Limites de fonctions
DELOBEL LUITAUD HALLOSSERIE
Blaise Pascal
septembre 2016
« Vers l’infini et au-delà ! »
Sommaire
1. Limite aux voisinages infinis 1.1 Limite finie
2. Limite ena, avecaréel
3. Opérations sur les limites
4. Limite d’une fonction composée
5. Théorèmes de comparaison
6. Retour sur l’exponentielle
On considère des fonctions définies sur[a; +∞[(aveca∈R).
Définition 1
Dire quef tend vers+∞quandxtend vers+∞(ou «f a pour limite+∞») signifie que tout intervalle du type]M; +∞[ contient toutes les valeursf(x) pourxassez grand.
Plus précisément :
Pour toutM ∈R, il existeA∈Rtel que pourx>A on aitf(x)> M.
Notation
Pour dire quef tend vers+∞lorsquextend vers+∞, on note :
x→+∞lim f(x) = +∞.
On considère des fonctions définies sur[a; +∞[(aveca∈R).
Définition 1
Dire quef tend vers+∞quandxtend vers+∞(ou «f a pour limite+∞») signifie que tout intervalle du type]M; +∞[ contient toutes les valeursf(x) pourxassez grand.
Plus précisément :
Pour toutM ∈R, il existeA∈Rtel que pourx>A on aitf(x)> M.
Notation
Pour dire quef tend vers+∞lorsquextend vers+∞, on note :
x→+∞lim f(x) = +∞.
On considère des fonctions définies sur[a; +∞[(aveca∈R).
Définition 1
Dire quef tend vers+∞quandxtend vers+∞(ou «f a pour limite+∞») signifie que tout intervalle du type]M; +∞[ contient toutes les valeursf(x) pourxassez grand.
Plus précisément :
Pour toutM ∈R, il existeA∈Rtel que pourx>A on aitf(x)> M.
Notation
Pour dire quef tend vers+∞lorsquextend vers+∞, on note :
x→+∞lim f(x) = +∞.
On considère des fonctions définies sur[a; +∞[(aveca∈R).
Définition 1
Dire quef tend vers+∞quandxtend vers+∞(ou «f a pour limite+∞») signifie que tout intervalle du type]M; +∞[ contient toutes les valeursf(x) pourxassez grand.
Plus précisément :
Pour toutM ∈R, il existeA∈Rtel que pourx>A on aitf(x)> M.
Notation
Pour dire quef tend vers+∞lorsquextend vers+∞, on note :
x→+∞lim f(x) = +∞.
On considère des fonctions définies sur[a; +∞[(aveca∈R).
Définition 1
Dire quef tend vers+∞quandxtend vers+∞(ou «f a pour limite+∞») signifie que tout intervalle du type]M; +∞[ contient toutes les valeursf(x) pourxassez grand.
Plus précisément :
Pour toutM ∈R, il existeA∈Rtel que pourx>A on aitf(x)> M.
Notation
Pour dire quef tend vers+∞lorsquextend vers+∞, on note :
x→+∞lim f(x) = +∞.
On considère des fonctions définies sur[a; +∞[(aveca∈R).
Définition 1
Dire quef tend vers+∞quandxtend vers+∞(ou «f a pour limite+∞») signifie que tout intervalle du type]M; +∞[ contient toutes les valeursf(x) pourxassez grand.
Plus précisément :
Pour toutM ∈R, il existeA∈Rtel que pourx>A on aitf(x)> M.
Notation
Pour dire quef tend vers+∞lorsquextend vers+∞, on note :
x→+∞lim f(x) = +∞.
On considère des fonctions définies sur[a; +∞[(aveca∈R).
Définition 1
Dire quef tend vers+∞quandxtend vers+∞(ou «f a pour limite+∞») signifie que tout intervalle du type]M; +∞[ contient toutes les valeursf(x) pourxassez grand.
Plus précisément :
Pour toutM ∈R, il existeA∈Rtel que pourx>A on aitf(x)> M.
Notation
Pour dire quef tend vers+∞lorsquextend vers+∞, on note :
x→+∞lim f(x) = +∞.
Remarque
De la même façon on peut définir :
x→−∞lim f(x) =+∞ lim
x→+∞f(x) =−∞ lim
x→−∞f(x) =−∞
Propriété 1
les fonctionsx7→√
x,x7→x,x7→x2, et plus généralement les fonctions monômesx7→xn, avec n∈N∗sont des fonctions qui tendent vers +∞ quandxtend vers+∞;
la fonctionx7→√
xn’a pas de limite quandxtend vers−∞car elle est définie sur[0 ; +∞[;
les fonctions monômesx7→xn, avec n∈Npairtendent vers+∞quand x tend vers−∞;
les fonctions monômesx7→xn, avecn∈Nimpairtendent vers−∞quandx tend vers−∞.
