DS 6 du 17 février.
Exercice 1
(3 points) L’exploitant d’une forêt communale décide d’abattre des arbres afin de les vendre, soit aux habitants, soit à des entreprises. On admet que :
• parmi les arbres abattus, 30 % sont des chênes, 50 % sont des sapins et les autres sont des arbres d’essence secondaire (ce qui signifie qu’ils sont de moindre valeur) ;
• 45,9 % des chênes et 80 % des sapins abattus sont vendus aux habitants de la commune ;
• les trois quarts des arbres d’essence secondaire abattus sont vendus à des entreprises.
Parmi les arbres abattus, on en choisit un au hasard.
On considère les évènements suivants :
• C : « l’arbre abattu est un chêne » ;
• S : « l’arbre abattu est un sapin » ;
• E : « l’arbre abattu est un arbre d’essence secondaire » ;
• H : « l’arbre abattu est vendu à un habitant de la commune ».
1. Construire un arbre pondéré complet traduisant la situation.
2. Calculer la probabilité que l’arbre abattu soit un chêne vendu à un habitant de la commune.
3. Justifier que la probabilité que l’arbre abattu soit vendu à un habitant de la commune est égale à 0,587 7.
4. Quelle est la probabilité qu’un arbre abattu vendu à un habitant de la commune soit un sapin ? On donnera le résultat arrondi à10−3.
Exercice 2
(7 points) Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct O, −→
u , −→ v
. Vous compléterez le graphique proposé en Annexe et à rendre avec votre copie.
1. Résoudre dansCl’équation z2−2z+ 4
z2+ 4
= 0.
2. On considère les points A et B d’affixes respectiveszA= 1 +i√
3 etzB= 2i.
a. ÉcrirezA etzB sous forme exponentielle et justifier que les points A et B sont sur un cercle de centre O dont on précisera le rayon.
b. Placer les points A et B sur le graphique proposé en annexe.
c. Déterminer une mesure de l’angle−−→OA, −−→OB . 3. On note F le point d’affixezF=zA+zB.
a. Placer le point F sur la figure précédente. Montrer que OAFB est un losange.
b. En déduire une mesure de l’angle−−→OA, −−→OF
puis de l’angle−→ u , −−→OF
.
c. Calculer le module dezFet en déduire l’écriture dezFsous forme trigonométrique.
d. En déduire la valeur exacte de :
cos 5π
12
.
Exercice 3
(10 points)
Dans cet exercice les parties A et B sont totalement indépendantes.
Question préliminaire :
Soitf la fonction définie sur l’intervalle]0 ; +∞[par
f(x) = ln(x) x . On admet que la fonctionf est dérivable sur l’intervalle]0 ; +∞[.
On a donné en ANNEXE, qui est à rendre, la courbe représentativeCf de la fonctionf dans un repère orthogonal.
Déterminer les limites def en0 et+∞et dresser son tableau de variations.
Partie A
Dans cette partie,ndésigne un entier naturel strictement positif. On noteEn l’équation.
(En) : ln(x) x = 1
n ayant pour inconnue le nombre réel strictement positifx.
4.
1. Montrer que, pourn>3, l’équationf(x) = 1
n possède une unique solution sur [e ;∞] notéeαn. L’objectif de la fin de cette partie est l’étude de la suite(αn)n≥3.
2. Sur le graphique sont tracées les droitesD3,D4et D5 d’équations respectivesy=1 3, y=1
4, y= 1 5. Placer sur l’axe des abscisses les valeurs deα3,α4 et α5, en faisant apparaître les trais de construction.
Conjecturer le sens de variation de la suite(αn).
3. Comparer, pour tout entiern>3,f(αn)etf(αn+1). En déduire le sens de variation de la suite(αn).
4. Pourn≥nentier, justifier quelnαn= αn
n et établir que, pour tout entier naturelnsupérieur ou égal à 3, αn >nα3
3 . 5. En déduire lim
n7→+∞αn.
Partie B
Soitgla fonction définie sur l’intervalle[1,e]par
g(x) =f(x) + 1 Soit(un)la suite récurrente définie surNpar :
u0=e un+1=g(un)
1. Recopier et compléter le tableau de valeurs ( vous pourrez donner des valeurs approchées à10−2près) :
n 0 1 2 3 4 5
un e 2. Dresser le tableau de variation degsur[1,e].
3. Montrer que :
∀n∈N, 1≤un+1≤un≤e 4. En déduire que la suite(un)converge.
5. Soithla fonction définie sur[1,e]par :
∀x∈[1,e], h(x) =x−g(x)
a. Montrer queh′(x)est du signe det(x) =x2+ lnx−1et justifier quet(x)>0 sur[1,e].
b. En déduire le tableau de variation dehsur]1,e].
c. Déterminer la ou les solutions de l’équationg(x) =xsur [1,e].
