C101 – Calculs algébriques + intervalles + vecteurs
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CALCULS ALGEBRIQUES – INTERVALLES - VECTEURS (devoir) 1
Exercice 1 (6 points)
1. Compléter, sans justifier.
) [2;7 2 [ ∪ [7
2 ; +∞[ = ) [2;7
2 [ ∩ [7
2 ; +∞[ = ) [−2; 6[ ∪ [1; +∞[ = ) [−2; 6[ ∩ [1; +∞[ =
2. Compléter le tableau
inégalités ∈
−6 < ≤ −5
∈ ] − ∞; 3]
5 ≤
Exercice 2 (5 points) Donner la factorisation de : ) 9 1 + )− 4
) 3 + 2) − 5) + 4 − )5 − ) c) Résoudre −4 + 7
5 = 1
Exercice 3 (2 points)
Placer le point M sachant que ()*****+ + ,-******+ − 0,5 (-*****+ = 0*+
Exercice 4 (7 points)
ABCD est un parallélogramme. E et F sont les points tels que -0*****+ = −-(*****+ et 12*****+ = −31-*****+.
a) Placer les points E et F sur la figure
b) Démontrer que )2*****+ = 3-1*****+ − -(*****+, puis exprimer *****+ en fonction de 20 -1*****+ et -(*****+. Que peut-on en déduire ?
c) Bonus : Soit L tel que -=*****+ = 13 -(*****+.Démontrer que 20*****+ = 4 1=*****+.
Que peut − on en déduire ?
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2
CORRECTION
Exercice 1 (6 points) ) [2 ;7
2 [ ∪ [7
2 ; +∞[ = [C; +∞[
) [2;7 2 [ ∩ [7
2 ; +∞[ = ∅
) [−2; 6[ ∪ [1; +∞[ =[−C ; +∞ [ ) [−2; 6[ ∩ [1; +∞[ =[−C; E]
inégalités ∈
−6 < ≤ −5 ] − F; −G]
)≤3 ] − ∞; 3]
5 ≤ [G; +∞[
Exercice 2 (5 points) ) 9 1 + )− 4
= [H E + ) − C][ H E + ) + C] = H + H − C)H + H + C) = H + E)H + G) ) 3 + 2) − 5) + 4 − )5 − )
= H + C) − G) − I − ) − G) = − G)[H + C) − I − )]
= − G)H + C − I + ) = − G)I − C) = C − G)C − E) )−4 + 7
5 = 1
⇔−I + K
G − E = L ⇔−I + K
G −G
G = L ⇔ −I + K − G
G = L ⇔ −I + C = L
⇔ =E C
Exercice 3 (2 points)
()*****+ + ,-******+ − 0,5 (-*****+ = 0*+ ⇔ ,-******+ = 0,5 (-*****+ − ()*****+ ⇔ MN*******+ = L, G MO******+ + PO******+
Exercice 4 (7 points)
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)2
3
*****+ = )1*****+ + 12*****+ = )1*****+ − 31-*****+ = −MO******+ + HMQ******+
20*****+ = 2-*****+ + -0*****+ = 21*****+ + 1-*****+ + -0*****+ = 31-*****+ + 1-*****+ + -0*****+ = 41-*****+ + -0*****+ = 41-*****+ + 43 -0*****+
= I
H MR*****+ − IMQ******+
)2*****+ = −-(*****+ + 3-1*****+ = −34 S 4
3 -0*****+ − 4-1*****+T = −34 20*****+
Les vecteurs )2*****+ et *****+ sont colinéaires, donc les points, C, E et F sont alignés. 20
20*****+ = 43 -0*****+ − 4-1*****+ = 43 U3-=*****+V − 4-1*****+ = 4-=*****+ − 4-1*****+ = 4-=*****+ − 4U-=*****+ + =1*****+V
= 4-=*****+ − 4-=*****+ − 4=1*****+ = 41-*****+ + 43 -0*****+
= IQW*****+
20*****+et 1=*****+ sont colinéaires donc les droites (EF) et (DL) sont parallèles.