Remarque
De la même façon on peut définir :
x→−∞lim f(x) = +∞ lim
x→+∞f(x) =−∞ lim
x→−∞f(x) =−∞
Propriété 1
les fonctionsx7→√
x,x7→x,x7→x2, et plus généralement les fonctions monômesx7→xn, avec n∈N∗sont des fonctions qui tendent vers +∞ quandxtend vers+∞;
la fonctionx7→√
xn’a pas de limite quandxtend vers−∞car elle est définie sur[0 ; +∞[;
les fonctions monômesx7→xn, avec n∈Npairtendent vers+∞quand x tend vers−∞;
les fonctions monômesx7→xn, avecn∈Nimpairtendent vers−∞quandx tend vers−∞.
Remarque
De la même façon on peut définir :
x→−∞lim f(x) = +∞ lim
x→+∞f(x) = − ∞ lim
x→−∞f(x) =−∞
Propriété 1
les fonctionsx7→√
x,x7→x,x7→x2, et plus généralement les fonctions monômesx7→xn, avec n∈N∗sont des fonctions qui tendent vers +∞ quandxtend vers+∞;
la fonctionx7→√
xn’a pas de limite quandxtend vers−∞car elle est définie sur[0 ; +∞[;
les fonctions monômesx7→xn, avec n∈Npairtendent vers+∞quand x tend vers−∞;
les fonctions monômesx7→xn, avecn∈Nimpairtendent vers−∞quandx tend vers−∞.
Remarque
De la même façon on peut définir :
x→−∞lim f(x) = +∞ lim
x→+∞f(x) = − ∞ lim
x→−∞f(x) = − ∞
Propriété 1
les fonctionsx7→√
x,x7→x,x7→x2, et plus généralement les fonctions monômesx7→xn, avec n∈N∗sont des fonctions qui tendent vers +∞ quandxtend vers+∞;
la fonctionx7→√
xn’a pas de limite quandxtend vers−∞car elle est définie sur[0 ; +∞[;
les fonctions monômesx7→xn, avec n∈Npairtendent vers+∞quand x tend vers−∞;
les fonctions monômesx7→xn, avecn∈Nimpairtendent vers−∞quandx tend vers−∞.
Remarque
De la même façon on peut définir :
x→−∞lim f(x) = +∞ lim
x→+∞f(x) = − ∞ lim
x→−∞f(x) = − ∞
Propriété 1
les fonctionsx7→√
x,x7→x,x7→x2, et plus généralement les fonctions monômesx7→xn, avec n∈N∗sont des fonctions qui tendent vers +∞
quandxtend vers+∞;
la fonctionx7→√
xn’a pas de limite quandxtend vers−∞car elle est définie sur[0 ; +∞[;
les fonctions monômesx7→xn, avec n∈Npairtendent vers+∞quandx tend vers−∞;
les fonctions monômesx7→xn, avecn∈Nimpairtendent vers−∞quandx tend vers−∞.
Remarque
De la même façon on peut définir :
x→−∞lim f(x) = +∞ lim
x→+∞f(x) = − ∞ lim
x→−∞f(x) = − ∞
Propriété 1
les fonctionsx7→√
x,x7→x,x7→x2, et plus généralement les fonctions monômesx7→xn, avec n∈N∗sont des fonctions qui tendent vers +∞
quandxtend vers+∞; la fonctionx7→√
xn’a pas de limite quandxtend vers−∞car elle est définie sur[0 ; +∞[;
les fonctions monômesx7→xn, avec n∈Npairtendent vers+∞quandx tend vers−∞;
les fonctions monômesx7→xn, avecn∈Nimpairtendent vers−∞quandx tend vers−∞.
Remarque
De la même façon on peut définir :
x→−∞lim f(x) = +∞ lim
x→+∞f(x) = − ∞ lim
x→−∞f(x) = − ∞
Propriété 1
les fonctionsx7→√
x,x7→x,x7→x2, et plus généralement les fonctions monômesx7→xn, avec n∈N∗sont des fonctions qui tendent vers +∞
quandxtend vers+∞; la fonctionx7→√
xn’a pas de limite quandxtend vers−∞car elle est définie sur[0 ; +∞[;
les fonctions monômesx7→xn, avec n∈Npairtendent vers+∞quandx tend vers−∞;
les fonctions monômesx7→xn, avecn∈Nimpairtendent vers−∞quandx tend vers−∞.
Remarque
De la même façon on peut définir :
x→−∞lim f(x) = +∞ lim
x→+∞f(x) = − ∞ lim
x→−∞f(x) = − ∞
Propriété 1
les fonctionsx7→√
x,x7→x,x7→x2, et plus généralement les fonctions monômesx7→xn, avec n∈N∗sont des fonctions qui tendent vers +∞
quandxtend vers+∞; la fonctionx7→√
xn’a pas de limite quandxtend vers−∞car elle est définie sur[0 ; +∞[;
les fonctions monômesx7→xn, avec n∈Npairtendent vers+∞quandx tend vers−∞;
les fonctions monômesx7→xn, avecn∈Nimpairtendent vers−∞quandx
Sommaire
1. Limite aux voisinages infinis 1.1 Limite finie
2. Limite ena, avecaréel
3. Opérations sur les limites
4. Limite d’une fonction composée
5. Théorèmes de comparaison
6. Retour sur l’exponentielle
Définition 2
Soitlun réel.