6. Déterminer la limite de la suite(un).
ANNEXE de l’exercice 2
1 2 3 4 5
−1
−2
−3
0
−1
−2 1 2 3 4
ANNEXE de l’exercice 3 Cette annexe est à rendre.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
−1
−2 0
−0,1 0,1 0,2 0,3
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
0 0,1 0,2 0,3
C
Réponse de l’exercice 1 1. Arbre pondéré complet :(3 points)
C 0,3
0,459 H
0,541 H
S
0,5 0,8 H
0,2 H
E
0,2 0,25 H
0,75 H
2. On a, d’après l’arbre pondéré :P(C∩H) = 0,3×0,459 = 0,137 7.(2 points)
3. Les événementsC,S etE formant une partition de l’univers, la formule des probabilités totales donne : P(H) = P(C∩H) +P(S∩H) +P(E∩H)
= 0,137 7 + 0,5×0,8 + 0,2×0,25
= 0,587 7 (2points) 4. Il s’agit ici de calculerPH(S). Par définition :
pH(S) = P(S∩H) P(H)
= 0,5×0,8 0,587 7
≈ 0,681 à 10−3 près(3points).
Réponse de l’exercice 2 1. z2−2z+ 4
z2+ 4
= 0 ⇐⇒
z2−2z+ 4 = 0 ou
z2+ 4 = 0 .
• z2−2z+ 4 = 0 ⇐⇒ (z−1)2−1 + 4 = 0 ⇐⇒ (z−1)2=−3 ⇐⇒ (z−1)2= i√
32 . Cette équation a deux solutions1 +i√
3et 1−i√ 3.
• z2+ 4 = 0 ⇐⇒ z2= (2i)2 : cette équation a deux solutions :2i et−2i.
Conclusion : l’équation a quatre solutions(4 points): 1 +i√
3; 1−i√
3; 2i; −2i.
2. a. • |zA|2= 1 + 3 = 4 = 22⇒ |zA|= 2.
On peut écrirezA= 2 1 2+i
√3 2
!
= 2 cosπ
3 +isinπ 3
= 2eiπ3. (1 point)
• zB= 2eiπ2. (1 point)
On a donc avec les modules OA = OB = 2 : A et B appartiennent au cercle de centre O et de rayon 2.(1 point) b. Faire une figure et placer les points A et B.(2 point)
1 2
−1
−2
0
−1
−2 1 2 3 4
b b
B A
O
F
c. Déterminer une mesure de l’angle−−→
OA, −−→
OB
. On a zB
zA = 2eiπ2 2eiπ3 = eiπ2
eiπ3 =ei(π2−π3) =eiπ6. Or−−→OA, −−→OB
=argzB zA = π
6.(2 points) 3. On note F le point d’affixezF=zA+zB.
a. Placer le point F sur la figure précédente(1 point). Montrer que OAFB est un losange.(2 point)
F se construit par la méthode du parallélogramme ; or on a vu que OA = OB : le parallélogramme ayant deux côtés consécutifs de même longueur est un losange de côtés de mesure 2.
b. En déduire une mesure de l’angle−−→
OA, −−→
OF
puis de l’angle−→ u , −−→
OF
.(2 points)
OAFB est un parallélogramme et OA = OB = 1, donc deux de ses côtés consécutifs ont même longueur : OAFB est donc un losange et par conséquent la droite (OF) est la bissectrice de l’angle−−→
OA, −−→
OB
; donc une mesure de l’angle−−→OA, −−→OF
est π 12. −→
u , −−→OF
=−→ u , −−→OA
+−−→OA, −−→OF
= π 3 + π
12 = 5π
12 qui est un argument dezF.
c. Calculer le module dezFet en déduire l’écriture dezFsous forme trigonométrique.(2 point) On azF=zA+zB= 1 +i√
3 + 2i= 1 +i√ 3 + 2
. Donc|zF|2= 12+√
3 + 22
= 1 + 3 + 4 + 4√
3 = 8 + 4√ 3 = 4
2 +√ 3
. Donc|zF|= 2
q 2 +√
3.
On a vu qu’un argument dezFest 5π
12, donc l’écriture trigonométrique dezFest : zF= 2
r 2 +√
3 cos5π
12+isin5π 12
. d. En déduire la valeur exacte de :(2 point)
On a vu que la partie réelle dezFest égale à 1 et d’après la question précédente elle est aussi égale à2 r
2 +√ 3
cos5π 12. Donc en égalant :
1 = 2 r
2 +√ 3
cos5π
12 ⇐⇒ cos5π
12 = 1
2p 2 +√
3 =
p2−√ 3 2×(4−3) =
p2−√ 3
2 .
Ces deux nombres sont positifs√ 6>√
2
; comparons leurs carrés :
•
" p 2−√
3 2
#2
=2−√ 3 4 ;
•
"√ 6−√
2 4
#2
= 6 + 2−2√ 12
16 = 8−4√ 3
16 =4 2−√ 3
16 =2−√ 3 4 .
Ces deux nombres positifs ont le même carré : ils sont égaux ; les deux calculatrices donnent le résultat correct.
