Nom : Classe : 2nde
Devoir surveillé n°6
le 16/05/2017
Note :
… / 20
Avis de
l’élève Avis du professeur
Je sais : Oui Non Oui Non
Exercice 1 (10 min) Comprendre un algorithme / Ecrire un algorithme.
Déterminer si des vecteurs sont colinéaires ou non.
Placer / Construire des points dans un repère.
Démontrer des égalités / Utiliser la relation de Chasles.
Déterminer les coordonnées d'un point défini par une relation vectorielle.
Justifier que des droites sont parallèles / que des points sont alignés.
Déterminer et interpréter un intervalle de confiance au niveau 0,95.
Exercice 1 : … / 4
1. Que permet de faire l'algorithme ci-dessous ?
Variables : , , , , , , , , , , et sont des nombres réels Entrées : Saisir , , , , , , et
Traitement : prend la valeur – prend la valeur – prend la valeur – prend la valeur – Sortie : Si = et =
Alors Afficher « Oui » Sinon Afficher « Non » Fin Si
2. Ecris un algorithme qui permet de déterminer si deux vecteurs sont colinéaires ou non.
3. Détermine si les vecteurs suivants sont colinéaires ou non.
a) et b) et c) et
Exercice 2 : … / 2,5
ABCD est un parallélogramme. I est le milieu du côté [BC].
1. Construire le point E tel que = . 2. a) Démontrer en utilisant la relation de Chasles que =
b) Que peut on en déduire ?
¡!DC +¡IA +! ¡CI!
¡!BE
¡!BE ¡!DA yA xB yB xC yC
xA xD yD a b c d
xA yA xB yB xC yC xD yD
xB xA
a
b yB yA
c d
xD xC
yD yC
a c b d
~u ~v ~u ~v ~u ~v
µ2 3
¶ µ 5 7,5
¶
0
@
7 3 5 4
1 A
0
@ 4
15 7
1
A µ2p2 -1
¶ µ -4 -p 2
¶
Exercice 3 : … / 3
1. On pose : =
a) Montrer que = .
b) Que peut on en conclure pour les vecteurs et ? Même question pour les droites (AB) et (CD)
2. On pose : = .
Démontrer que les vecteurs et sont colinéaires.
Exercice 4 : On se place dans le repère orthonormé (O ; , ). … / 6 1. Place les points A(1;-1), B(2;1), C(4;-1) et D(6;-2).
2. Calculer les coordonnées du point E tel que = puis placer le point E.
3. a) Placer le point F tel que = -3 . b) Déterminer les coordonnées de F.
4. Les points D, E et F sont-ils alignés ? Justifier.
Exercice 5 : … / 4,5
1. Sur un échantillon de 350 personnes, un candidat aux élections municipales a obtenu 54 % des intentions de vote.
a) Déterminer un intervalle de confiance au niveau 0,95 du pourcentage de votants pour ce candidat.
b) Si les élections avaient eu lieu le jour du sondage, le candidat aurait-il été élu au 1er tour ? 2. Lors d'une évaluation nationale, on a observé sur un échantillon de 46 032 élèves de Troisième la
compétence « Tester une égalité » en mathématiques. 20 235 élèves ont suivi une démarche correcte.
Estimer à l'aide d'un intervalle de confiance au niveau 0,95 la proportion des élèves de Troisième en France qui ont suivi une démarche correcte.
3. Un sondage réalisé par Hart Research Associates en février-mars 2013 auprès d'un échantillon de 1002 adultes américains a montré que 571 d'entre eux étaient favorables au développement d'un programme de service national. Ces données permettent-elles de considérer que ce point de vue est majoritaire dans l'ensemble de la population adulte américaine ?
~i ~j
¡!AE 32¡!BC
¡!CF ¡!AB
~0
¡!AB
¡!AB 4 ¡!AD¡4¡!BD + 2¡!CD
5 ¡!AB¡3¡!CB 7 ¡!AD¡4¡!AC
¡!AB ¡!CD 1
2
¡!DC
¡!DC
Correction du DS n°6 Exercice 1 :
1. L'algorithme ci-dessous permet de déterminer si deux vecteurs et sont égaux ou non.
En effet deux vecteurs sont égaux si et seulement s'ils ont les mêmes coordonnées.