Dire quef tend verslquandxtend vers+∞(ou «f a pour limitel) signifie que tout intervalle ouvert contenantl contient toutes les valeursf(x)pourxassez grand.
Plus précisément :
Pour tout intervalle du type]l−ε;l+ε[ (avecεun réel strictement positif), il existeA∈Rtel que pourx>Aon aitf(x)∈]l−ε;l+ε[.
Notation
Pour dire quef tend versl lorsquextend vers+∞, on note : lim
x→+∞f(x) = l .
Définition 2
Soitlun réel.
Dire quef tend verslquandxtend vers+∞(ou «f a pour limitel) signifie que tout intervalle ouvert contenantl contient toutes les valeursf(x)pourxassez grand.
Plus précisément :
Pour tout intervalle du type]l−ε;l+ε[ (avecεun réel strictement positif), il existeA∈Rtel que pourx>Aon aitf(x)∈]l−ε;l+ε[.
Notation
Pour dire quef tend versl lorsquextend vers+∞, on note : lim
x→+∞f(x) = l .
Définition 2
Soitlun réel.
Dire quef tend verslquandxtend vers+∞(ou «f a pour limitel) signifie que tout intervalle ouvert contenantl contient toutes les valeursf(x)pourxassez grand.
Plus précisément :
Pour tout intervalle du type]l−ε;l+ε[ (avecεun réel strictement positif), il existeA∈Rtel que pourx>Aon aitf(x)∈]l−ε;l+ε[.
Notation
Pour dire quef tend versl lorsquextend vers+∞, on note : lim
x→+∞f(x) = l .
Définition 2
Soitlun réel.
Dire quef tend verslquandxtend vers+∞(ou «f a pour limitel) signifie que tout intervalle ouvert contenantl contient toutes les valeursf(x)pourxassez grand.
Plus précisément :
Pour tout intervalle du type]l−ε;l+ε[ (avecεun réel strictement positif), il existeA∈Rtel que pourx>Aon aitf(x)∈]l−ε;l+ε[.
Notation
Pour dire quef tend versl lorsquextend vers+∞, on note : lim
x→+∞f(x) = l .
Définition 2
Soitlun réel.
Dire quef tend verslquandxtend vers+∞(ou «f a pour limitel) signifie que tout intervalle ouvert contenantl contient toutes les valeursf(x)pourxassez grand.
Plus précisément :
Pour tout intervalle du type]l−ε;l+ε[ (avecεun réel strictement positif), il existeA∈Rtel que pourx>Aon aitf(x)∈]l−ε;l+ε[.
Notation
Pour dire quef tend versl lorsquextend vers+∞, on note : lim
x→+∞f(x) = l .
Définition 2
Soitlun réel.
Dire quef tend verslquandxtend vers+∞(ou «f a pour limitel) signifie que tout intervalle ouvert contenantl contient toutes les valeursf(x)pourxassez grand.
Plus précisément :
Pour tout intervalle du type]l−ε;l+ε[ (avecεun réel strictement positif), il existeA∈Rtel que pourx>Aon aitf(x)∈]l−ε;l+ε[.
Notation
Pour dire quef tend versl lorsquextend vers+∞, on note : lim
x→+∞f(x) = l .
x y
l l−ε l+ε
A Cf
Remarque
On adapte facilement la définition pour : lim
x→−∞f(x) =l.
Propriété 2
les fonctionsx7→ 1
√x, x7→ 1
x, et plus généralement x7→ 1
xn, avecn∈N sont des fonctions qui tendent vers0 quandxtend vers+∞;
la fonctionx7→ 1
√x n’a pas de limite quandxtend vers−∞car elle est définie sur]0 ; +∞[;
les fonctionsx7→ 1
x, et plus généralementx7→ 1
xn, avecn∈Nsont des fonctions qui tendent vers0quandxtend vers−∞.
Remarque
On adapte facilement la définition pour : lim
x→−∞f(x) =l.
Propriété 2
les fonctionsx7→ 1
√x, x7→ 1
x, et plus généralement x7→ 1
xn, avecn∈N sont des fonctions qui tendent vers0quand xtend vers+∞;
la fonctionx7→ 1
√x n’a pas de limite quandxtend vers−∞car elle est définie sur]0 ; +∞[;
les fonctionsx7→ 1
x, et plus généralementx7→ 1
xn, avec n∈Nsont des fonctions qui tendent vers0quandxtend vers−∞.