Réponse de l’exercice 3 Question préliminaire
Pour tout réel x∈]0 ; +∞[, on a f′(x) =
1
x×x−ln(x)×1
x2 = 1−ln(x)
x2 (2 point). Commex2 >0 (1 point), f′(x) a donc le même signe que1−ln(x). Or :
1−ln(x)>0⇐⇒1>ln(x)⇐⇒e>x (1point) Par ailleurs on a lim
x→0 x>0
f(x) = −∞ (1 point) (pas de forme indéterminée), lim
x→+∞f(x) = 0 (1 point) (par croissance comparée) etf(e) = ln(e)
e =1
e.(1 point) On a donc le tableau de variation suivant :
x f′(x)
f(x)
0 e +∞
+ 0 −
−∞
−∞
1 e 1 e
0 0 D’après le tableau de variation précédent, la fonction f a pour maximum 1
e et ce maximum est atteint enx= e.
Partie A
1. Soitnun entier tel quen>3, alors0< 1 n 6 1
3 61
e.(1 point)
Sur l’intervalle[1 ; e], la fonctionf est continue (car dérivable), et strictement décroissante.(1 point)Elle réalise donc une bijection de[e,+∞[sur
x7→+∞lim f(x);f(1)
=
0 ; 1 e
. Le nombre 1
n appartient à l’intervalle
0 ; 1 e
, donc l’équationf(x) = 1
n admet une unique solutionαn dans[1 ; e].
2. Les abscisses supérieurs àedes points d’intersection entre les droiteD3,D4,D5et la courbeCsont les nombreα3,α4
etα5. Graphiquement, on lit queα3< α4< α5, il semble donc que la suite(αn)soit croissante.(2 points) 3. Soitnun entier tel quen>3. Par définition de la suite(αn), on af(αn) = 1
n et f(αn+1) = 1
n+ 1.(1 point)
Comme 1
n+ 1 < 1
n, on a donc f(αn+1)< f(αn).(1 point) La fonctionf étant décroissante de[e,+∞[sur=
0 ; 1
e
orf(αn+1)< f(αn)donc les antécédents sont "rangés dans l’ordre inverse"αn< αn+1, ce qui prouve que la suite(αn)est croissante.(2 point)
4. Soitnun entier tel quen>3. Par définition deαn, on a : f(αn) = 1
n ⇐⇒ ln(βn) αn
= 1
n ⇐⇒ln(αn) = αn
n . (1point)
La suite (αn) est croissante, donc, pour tout entier naturel n>3 on aαn >β3 >0. La fonctionln étant croissante sur]0 ; +∞[, ceci implique queln(αn)>ln(α3)(2 point), c’est-à-dire que αn
n >α3
3 (1 point). On en déduit bien que αn >nα3
3 . (1 point) 5. α3>0, donc lim
n→+∞nα3
3 = +∞. Par comparaison à l’infini, on en déduit que lim
n→+∞βn= +∞.(2 points)
Partie B
Soitgla fonction définie sur l’intervalle[1,e]par
g(x) =f(x) + 1 Soit(un)la suite récurrente définie surNpar :
u0=e un+1=g(un)
1. Recopier et compléter le tableau de valeurs ( vous pourrez donner des valeurs approchées à10−2près) :(2 points)
n 0 1 2 3 4 5 un e 1,37 1,23 1,17 1,13 1,11 2. Dresser le tableau de variation degsur[1,e]. On a g′ =f donc :(2 point)
x g′(x)
g(x)
1 e
+ 0
1 1
1 + 1 1 + e1 e
3. Montrons par récurrence que(3 point):
∀n∈N, 1≤un+1≤un≤e Initiale :Avec le tableau de valeur on a :
1≤αn+1≤αn≤e Hérédité : Soitn∈N. Supposons1≤un+1≤un≤e.
Comme la fonctionf est croissante sur[1,e], on a :
1≤un+1≤un≤e⇒f(1)≤f(un+1)≤f(un)≤f(e) = 1 + 1
e ≤e⇒1≤un+2≤un+1≤e Conclusion : On a montré par récurrence que :
∀n∈N, 1≤un+1≤un≤e
4. En déduire que la suite(un)converge. D’après la question précédente, la suite (un)est décroissante et minorée par 1.
Donc(un)est convergente.(2 points) 5. Soithla fonction définie sur[1,e]par :
∀x∈[1,e], h(x) =x−g(x)
a. Montrer queh′(x)est du signe det(x) =x2+ lnx−1et justifier quet(x)>0 sur[1,e]. soit[1,e]: h′(x) = 1−g′(x) = 1−f′(x) = 1−1−lnx
x2 = x2+ lnx−1 x2 = t(x)
x2 (2points)
Commex >1, alorsx2>1et lnx >0donct(x)>0. Commex2>0,h(x)est du signe de t(x)>0.(1 point) b. En déduire le tableau de variation dehsur[1,e]. (1 point)
x h′(x)
h(x)
1 e
+ 0
0 0
e + 1 +1 e + 1 +1e e
c. Déterminer la ou les solutions de l’équationg(x) =xsur [1,e].
D’après le tableau de variation précédentg(x) =x⇔h(x) = 0⇔x= 1.(1 point) 6. Déterminer la limite de la suite(un). Si on notella limite de la suite(un), on a lim
n7→+∞un+1=l= lim
n7→+∞f(un) =g(l) carg est une fonction continue. Doncl= 1.(2 points)
