TD : Calculs algébriques

TD : Calculs algébriques

+Classique et incontournable OPlus dicile

Sommes

+Exercice 1. Calculs élémentaires.

Calculer les sommes suivantes, pourn∈N: a.

n

X

k=0

n k

b.

n

X

k=0

n k

2^k

c.

n

X

k=0

(0,5)^k

d.

n

X

k=0

(k−2)

Exercice 2. Calculs élémentaires.

Calculer les sommes suivantes, pourn∈N^∗ : a.

n

X

i=1

2ⁱ+ 2i+ 3

b.

n

X

k=1

2^k 3^k+1

c.

n

X

i=1

(−1)ⁱ

d.

n

X

k=1

3^2k

+Exercice 3. Binôme de Newton.

Soitf :x7−→(1 +x)ⁿ oùnest un entier naturel supérieur ou égal à2. a. Calculerf⁰(x)et f⁰⁰(x).

b. En déduire la valeur des sommes suivantes :

n

X

k=1

k n

k

ⁿ X

k=2

k(k−1) n

k

ⁿ X

k=1

k² n

k

+Exercice 4. Inégalité de Bernoulli.

Montrer à l'aide de la formule du binôme de Newton que, pour tout x∈ [0,+∞[ et tout entier natureln, on a :

(1 +x)ⁿ≥1 +nx.

Exercice 5. Récurrence.

Montrer par récurrence surn:

a.

n

X

k=1

k²=n(n+ 1)(2n+ 1) 6

b.

n

X

k=1

k³=n²(n+ 1)² 4 c.

n

X

k=1

k×k! = (n+ 1)!−1

d. Pour toutk≤n,

n

X

l=k

l k

= n+ 1

k+ 1

e.

n

X

k=1

(−1)^kk=(−1)ⁿ(2n+ 1)−1 4

f.

n

X

k=1

(−1)^kk²= (−1)ⁿn²+n 2

Exercice 6. Sommes téléscopiques.

CalculerSn puis en déduire la limite de(Sn)quandntend vers+∞. a. Sn =

n

X

i=1

1 i(i+ 1) b. Sn =

n

X

k=2

1 k²−1 c. S_n =

n

X

k=1

ln

1 + 1 k

d. Sn=

n

X

k=2

1 k³−k e. S_n=

n

X

k=2

ln

1− 1 k²

f. Sn=

n

X

k=1

1

k− 1

n+ 1−k

O Exercice 7. Calculs.

Exprimer, en fonction den∈N, les sommes suivantes : a.

2n

X

k=0

|k−n| b.

2n

X

k=0

min{k, n}

Exercice 8. Sommes doubles.

Calculer les sommes suivantes :

a. X

1≤i,j≤n

ij b. X

0≤i,j≤n

2^2i−j

Exercice 9. Sommes triangulaires.

Calculer les sommes suivantes :

a. X

1≤i<j≤n

ij

b. X

1≤i<j≤n

i

c. X

1≤i<j≤n

(i+j)

d. X

1≤i<j≤n

|i−j|

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O Exercice 10. Sommes doubles.

Calculer les sommes suivantes (on déduirab.dea.etc.dea.etb.) :

a. X

1≤i,j≤n

min{i, j} b. X

1≤i,j≤n

max{i, j} c. X

1≤i,j≤n

|i−j|

O Exercice 11. Autre calcul.

Montrer, que pour toutn∈N^∗ :

2n

X

k=1

(−1)^k+1

k =

2n

X

k=n+1

1 k.

Produits

+Exercice 12. Factorielle.

Soitn∈N^∗. Exprimer 2×4× · · · ×(2n), puis1×3× · · · ×(2n+ 1)à l'aide de factorielles.

Exercice 13. Récurrence.

Montrer par récurrence surn∈N^∗ : a.

n

Y

k=0

1 + 1 2k+ 1

>√ 2n+ 3

b. Pour tousa1, . . . , an ∈]0,1[,

n

Y

k=1

(1−ak)≥1−

n

X

k=1

ak.

Exercice 14. Produits téléscopiques.

CalculerPmpuis en déduire la limite de(Pm)quandmtend vers+∞. a. Pm=

m

Y

n=2

1− 1

n²

b. Pm=

m

Y

n=1

1 + 1

n

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