Fractions rationnelles et Calculs d’intégrales Feuille 23
Exercice23.1
Décomposer X2
X2+ien éléments simples dansC(X).
Exercice23.2
Montrer qu’il n’existe pas de fraction rationnelleF ∈K(X)telle queF2 =X.
Exercice23.3
SoitP un polynôme à coefficients complexes de degrén≥2et dont les racines, notéesx1, . . . , xn, sont suppo- sées simples.
1. Donner la décomposition en éléments simples de 1 P(X). 2. Montrer que
n
X
i=1
1
P0(xi) = 0.
Exercice23.4
SoitP un polynôme de degrénadmettantnracines distinctes notéesx1, . . . , xn. 1. Décomposer la fraction rationnelle P0
P en éléments simples.
2. Calculer
n
X
i=1
1
(x−xi)2 et X
1≤i<j≤n
1
(x−xi)(x−xj) en fonction dePet de ses dérivées.
Exercice23.5
SoitP ∈ R[X]un polynôme non constant. Montrer qu’il n’existe pas de fraction rationnelleF ∈ R(X)telle queF
Å X2 1 +X
ã
=P(X).
Exercice23.6
SoitF une fraction rationnelle surK, oùKest un corps de caractéristique nulle.
1. Démontrer que siαest une racine deF de multiplicitém ∈N∗, alorsαest une racine deF0de multiplicité m−1.
2. Démontrer que siβ est un pôle deF de multiplicitép∈N∗, alorsβest un pôle deF0de multiplicitép+ 1.
Exercice23.7
SoitP ∈C[X]. Quelle est la décomposition en éléments simples deF(X) = P0(X) P(X) ? Déterminer tous les polynômesP ∈C[X]tels queP0diviseP.
Exercice23.8
Décomposer en éléments simples dansR(X)la fraction X2n (X2+ 1)n.
Quentin De Muynck Sous licencecbea
FEUILLE XXIII - FRACTIONS RATIONNELLES ET CALCULS D’INTÉGRALES
Exercice23.9
Calcul de
Z
dt t7−1.Exercice23.10
SoitN un entier supérieur ou égal à 2. Calculer
N
X
n=2
3n2−1 (n−1)2n2(n+ 1)2.
Exercice23.11
Calcul de
Z
t4+t2+ 1 (t2+t+ 1)3 dt.Exercice23.12
Calcul de
Z
sintdt cos2t+ tan2t.Exercice23.13
SoitP, Q∈C[X]tels queQ6= 0etP∧Q= 1. Trouver une condition nécessaire et suffisante sur la parité de P et deQpour que la fraction rationnelleF = PQ soit paire. Même question pourF impaire.
Exercice23.14
On noteUnl’ensemble des racinesn-ièmes de l’unité dansC, oùndésigne un entier strictement positif.
1. SiC ∈C[X]avecdeg(C)< n, donner la décomposition en éléments simples de C(X) Xn−1. 2. Trouver deux polynômes (aussi simples que possible)AetBdeC[X]tels que X
ω∈Un
ω
(X−ω) = A B. 3. Trouver deux polynômes (aussi simples que possible)AetBdeC[X]tels que X
ω∈Un
ω
(X−ω)2 = A B.
Exercice23.15
Décomposer 3
(X3−1)2 en éléments simples dansC(X), à l’aide d’un développement limité au voisinage de 1.
Exercice23.16
SoitP un polynôme non constant à coefficients complexes.
1. Donner la décomposition de P0
P à l’aide des racines dePet de leurs multiplicités.
2. En déduire le théorème de Lucas : les racines deP0sont dans l’enveloppe convexe des racines deP, c’est-à-dire que les racines deP0 sont des barycentres à coefficients positifs des racines deP.
Exercice23.17
On poseK0(X) ={F ∈K(X)/ deg(F)≤0}. 1. Montrer queK0(X)est un anneau.
2. Quels sont les idéaux deK0(X)?
Exercice23.18
Décomposer 1
(X−1)(Xn−1) en éléments simples dansC(X).
Exercice23.19
On notez1, . . . , z4les racines du polynômeX4−X3+ 1. CalculerS=
4
X
k=1
zk3+ 2 (z2k−1)2.
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