Préparation des oraux — algèbre

PSI* 2020/2021

Préparation des oraux — algèbre

1. (X) Trouver les sous-groupes finis de R^∗ et deC^∗ pour la multiplication.

Les groupes (C,+) et(C^∗,×) sont-ils isomorphes ?

2. (Centrale) Montrer que, pour tout n∈N, X²+X+ 1 ² divise(X+ 1)⁶ⁿ⁺¹−X⁶ⁿ⁺¹−1.

3. (Mines) Soit (p, q)∈C². Donner une CNS pour queX³+pX+q admette une racine double dansC.

4. (Mines) Soit n∈Net(ak)_0≤k≤n∈Kⁿ⁺¹. Montrer que a0 = 0si et seulement si

∀Q∈K[X] ∃!P ∈K[X]

n k=0

akP^(k)=Q.

5. (X) Soient E,F,Gtrois K-espaces vectoriels de dimension finie,a∈ L(E, F)et b∈ L(F, G).

Montrer que : rg (b◦a) = rga⇔Ima∩Kerb={0}.

6. (Centrale) Soient p, q deux projecteurs d’unC-espace vectoriel E tels que Imp⊂Kerq.

Montrer que r=p+q−p◦q est un projecteur. DéterminerKerr etImr.

7. (X) Inverser la matrice de coefficient courantai,j =y+δi,j·x.

8. (CCP) Calculer

a+b a+c b+c a²+b² a²+c² b²+c² a³+b³ a³+c³ b³+c³

.

9. (X) Soit φ:Mn(C)→C, non constante, telle que, pour tout couple(A, B),φ(AB) =φ(A)φ(B).

Montrer queφ(A) = 0si et seulement siAest non inversible. On montrera que, siF est un sous-espace deCⁿ de dimensionr < n, il existe un endomorphisme nilpotent v tel queImv =F.

10. (X) Soient A etBdans Mn(R) telles queA²=A,B² =B.

Montrer que A etBsont semblables si et seulement si rgA= rgB.

11. (X) Soient A etBdans Mn(R) telles queA²=A,B² =B etAB=BA.

Montrer que det (A−B)∈ −1,0,1 .

12. (CCP) Soit A∈ Mn(R)diagonalisable. Montrer queB= A 2A

2A A est diagonalisable.

13. (Centrale)SoitEunC-espace vectoriel de dimension3n,u∈ L(E)tel queu³= 0etrgu= 2n. Étudier l’endomorphisme v induit paru sur Imu. En déduire quergu² =n. Montrer qu’il existe une base de E telle queMB(u) =





0 0 0 In 0 0 0 In 0



.

14. (IMT) CalculerAⁿ, où A=





1 2 2 2 1 −2 2 2 3



.

15. (X) Existe-t-il B∈ M3(R) telle queB²=





−1 x y 0 −1 z

0 0 1



 ?

16. (ENS) Trouver les polynômes P de R[X] tels que, pour toute matrice M de Mn(R), P(M) soit diagonalisable.

17. (CCP) Soit nimpair et A ∈ Mn(R), possédant nvaleurs propres de module 1 et telle quedetA= 1.

Montrer que 1 est valeur propre de A.

18. (Centrale)Montrer que φ:P(X)→P(1−X)est un endomorphisme deRn[X]; est-il diagonalisable ? Calculer expφ.

19. (Mines) Soit M ∈ Mq(R) telle qu’il existe p réels λ1, . . . , λp, non nuls distincts deux à deux, et p matrices A1, . . . , Ap de Mq(R) vérifiant : ∀n ∈ [[1, p+ 1]] Mⁿ =

p i=1

λⁿ_i.Ai. Montrer que M est diagonalisable et que la relation est vraie pour toutn≥1.

20. (X) Soit A∈GLn(C) telle qu’il existe mdansN^∗ tel queA^m soit diagonalisable.

Montrer que A est diagonalisable.

21. (Centrale) Soit A ∈ M3(R) ayant a pour unique valeur propre, de sous-espace propre associé de dimension 2. Montrer que Aest semblable à





a 0 0 0 a 1 0 0 a



.

22. (CCP) Montrer qu’il n’existe pas de matrice A dansM3(R) telle queA²+I = 0. Généralisation ? 23. (Centrale)SoitEunK-espace vectoriel,f ∈ L(E)diagonalisable etE1, . . . , Ep les sous-espaces propres

de f et C(f) = g∈ L(E) / g◦f =f ◦g . Montrer que C(f) est isomorphe à L(E1)× · · · × L(Ep).

Quelle est la dimension de C(f) ? Dans le cas p= dimE, montrer queC(f) =K[f].

24. (X) Résoudre dans M2(R)l’équation X²= 0 −1 1 0 . 25. (Centrale) Quelles sont les matrices commutant avecA=





α α 0 α α 0 0 0 β



 ?

26. (Saint-Cyr) PourA∈GLn(R), montrer qu’il existe Q∈O(n)et R∈ Mn(R), triangulaire supérieure, telles que A = QR ; montrer que, si l’on choisit les coefficients diagonaux de R strictement positifs, cette décomposition est unique. Calculer Qet Rpour A=





2 8 1 1 3 −1 2 1 1



.

27. (CCP) Soit A∈ Mn(R), symétrique et telle que : ∃k∈N^∗ A^k=I. Montrer queA²=I.

28. (Centrale) Montrer que toute matrice symétrique réelle positiveA= (ai,j) a ses coefficients diagonaux positifs ou nuls. Montrer que, siai,i= 0, alors∀j ai,j = 0.

29. (Mines) Montrer qu’un endomorphisme symétrique d’un espace euclidien est ρ-lipschitzien si et seule- ment si toutes ses valeurs propres sont de module au plus égal à ρ.

Montrer que dans le cas d’un endomorphisme quelconque, seule une implication reste vraie.

30. (CCP) Déterminer les couples (p, q) de R² tels que A=p·





1 1−q 1 +q 1 +q 1 1−q 1−q 1 +q 1



 soit une matrice de rotation. En donner alors les caractéristiques.

31. (CCP) Montrer que deux demi-tours distincts de l’espace commutent si et seulement si leurs axes sont orthogonaux.

32. (CCP) Soit A matrice antisymétrique réelle, montrer que (A+I) (A−I)⁻¹ est orthogonale (on mon- trera tout d’abord queA+I etA−I sont inversibles à l’aide des valeurs propres deA).

33. (CCP) Image du plan d’équationx−2y+z= 1par le demi-tour d’axe D x−2z= 1 x−y= 3 . 34. (CCP) Déterminer le centre et le rayon du cercle intersection de la sphère Σ d’équation

x²+y²+z²−2x−4y+ 6z+ 5 = 0et du plan P d’équation 2x+y−z−4 = 0.

35. (X) Soit E l’ensemble des mesures des angles des triangles deR² euclidien ayant leurs trois sommets à coordonnées entières. Montrer que : θ∈ E ⇔tanθ∈Q. Montrer queE est dense dans[0, π]. Montrer que, si θ1 etθ2 sont dansE etθ1+θ2 < π, alors θ1+θ2 ∈ E.