Remarque
On adapte facilement la définition pour : lim
x→−∞f(x) =l.
Propriété 2
les fonctionsx7→ 1
√x, x7→ 1
x, et plus généralement x7→ 1
xn, avecn∈N sont des fonctions qui tendent vers0quand xtend vers+∞;
la fonctionx7→ 1
√x n’a pas de limite quandxtend vers−∞car elle est définie sur]0 ; +∞[;
les fonctionsx7→ 1
x, et plus généralementx7→ 1
xn, avec n∈Nsont des fonctions qui tendent vers0quandxtend vers−∞.
Remarque
On adapte facilement la définition pour : lim
x→−∞f(x) =l.
Propriété 2
les fonctionsx7→ 1
√x, x7→ 1
x, et plus généralement x7→ 1
xn, avecn∈N sont des fonctions qui tendent vers0quand xtend vers+∞;
la fonctionx7→ 1
√x n’a pas de limite quandxtend vers−∞car elle est définie sur]0 ; +∞[;
les fonctionsx7→ 1
x, et plus généralementx7→ 1
xn, avec n∈Nsont des fonctions qui tendent vers0quandxtend vers−∞.
Définition 3 (Asymptote horizontale)
Soitl∈R.
la droite d’équationy=lestasymptote horizontale àCf en+∞ lorsque
x→+∞lim f(x) =l.
la droite d’équationy=lestasymptote horizontale àCf en−∞ lorsque
x→−∞lim f(x) =l.
Définition 3 (Asymptote horizontale)
Soitl∈R.
la droite d’équationy=lestasymptote horizontale àCf en+∞ lorsque
x→+∞lim f(x) =l.
la droite d’équationy=lestasymptote horizontale àCf en−∞ lorsque
x→−∞lim f(x) =l.
Définition 3 (Asymptote horizontale)
Soitl∈R.
la droite d’équationy=lestasymptote horizontale àCf en+∞ lorsque
x→+∞lim f(x) =l.
la droite d’équationy=lestasymptote horizontale àCf en−∞ lorsque
x→−∞lim f(x) =l.
Définition 3 (Asymptote horizontale)
Soitl∈R.
la droite d’équationy=lestasymptote horizontale àCf en+∞ lorsque
x→+∞lim f(x) =l.
la droite d’équationy=lestasymptote horizontale àCf en−∞ lorsque
x→−∞lim f(x) =l.
Sommaire
1. Limite aux voisinages infinis 1.1 Limite finie
2. Limite ena, avecaréel
3. Opérations sur les limites
4. Limite d’une fonction composée
5. Théorèmes de comparaison
6. Retour sur l’exponentielle
Définition 4 (Asymptote verticale)
Soita∈R.
La droite d’équationx=aestasymptote verticale àCf lorsque lim
x→af(x) =±∞.
Exercice 1
Soitf la fonction définie surRdont on donne le tableau de variation ci-dessous :
x
f(x)
−∞ 2 5 +∞
+∞ +∞
−∞ +∞
−7
−7
3 3
1.
Citer toutes les limites def.2.
En déduire l’existence d’asymptote horizontale ou verticale.Définition 4 (Asymptote verticale)
Soita∈R.
La droite d’équationx=aestasymptote verticale àCf lorsque lim
x→af(x) =±∞.
Exercice 1
Soitf la fonction définie surRdont on donne le tableau de variation ci-dessous :
x
f(x)
−∞ 2 5 +∞
+∞ +∞
−∞ +∞
−7
−7
3 3
1.
Citer toutes les limites def.2.
En déduire l’existence d’asymptote horizontale ou verticale.Définition 4 (Asymptote verticale)
Soita∈R.
La droite d’équationx=aestasymptote verticale àCf lorsque lim
x→af(x) =±∞.
Exercice 1
Soitf la fonction définie surRdont on donne le tableau de variation ci-dessous :
x
f(x)
−∞ 2 5 +∞
+∞
+∞
−∞
+∞
−7
−7
3 3
1.
Citer toutes les limites def.Exercice 2
Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ?
Questions Réponses
1.Si lim
x→+∞f(x) = 2alors la droite d’équation x= 2est une asymptote àCf.
V
F
2.SiDest une asymptote horizontale àCf en
−∞et en+∞alorsDetCf n’ont aucun point d’intersection.
V
F
3.Une courbe ne peut pas avoir deux asymptotes horizontales.
V
F
4.Une courbe peut avoir une infinité d’asymptote verticale.
V
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1. Limite aux voisinages infinis 1.1 Limite finie
2. Limite ena, avecaréel
3. Opérations sur les limites
4. Limite d’une fonction composée
5. Théorèmes de comparaison
6. Retour sur l’exponentielle
Soientf etg deux fonctions définies sur un intervalleI.
Soitaun réel dansI ou une extrémité deI, ou même a= +∞oua=−∞.
Soientl etl0 deux réels.