On peut également considérer qu'il sert à afficher si oui ou non ABDC est un parallélogramme.
Variables : , , , , , , , , , , et sont des nombres réels Entrées : Saisir , , , , , , et
Traitement : prend la valeur – prend la valeur – prend la valeur – prend la valeur – Sortie : Si = et =
Alors Afficher « Oui » Sinon Afficher « Non » Fin Si
2. Ecris un algorithme qui permet de déterminer si deux vecteurs sont colinéaires ou non.
Variables : , , , et sont des nombres réels Entrées : Saisir , , et
Traitement : prend la valeur – Sortie : Si = 0
Alors Afficher « Oui » Sinon Afficher « Non » Fin Si
3. Détermine si les vecteurs suivants sont colinéaires ou non.
a) et
= 15 – 15 = 0 Donc et sont colinéaires.
b) et
× – × 4 = – 5 = 5 – 5 = 0 Donc et sont colinéaires.
c) et
=-4 – 4=-8 ≠ 0 Donc et ne sont pas colinéaires.
Exercice 2 : ABCD est un parallélogramme. I est le milieu du côté [BC].
1. Construire le point E tel que
= .
Voir figure ci-contre.
2. a) Démontrer en utilisant la relation de Chasles que = .
D'après la relation de Chasles :
= = = =
b) Que peut on en déduire ?
Puisque les vecteurs et sont égaux alors BEAD est un parallélogramme.
xA yA xB yB xC yC xD yD a b c d xA yA xB yB xC yC xD yD
a xB xA
b yB yA
c xD xC
d yD yC
a c b d
¡!AB ¡!CD
a
a a
x~u y~u x~v y~v
x~u y~u x~v y~v
x~u y~v x~v y~u
~ u
µ2 3
¶
~v µ 5
7,5
¶
2£7,5¡3£5
~ u ~v
~u
0
@
7 3 5 4
1 A
~v0
@ 4
15 7
1 A
7 3
15 7
5 4
15 3
~u ~v
~ u
µ2p 2 -1
¶
~v µ -4
-p 2
¶
~ u ~v 2p
2£(-p
2) + 1£(-4)
¡!BE ¡!
DA
¡!BE ¡!DC +¡IA +! ¡CI!
¡!BE ¡!DA
¡!BE ¡!DC +¡IA +! ¡CI! ¡!DC +¡CI +! ¡IA! ¡DI +! ¡IA! ¡!DA
Exercice 3 :
1. On pose : =
a) Montrer que = . = = =
Donc, d'après la relation de Chasles : = -
= - .
= .
b) Que peut on en conclure pour les vecteurs et ? Même question pour les droites (AB) et (CD) = Donc et sont colinéaires.
On en déduit que les droites (AB) et (CD) sont parallèles.
2. On pose : = .
Démontrer que les vecteurs et sont colinéaires.
=
Donc, d'après la relation de Chasles : =
=
= = = = = Ainsi, les vecteurs et sont colinéaires.
Exercice 4 : On se place dans le repère orthonormé (O ; , ).
1. Place les points A(1;-1), B(2;1), C(4;-1) et D(6;-2).
Voir figure en fin d'exercice.
2. Calculer les coordonnées du point E tel que = puis placer le point E.
= donc : ⇔ ⇔
Donc : ⇔
3. a) Placer le point F tel que = -3 . b) Déterminer les coordonnées de F.
= -3 = 3 donc : ⇔
Donc : ⇔ ⇔
4. Les points D, E et F sont-ils alignés ? Justifier.
D, E et F sont alignés si et seulement si les vecteurs et sont colinéaires.
4 ¡!AD¡4¡!BD + 2¡!CD ~0
¡!AB
¡!AB
5 ¡!
AB¡3¡!
CB 7 ¡!
AD¡4¡!
¡! AC AB ¡!CD
~i ~j
¡!AE 32¡!
BC
¡!CF ¡!AB 4 ¡!AD¡4¡!BD + 2¡!CD ~0
4 ¡!AB 2 ¡!CD
¡!AB 2¡!CD
¡! 4
AB 12¡!DC
1 2
¡!DC
¡!DC
¡!AB 12¡!DC ¡!AB ¡!DC
5 ¡!AB¡3¡!CB 7 ¡!AD¡4¡!AC
7 ¡!AD¡4¡!AC 5 ¡!AB¡3 (¡!CA +¡!AB)
7 ¡!
