Comme y′ est continue (y est C1 car deux fois dérivable), je dispose de δ >0 tel quey′ >0(ouy′ <0) sur ]x0−δ, x0+δ[

PSI* — 2019/2020 — Révisions par chapitres — Analyse n^o 31 Page 1

31. (X-ENS) Soient a,bdeux fonctions continues de Rdans Ret(E) y^′′+ay^′+by = 0.

a)Si y est une solution non nulle de(E)s’annulant en x⁰, montrer que :

∃δ >0 ∀x∈]x⁰−δ, x⁰+δ[\ {x⁰} y(x) = 0.

b)Si (y¹, y²) est un système fondamental de solutions de (E), montrer qu’entre deux zéros successifs dey¹, il existe un unique zéro dey².

Solution : le théorème de Cauchy-Lipschitz s’applique. . .

a)Soit y solution non nulle de (E) telle que y(x⁰) = 0. Nécessairement, y^′(x⁰) est non nul (sinon y serait la fonction nulle, par unicité de la solution du problème de Cauchy associé aux conditions initiales y(x⁰) = 0 et y^′(x⁰) = 0 !). Comme y^′ est continue (y est C¹ car deux fois dérivable), je dispose de δ >0 tel quey^′ >0(ouy^′ <0) sur ]x⁰−δ, x⁰+δ[. Alorsyest strictement monotone sur cet intervalle, donc injective, or elle s’annule en x⁰ donc ne peut s’annuler en un autre point dudit intervalle (on peut aussi invoquer le théorème de Rolle).

b)Soit (y¹, y²) un système fondamental de solutions de (E) etw=y¹y2^′ −y^′1y² son wronskien (qui ne s’annule pas !). Supposons α,β deux zérosconsécutifs dey¹, c’est-à-dire que y¹(α) =y¹(β) = 0et que y¹ ne s’annule pas sur ]α, β[. y¹ étant continue, elle ne change pas de signe sur ]α, β[. Quitte à remplacer y¹ par −y¹, je peux supposer y¹ > 0 sur ]α, β[. Alors nécessairement y1^′ (α) ≥ 0 et y^′1(β) ≤0 (voir les taux de variation. . . ). Et même mieux, y¹ étant une solution non nulle de (E) s’annulant en αet enβ,y1^′ (α)>0 ety1^′ (β)<0.

Or

w(α) =−y^′1(α)y²(α) et w(β) =−y1^′ (β)y²(β)

et w ne change pas de signe. Par conséquent y²(α) et y²(β) sont de signes contraires, or y² est continue donc le théorème des valeurs intermédiaires montre quey² s’annule en (au moins) un point de]α, β[.

Enfin, si y² s’annulait en deux points λ < µ de ]α, β[, il existerait deux zéros consécutifs de y² au sens précédent (cela n’est pas évident a priori,y² pourrait s’annuler sur une partie dense. . . ). Pour justifier ce résultat, je peux poser ν = inf{x∈]λ, µ] / y²(x) = 0}, constater que ν > λ (d’après a) !), quey²(ν) = 0(par continuité de y²) et quey² ne s’annule pas sur]λ, ν[(par définition de ν).

Alors le résultat précédent s’applique (en échangeant les rôles dey¹ ety² !) et montre quey¹ devrait s’annuler en au moins un point de ]λ, ν[, d’où une contradiction. En conclusion,

Entre deux zéros successifs dey¹, il existe un unique zéro dey².