Propriété 3
Limite d’une somme
x→alimf(x) lim
x→ag(x) lim
x→a(f(x) +g(x))
l l0 l+l0
l +∞ +∞
l −∞ −∞
+∞ +∞ +∞
−∞ −∞ −∞
+∞ −∞
Soientf etg deux fonctions définies sur un intervalleI.
Soitaun réel dansI ou une extrémité deI, ou même a= +∞oua=−∞.
Soientl etl0 deux réels.
Propriété 3
Limite d’une somme
x→alimf(x) lim
x→ag(x) lim
x→a(f(x) +g(x))
l l0 l+l0
l +∞ +∞
l −∞ −∞
+∞ +∞ +∞
−∞ −∞ −∞
+∞ −∞
Soientf etg deux fonctions définies sur un intervalleI.
Soitaun réel dansI ou une extrémité deI, ou même a= +∞oua=−∞.
Soientl etl0 deux réels.
Propriété 3
Limite d’une somme
x→alimf(x) lim
x→ag(x) lim
x→a(f(x) +g(x))
l l0 l+l0
l +∞ +∞
l −∞ −∞
+∞ +∞ +∞
−∞ −∞ −∞
+∞ −∞
Soientf etg deux fonctions définies sur un intervalleI.
Soitaun réel dansI ou une extrémité deI, ou même a= +∞oua=−∞.
Soientl etl0 deux réels.
Propriété 3
Limite d’une somme
x→alimf(x) lim
x→ag(x) lim
x→a(f(x) +g(x))
l l0 l+l0
l +∞ +∞
l −∞ −∞
+∞ +∞ +∞
−∞ −∞ −∞
+∞ −∞
Soientf etg deux fonctions définies sur un intervalleI.
Soitaun réel dansI ou une extrémité deI, ou même a= +∞oua=−∞.
Soientl etl0 deux réels.
Propriété 3
Limite d’une somme
x→alimf(x) lim
x→ag(x) lim
x→a(f(x) +g(x))
l l0 l+l0
l +∞ +∞
l −∞ −∞
+∞ +∞ +∞
−∞ −∞ −∞
+∞ −∞
Soientf etg deux fonctions définies sur un intervalleI.
Soitaun réel dansI ou une extrémité deI, ou même a= +∞oua=−∞.
Soientl etl0 deux réels.
Propriété 3
Limite d’une somme
x→alimf(x) lim
x→ag(x) lim
x→a(f(x) +g(x))
l l0 l+l0
l +∞ +∞
l −∞ −∞
+∞ +∞ +∞
−∞ −∞ −∞
+∞ −∞
Soientf etg deux fonctions définies sur un intervalleI.
Soitaun réel dansI ou une extrémité deI, ou même a= +∞oua=−∞.
Soientl etl0 deux réels.
Propriété 3
Limite d’une somme
x→alimf(x) lim
x→ag(x) lim
x→a(f(x) +g(x))
l l0 l+l0
l +∞ +∞
l −∞ −∞
+∞ +∞ +∞
−∞ −∞ −∞
+∞ −∞
Propriété 4
Limite d’un produit
x→alimf(x) lim
x→ag(x) lim
x→a(f(x)×g(x))
l l0 l×l0
l6= 0 ±∞ ±∞
(en respectant la règle des signes)
0 ±∞ Forme Indéterminée
±∞ ±∞ ±∞
(en respectant la règle des signes)
Propriété 4
Limite d’un produit
x→alimf(x) lim
x→ag(x) lim
x→a(f(x)×g(x))
l l0 l×l0
l6= 0 ±∞ ±∞
(en respectant la règle des signes)
0 ±∞ Forme Indéterminée
±∞ ±∞ ±∞
(en respectant la règle des signes)
Propriété 4
Limite d’un produit
x→alimf(x) lim
x→ag(x) lim
x→a(f(x)×g(x))
l l0 l×l0
l6= 0 ±∞ ±∞
(en respectant la règle des signes)
0 ±∞ Forme Indéterminée
±∞ ±∞ ±∞
(en respectant la règle des signes)
Propriété 4
Limite d’un produit
x→alimf(x) lim
x→ag(x) lim
x→a(f(x)×g(x))
l l0 l×l0
l6= 0 ±∞ ±∞
(en respectant la règle des signes)
0 ±∞ Forme Indéterminée
±∞ ±∞ ±∞
(en respectant la règle des signes)
Propriété 4
Limite d’un produit
x→alimf(x) lim
x→ag(x) lim
x→a(f(x)×g(x))
l l0 l×l0
l6= 0 ±∞ ±∞
(en respectant la règle des signes)
0 ±∞ Forme Indéterminée
±∞ ±∞ ±∞
(en respectant la règle des signes)
Propriété 5
Limite d’un quotient
x→alimf(x) lim
x→ag(x) lim
x→a
f(x) g(x)
l l06= 0 l
l0
l ±∞ 0
l6= 0 0 ±∞
(en respectant la règle des signes)
0 0 Forme Indéterminée
±∞ ±∞ Forme Indéterminée
±∞ l0 ±∞
Propriété 5
Limite d’un quotient
x→alimf(x) lim
x→ag(x) lim
x→a
f(x) g(x)
l l06= 0 l
l0
l ±∞ 0
l6= 0 0 ±∞
(en respectant la règle des signes)
0 0 Forme Indéterminée
±∞ ±∞ Forme Indéterminée
±∞ l0 ±∞
Propriété 5
