C100 – Calculs algébriques + vecteurs
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CALCULS ALGEBRIQUES – VECTEURS (devoir) 1
Exercice 1
Ecrire sous forme de fraction irréductible chacun des nombres :
=3 + 32
3 + 54 = 1 12 +1
3
Exercice 2
Simplifier les nombres suivants en les mettant sous la forme d’une fraction irréductible :
= 4×2
2 =−2× (5× 7)× 5
16 × 25 × 7 = (−2)
Exercice 3
Soit () = ( − 3)− 4(5 − 2)² 1) Factoriser L 2) Développer L
Exercice 4 Compléter
1) Soit un vecteur quelconque du plan différent du vecteur nul et un nombre réel non nul. On appelle produit du vecteur par le réel , le vecteur noté ………..
• de même ………
• de même sens que ……… si ……… et de sens contraire si ………
• de longueur égale à ………...………
………..…….
2) Dans un repère orthornormal (0; # ; $) du plan, la distance AB entre les deux points (%; &%) et ('; &') est : ………..….…..….
3) Deux vecteurs sont opposés lorsqu’ils ………..……....……
………..….………..……
Exercice 4
Soit , , et , quatre points distincts du plan.
Simplifier au maximum les expressions vectorielles suivantes : + = − + , = + +
- = − − . = + + + + +
Exercice 5
Dans un plan muni d’un repère (0; # ; $), on considère les vecteurs , /, 0 tels que :
=1 2 # − 3
4 $, / = −1 3 # + 5
6 $, 0 = 2# − 3$
1) Exprimer en fonction de # et de $
<) 3 − 2/ =) 1 3 / −5
2 0 >) 4 + 12/ − 50
2) Déterminer le réel tel que 0 − = 0. Que peut-on en déduire ?
Exercice 6
Tracer un parallélogramme ABCD dont les diagonales se coupent en I.
1) Construire le point E tel que = 2 + 2) Construire le point E tel que = 2 +
3) Dans le repère E; ; F, déterminer les coordonnées des points A, B, C, I et E. Justifier.
Exercice 7
Soit (0; # ; $) un repère orthonormal du plan.
On considère des points ( −1 ; 2), ( 2 ; 4) et (3 ; −1). Le point C appartient-il à la médiatrice du segment [AB] ?
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2
CORRECTION
Exercice 1 =18
17 =6 5
Exercice 2 =32
1 =−25
14 = 1 16 Exercice 3
1) () = (−3 + 7)(5 − 13) 2) − 15+ 74 − 91
Exercice 4
1) Soit un vecteur quelconque du plan différent du vecteur nul et un nombre réel non nul. On appelle produit du vecteur par le réel , le vecteur noté
• de même direction
• de même sens que si > 0 et de sens contraire si < 0
• de longueur égale à fois la norme de si > 0 - fois la norme de si < 0
2) Dans un repère orthornormal (0; # ; $) du plan, la distance AB entre les deux points (%; &%) et ('; &') est : K('− %)² + (&'− &%)² 3) Deux vecteurs sont opposés lorsqu’ils ont la même direction, la même
longueur et qu’ils sont de sens contraire.
Exercice 4
Soit , , et , quatre points distincts du plan.
Simplifier au maximum les expressions vectorielles suivantes : + = 2 , = - = 0 . = 0
Exercice 5
1) <) 3 − 2/ =13 6 # − 47
12 $, =) 1 3 / −5
2 0 = −31 6 # + 70 >) 4 + 12/ − 50 = −12# + 22$ 9 $
2) 0 − = 0 ⇔ M 2 − ×1 2 = 0
−3 − × N−3 4O = 0
⇔ = 4
On en déduit que les vecteurs et / sont colinéaires.
Exercice 6 1)
2) = 0 + 0 donc A (0;0); = 1 + 0 donc B (1;0) = 1 + 1 = 1 + 1 donc C (1;1)
= 0 + 1 donc D (0; 1) ; = 2 + 1 donc C (2; 1) S = 12 + 12 donc I N12 ;1
2O
Exercice 7
Si C appartient à la médiatrice de [AB], alors CA = CB = K(−1 − 3)+ (2 + 1)= √25 = 5
= K(2 − 3)+ (4 + 1)= √26
≠ donc nWappartient pas à la médiatrice de [AB\.
