     

 



2

( ), [ ] ?

, 1 ( ), | || |...

| |

, , ( ) , ( zéros de

mêmes mult, et

) ^iNt ^it

N it it

k k

k

P e f e f X f

conj z z f f z f C e z e

t P t P QQ

z P

z z

 Q 



      

        

   



\] ; 1| 1

( , ) est par morceaux si : { } subdiv° tq , possède un prolongement sur [ ; ]

k k

pm x x k

k k

f C C  x k f _ C x x _

1 { , }, 1 ) '(

)) [

: ( '(

2 ]

Rappel : Si et sont et _pm, en notant pour ^b ^b_a ^b

a a

f g ^C ^C h f g h t h t^ h t^



fg  fg 



fg

Si non continues, il apparait des masses de Dirac

II. Coefficients de Fourier

0

0 2

0

( , )

, ( ) 1 ( )

2 2 2 2

* ( ) ( ) cos ( ) ( )sin

2 -périodique. On lui associe des coefficients de Fourier :

complexes :

réels : , , et

pm

in t T

n

n n

T

T T

f T

n c f f t e dt

T

n a f f t nt dt b f f t nt dt a

T T T T



 





  

   

       



 

C

0( ) c f



1 1

* ( ) ( ( ) ( )) ( ) ( ( ) ( ))

2 2

Pour k , c_k f  a_k f ib_k f c__k f  a_k f ib_k f Désormais, T2

[ 2

*, ( ) 0 ( ) 0 , ]

Les coeffs s'obtiennent en intégrant sur n'importe quel intervalle de longueur

Si est impaire, f k a_k f Si esf t paire, b_k f (intégration sur )



 

  

 

(2)

( ) : ( ) , ( ) ( )

Translations : pour h , fh h f t f th  n cn fh e^inhcn f

1 1

2 |

|

,| ( ) | | ( ) |

( , ) lim ( ) 0

Ordre de grandeur : et est continue pour

(Riemann-Lebesgue ou Bessel)

et

Si , alors

n

n n n

pm

n

n c f f c f f c

f _ c f

 



    

C 

0 1

0

( cos( ) sin( )) 0( ) , ( ) ( )

2 2

Si _n _n CVU de somme , et _n _n et _n _n

n

a a

a nx b nx f c f n a f a b f b







     

2

( ) | | ||

2 0

]0,1[ ( ) ( ) 1 ( ) ( ) 2 ( ) 1

1 2 cos

, CVN à fixé, et : , ,

I int n

n n

r r n r r r

r P t r e r P t r c P r a P r a P

r t r





      

 



1 2

( , ) _pm de dérivée généralisée f n *, _n( ) 1 _n( )

i f

f c

c

f C ^ C    n 

, ( ) (1/ )

Si est f C^p c_n f o n^p

// //

2 0

1 2

( ) ( )

, ( , ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 ,

, _n

HP

n n

g x f x t g t dt

f g _ f ^ n c f g c f c g

      

^C



III. Point de vue préhilbertien

2 0

1 1

( , ) / , ( ) ( ( ) ( )) , |

2 . Sur 2 est un ps hermitien

f pm_ x f x f x f x f g ^ f g



  

 

         

 ^C 



( )_k _k est dense dans pour 2

Vect e _ 

( )

: ( ) | ( ) est la proj. orth. de sur (minimise la dist. euclidienne)

N

k N

n n N k k

f c f e f S f c f e f



     



2 0

2 2

0 2

2 2

( ( )) || | ( ) | | 1 ( )

4 2

, : ( )

(

( ) |

CV vers pour CV et ) |

CV de somme

N N

n n

n

n n n n

n n

S f f c f c f a a b

f g c f c f g

f g

 

 



 

    

 

  

  



Déterminer une série de Fourier Dessiner sur plusieurs périodes,

faire attention aux intervalles de validité des formules



2 2 2 2 2

0 0

1

2 0

1

( ) ]0, 2 [ (0) 0 ( ) 1sin( ) || 0 | | | ' |

2 sur , tq

n

f x x f f x nx f f f f

n

  



  ^



    



^C



 







( ) ( 2

, )

et : _n _n (sur ^pm à un nombre fini de points près)

f g n c f c g  f g C_ 

(

( ) ) ( )

Si et _n ^inx CVU, alors , ⁱ^nx

n n

f c f e x f x cn f e



 





  



IV. Convergence simple et uniforme

0

1 sin(( 1/ 2) ) ( ) ( )

( ) sin( /

, (

)( 2) ) 2

: _N _N N t f x t f x t

D x dt

f x S f x f ^ t



     

  

 

   



1 1

, . , ( )( ) ( ) ( ( ) ( ))

Théorèmes de Dirichlet : f  C_pm  x S_N f x ^N^{ }^ f x 2 f x^  f x^ si f C_pm

(3)

2

// // 1 2

. 1 1 1

| ( ) | ( ) | ( ) |

, et Alors la série de Fourier de vers _n _n 2

H

n pm

P f f C c f c f c f

V f n

N  n 

       

C C 

( ) ( ) / 2

Pour f x   x , pas de CVN...

/ / / /

2

( ) ( ).

sup | ( ) | 0 | |

( , )

Divergence des séries de Fourier :

Thm de Banach-Steinbauss : espace de Banach, On a l'alternative :

dense dans tq , ou , ,

muni d

i C

HP

i I

i

i I

i

E u E

A E x A u x M i I u M

E _



         



L

C ( )(0) |

sup |

. : |

( ) | , dense dans tq : ,

e _n _n _n ⁿ

n

f u

A E E f

u f S

f

A u



 

     

2 2

0

1 sin (( 1) / 2)

( , ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 ( 1)

0 ] , [..., | ( )

sin( / 2)

( |

) )

Féjer : (

( CVU vers hors sur UC m

, , ,

CVU vers sur aj )

ù d o

e

n k n

N n

n

k

n n

n

n t

f f S f n x f F t

n n

K f f f

f t

f f

x K



 

 



         

 

   





C

2 ( , ) ( )( ) ( )

, ( ) 0 ( )(0) ( ) ( )

(Cesaro sur )

(Si DV,

, Si CV CV vers

dvp en série de Fourier aussi non:CVN)

k

n n

n

k n

f a S f a f a

k c f f S f c f f

 



  

    





C

V. Méthodes et applications

Parseval sert partout

Développement en série de Fourier :

Calcul direct Fractions rationnelles (et exponentielle)

PS avec une autre SF Intégrale à param. et décalage d'intervalles d'int° (périodicité)

 

( )

Séries entières et fonctions analytiques : Appliquer à  f reⁱ^

0

| (0) | max local de | |: _n ⁿ constante (coeff sous forme d'intégrale, unicité de Fourier)

n

f f z a z f









Equations fonctionnelles : convolutions, translations...

Equations différentielles