Limite d’un quotient
x→alimf(x) lim
x→ag(x) lim
x→a
f(x) g(x)
l l06= 0 l
l0
l ±∞ 0
l6= 0 0 ±∞
(en respectant la règle des signes)
0 0 Forme Indéterminée
±∞ ±∞ Forme Indéterminée
±∞ l0 ±∞
Propriété 5
Limite d’un quotient
x→alimf(x) lim
x→ag(x) lim
x→a
f(x) g(x)
l l06= 0 l
l0
l ±∞ 0
l6= 0 0 ±∞
(en respectant la règle des signes)
0 0 Forme Indéterminée
±∞ ±∞ Forme Indéterminée
±∞ l0 ±∞
Propriété 5
Limite d’un quotient
x→alimf(x) lim
x→ag(x) lim
x→a
f(x) g(x)
l l06= 0 l
l0
l ±∞ 0
l6= 0 0 ±∞
(en respectant la règle des signes)
0 0 Forme Indéterminée
±∞ ±∞ Forme Indéterminée
±∞ l0 ±∞
Propriété 5
Limite d’un quotient
x→alimf(x) lim
x→ag(x) lim
x→a
f(x) g(x)
l l06= 0 l
l0
l ±∞ 0
l6= 0 0 ±∞
(en respectant la règle des signes)
0 0 Forme Indéterminée
±∞ ±∞ Forme Indéterminée
±∞ l0 ±∞
Propriété 5
Limite d’un quotient
x→alimf(x) lim
x→ag(x) lim
x→a
f(x) g(x)
l l06= 0 l
l0
l ±∞ 0
l6= 0 0 ±∞
(en respectant la règle des signes)
0 0 Forme Indéterminée
±∞ ±∞ Forme Indéterminée
±∞ l0 ±∞
Exercice 3
Soitf la fonction définie surR− −3
2
parf(x) =−5x−1 2x+ 3 .
Déterminer les limites def aux bornes ouvertes de son domaine de définition et préciser les asymptotes. Déterminer les limites degaux bornes ouvertes de son domaine de définition et préciser les asymptotes.
Exercice 4
[À l’aide du taux d’accroissement] Soitgune fonction dérivable ena.
Par définition du nombre dérivé, on obtient :
x→alim
g(x)−g(a)
x−a =g0(a)
On peut se servir de cette remarque pour calculer des limites car nous savons trouver le nombre dérivé en calculant la fonction dérivée.
(Cette technique est à utiliser lorsqu’on est en présence d’une FI du type « 0 0 ».) Calculer les limites des fonctionsf suivantes en utilisant la remarque précédente.
1.
f(x) =√x2+ 1−1
x en 0.
2.
f(x) = (2x−1)7−1 en 1.Exercice 5
Le but de l’exercice est d’obtenir un algorithme qui affiche les limites en−∞
d’une fonction polynôme de degrén.
Une fonction polynômeP de degrén(n∈N)peut s’écrire : P(x) =anxn+an−1xn−1+. . .+a2x2+a1x+a0
où les coefficientsan,an−1,. . .,a2,a1 eta0sont des réels tels que an6= 0.
1.
Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ?Questions Réponses
1.Il n’y a que le termeanxnqui influence la limite dePen−∞.
V F 2.La parité denintervient dans le calcul de la limite dePen−∞.
V F 3.La limite dePen−∞est la même que la limite dex7→xnen−∞.
V F
Exercice 5 (suite)
2.
Compléter l’algorithme suivant :1 VARIABLES
2 a_n EST_DU_TYPE NOMBRE 3 n EST_DU_TYPE NOMBRE 4 DEBUT_ALGORITHME 5 SI ... ALORS 6 DEBUT_SI
7 SI (a_n>0) ALORS 8 DEBUT_SI
9 AFFICHER "La limite de P est ... "
10 FIN_SI 11 SINON 12 DEBUT_SINON
13 AFFICHER "La limite de P est ... "
14 FIN_SINON 15 FIN_SI
16 SINON 17 DEBUT_SINON 18 SI ... ALORS 19 DEBUT_SI
20 AFFICHER "La limite de P est - infini."
21 FIN_SI
22 SINON 23 DEBUT_SINON
24 AFFICHER "La limite de P est + infini."
25 FIN_SINON 26 FIN_SINON 27 FIN_ALGORITHME
Sommaire
1. Limite aux voisinages infinis 1.1 Limite finie
2. Limite ena, avecaréel
3. Opérations sur les limites
4. Limite d’une fonction composée
5. Théorèmes de comparaison
6. Retour sur l’exponentielle
Propriété 6
Soitvune fonction définie sur un intervalle J.