AD¡4¡!
AC 5 ¡!
AB¡3¡!
CA¡3¡!
AB
2 ¡!AB 7 ¡!AD + 4¡!CA + 3¡!CA 2 ¡!
AB 7 ¡!
AD + 7¡!
CA 2 ¡!AB 7 (¡!CA +¡!AD) 2 ¡!AB 7¡!CD
¡!AB 72¡!CD
¡!AB ¡!
CD
¡!AE 32¡!BC
8<
:
xE¡xA= 32(xC¡xB) yE¡yA= 32(yC¡yB)
8<
:
xE¡1 = 32(4¡2) yE+ 1 = 32(-1¡1)
½ xE¡1 = 3 yE+ 1 = -3
½ xE= 3 + 1 yE= -3¡1
½ xE= 4 yE = -4
¡!CF ¡!
AB ¡!
BA
½ xF¡xC = 3(xA¡xB) yF¡yC = 3(yA¡yB)
½ xF¡4 = 3(1¡2) yF+ 1 = 3(-1¡1)
½ xF¡4 = -3 yF+ 1 = -6
½ xF = -3 + 4 yF = -6¡1
½ xF = 1 yF = -7
¡!DE ¡!DF
~0 4 ¡!AD + 4¡!DB + 2¡!CD
~0 4(¡!AD +¡!DB) + 2¡!CD
= 10 – 10 = 0
Les vecteurs et sont colinéaires donc les points D, E et F sont alignés.
Exercice 5 :
1. Sur un échantillon de 350 personnes, un candidat aux élections municipales a obtenu 54 % des intentions de vote.
a) I = [ – ; + ] = [0,54 – ; 0,54 + ] = [0,486 ; 0,594]
b) Si les élections avaient eu lieu le jour du sondage, le candidat aurait-il été élu au 1er tour ?
On peut dire, au niveau de confiance de 95 %, que si les élections avaient eu lieu le jour du sondage, le candidat aurait obtenu entre 48,6 % et 59,4 % des voix. Il n'aurait pas nécessairement été élu.
2. Lors d'une évaluation nationale, on a observé sur un échantillon de 46 032 élèves de Troisième la compétence « Tester une égalité » en mathématiques. 20 235 élèves ont suivi une démarche correcte.
Estimer à l'aide d'un intervalle de confiance au niveau 0,95 la proportion des élèves de Troisième en France qui ont suivi une démarche correcte.
I = [ – ; + ] = [ – ; + ] = [ 0,434 ; 0,445 ]
On peut dire, au niveau de confiance de 95 %, que la proportion des élèves de Troisième en France qui ont suivi une démarche correcte est comprise entre 43,4 % et 44,5 %.
3. Un sondage réalisé par Hart Research Associates en février-mars 2013 auprès d'un échantillon de 1002 adultes américains a montré que 571 d'entre eux étaient favorables au développement d'un programme de service national. Ces données permettent-elles de considérer que ce point de vue est majoritaire dans l'ensemble de la population adulte américaine ?
I = [ – ; + ] = [ – ; + ] = [ 0,538 ; 0,602 ]
On peut dire, au niveau de confiance de 95 %, que la proportion des adultes américains favorables au développement d'un programme de service national est comprise entre 53,8 % et 60,2 %.
Ce point de vue semble donc majoritaire dans la population adulte américaine.
¡!DE
µ x
E¡ x
Dy
E¡ y
D¶
¡!DFµ x
F¡ x
Dy
F¡ y
D¶
¡!DE ¡!DF
µ 4 ¡ 6
-4 + 2
¶
¡!DE ¡!DF
µ 1 ¡ 6 -7 + 2
¶ µ -2
-2
¶ µ
-5 -5
¶
-2£(-5) + 2£(-5)
¡!DE ¡!
DF
f p1
n f p1 n
p1 350
p1 350
f p1
n f p1 n
20235 46032
20235 46032 p 1
46032
p 1 46032
f p1
n f p1 n
571 1002
571 1002 p 1
1002
p1 1002