Soituune fonction définie sur un intervalleI telle que pour toutx∈I,u(x)∈J. Soienta,betc trois réels ou−∞ou+∞.
Si lim
x→a X
z }| { u(x) = b
lim
X→bv(X) = c
alors lim
x→av(u(x)) =c.
Propriété 6
Soitvune fonction définie sur un intervalle J.
Soituune fonction définie sur un intervalleI telle que pour toutx∈I,u(x)∈J. Soienta,betc trois réels ou−∞ou+∞.
Si lim
x→a X
z }| { u(x) = b
lim
X→bv(X) = c
alors lim
x→av(u(x)) =c.
Exemple
Soitf la fonction définie surR+ parf(x) = r
4 + 3 x. Pour calculer la limite def en+∞, on procède comme suit :
x→+∞lim
X
z }| { 4 + 3
x = 4
X→4lim
√X = 2
par composée lim
x→+∞f(x) = 2
Exemple
Soitf la fonction définie surR+ parf(x) = r
4 + 3 x. Pour calculer la limite def en+∞, on procède comme suit :
x→+∞lim
X
z }| { 4 + 3
x = 4
X→4lim
√X = 2
par composée lim
x→+∞f(x) = 2
Exercice 6
Soitf une fonction définie surRdont on donne le tableau de variation ci dessous :
x
f(x)
−∞ −2 3 +∞
+∞
+∞
2 2
5 5
−2
−2 Donner lim
x→+∞
1
f(x), lim
x→+∞(f(x))2, lim
x→+∞f
−2 + 1 x
, lim
x→−∞f x2 et
x→−2lim f(x+ 5).
Exercice 7
Soientuetvdeux fonctions dont on donne les tableaux de variation suivants : x
u(x)
−∞ 2 +∞
2 2
−∞
+∞
−∞
−∞
x
v(x)
−∞ 2 +∞
1 1
+∞ +∞
−7
−7 Donner les limites suivantes :
Exercice 8
Déterminer les limites des fonctions suivantes :
1.
f(x) = 2xx+ 3 5
en −∞.
2.
g(x) = r 1x−2 en 2 (à droite).
Sommaire
1. Limite aux voisinages infinis 1.1 Limite finie
2. Limite ena, avecaréel
3. Opérations sur les limites
4. Limite d’une fonction composée
5. Théorèmes de comparaison
6. Retour sur l’exponentielle
SoitIun intervalle etaun réel dansIou une de ses extrémités, ou même éventuellement+∞ou−∞. Comme pour les suites, on dispose des théorèmes de comparaison :
Théorème 1 (Théorème de comparaison)
Soientf etg deux fonctions définies sur l’intervalleI telles que, pourxvoisin de a:
f(x)>g(x).
1.
si limx→ag(x) = +∞alors lim
x→af(x) = +∞.
2.
si limx→af(x) =−∞alors lim
x→ag(x) =−∞.
Démonstration
S’inspirer de la démonstration dans le cas des suites . . .
SoitIun intervalle etaun réel dansIou une de ses extrémités, ou même éventuellement+∞ou−∞. Comme pour les suites, on dispose des théorèmes de comparaison :
Théorème 1 (Théorème de comparaison)
Soientf etg deux fonctions définies sur l’intervalleI telles que, pourxvoisin de a:
f(x)>g(x).
1.
si limx→ag(x) = +∞alors lim
x→af(x) = +∞.
2.
si limx→af(x) =−∞alors lim
x→ag(x) =−∞.
Démonstration
S’inspirer de la démonstration dans le cas des suites . . .
SoitIun intervalle etaun réel dansIou une de ses extrémités, ou même éventuellement+∞ou−∞. Comme pour les suites, on dispose des théorèmes de comparaison :
Théorème 1 (Théorème de comparaison)
Soientf etg deux fonctions définies sur l’intervalleI telles que, pourxvoisin de a:
f(x)>g(x).
1.
si limx→ag(x) = +∞alors lim
x→af(x) = +∞.
2.
si limx→af(x) =−∞alors lim
x→ag(x) =−∞.
Démonstration
S’inspirer de la démonstration dans le cas des suites . . .
SoitIun intervalle etaun réel dansIou une de ses extrémités, ou même éventuellement+∞ou−∞. Comme pour les suites, on dispose des théorèmes de comparaison :
Théorème 1 (Théorème de comparaison)
Soientf etg deux fonctions définies sur l’intervalleI telles que, pourxvoisin de a:
f(x)>g(x).
1.
si limx→ag(x) = +∞alors lim
x→af(x) = +∞.
2.
si limx→af(x) =−∞alors lim
x→ag(x) =−∞.
Démonstration
S’inspirer de la démonstration dans le cas des suites . . .
SoitIun intervalle etaun réel dansIou une de ses extrémités, ou même éventuellement+∞ou−∞. Comme pour les suites, on dispose des théorèmes de comparaison :
Théorème 1 (Théorème de comparaison)
Soientf etg deux fonctions définies sur l’intervalleI telles que, pourxvoisin de a:
f(x)>g(x).
1.
si limx→ag(x) = +∞alors lim
x→af(x) = +∞.
2.
si limx→af(x) =−∞alors lim
x→ag(x) =−∞.
Démonstration
Théorème 2 (Théorème des gendarmes - Admis)
Soitlun réel.
Soientf,g ethtrois fonctions telles que, pourxvoisin dea: g(x)6f(x)6h(x).
Si lim
x→ag(x) =l et lim
x→ah(x) =l alors la fonctionf a une limite lorsquextend versaet cette limite estl, c’est-à-dire :
x→alimf(x) =l
Théorème 2 (Théorème des gendarmes - Admis)
Soitlun réel.
Soientf,g ethtrois fonctions telles que, pourxvoisin dea: g(x)6f(x)6h(x).
Si lim
x→ag(x) =l et lim
x→ah(x) =l alors la fonctionf a une limite lorsquextend versaet cette limite estl, c’est-à-dire :
x→alimf(x) =l
Exercice 9
Soitf une fonction définie surRtelle que16f(x)62.
Soitgla fonction définie surR∗ parg(x) =2f(x) + 1 x2 .
1.
Prouver que pour toutx6= 0, 3x2 6g(x)6 5 x2.
2.
En déduire les limites deg au voisinage de−∞et+∞.Exercice 10
Soitf la fonction définie sur]0; +∞[parf(x) =
px(x+ 1) x2 .
1.
Vérifier que pourx >0,x6px(x+ 1)6x+ 1.
2.
En déduire un encadrement def(x).3.
Déterminer limx→+∞f(x).
Exercice 11
Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ?
Questions Réponses
1.Si, pour tout réelx,f(x)>x2alors
x→−∞lim f(x) = +∞.
V F 2.Si, pour tout réelx,−16g(x)6x2−1
x2+ 1 alors lim
x→+∞g(x) =−1.
V F 3.Si, pour tout réelx,2−x36h(x)alors
x→+∞lim h(x) =−∞.
V F 4.Si, pour tout réelx,−x26i(x)6−x2+ 1 alors lim
x→−∞i(x) =−∞.
V F
Exercice 12
Déterminer la limite en 0 de sinx x .
Sommaire
1. Limite aux voisinages infinis 1.1 Limite finie
2. Limite ena, avecaréel
3. Opérations sur les limites
4. Limite d’une fonction composée
5. Théorèmes de comparaison
6. Retour sur l’exponentielle
Théorème 3 (Croissances comparées)
x→+∞lim ex
x =+∞ et lim
x→−∞xex=0
Remarque
Puisque lim
x→+∞
ex
x = +∞on en déduit aussi comme croissance comparée :
x→+∞lim x ex = 0.
Théorème 3 (Croissances comparées)
x→+∞lim ex
x = +∞ et lim
x→−∞xex=0
Remarque
Puisque lim
x→+∞
ex
x = +∞on en déduit aussi comme croissance comparée :
x→+∞lim x ex = 0.
Théorème 3 (Croissances comparées)
x→+∞lim ex
x = +∞ et lim
x→−∞xex= 0
Remarque
Puisque lim
x→+∞
ex
x = +∞on en déduit aussi comme croissance comparée :
x→+∞lim x ex = 0.
Démonstration
Indication :
1.
L’idée est de comparer exx à une fonction simple bien choisie.
1 Démontrer que pour toutx∈[0; +∞[, on a ex x > x
2.
On pourra étudier la fonctiongdéfinie sur[0; +∞[parg(x) =ex−1 2x2.
2 Conclure que lim
x→+∞
ex x = +∞.
2.
On poseX =−x.Démontrer que lim
x→−∞xex= 0.
Exercice 13
Calculer les limites, si elles existent, suivantes :
1.
limx→−∞(2x+ 1)ex
2.
limx→+∞ex−x
3.
limx→+∞xe−x
Propriété 7
x→0lim ex−1
x =1
Démonstration
Indication : Utiliser la méthode vue dans l’exercice 4 (taux d’accroissement).
Propriété 7
x→0lim ex−1
x = 1
Démonstration
Indication : Utiliser la méthode vue dans l’exercice 4 (taux d’accroissement).
Propriété 7
x→0lim ex−1
x = 1
Démonstration
Indication : Utiliser la méthode vue dans l’exercice 4 (taux d’accroissement).
Exercice 14
Calculer les limites suivantes :
1.
limx→0
e3x−1 x
2.
limx→0
(ex)2−1 x
