L'hydrodynamique et la théorie cinétique des gaz

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L’hydrodynamique et la théorie cinétique des gaz

Yves Rocard

To cite this version:

Yves Rocard. L’hydrodynamique et la théorie cinétique des gaz. Mathématiques [math]. Universite

de Paris, 1927. Français. �tel-00278112�

N° ORDRE :

932

THÈ

SES

PRÉSENTÉES

A

_{LA FACULTÉ}

DES

SCIENCES

DE

L’UNIVERSITÉ

DE

PARIS

POUR OBTENIR

LE

GRADE DE

DOCTEUR

ÈS

SCIENCES

MATHÉMATIQUES

PAR

Yves ROCARD

1re

THÈSE.

2014

L’HYDRODYNAMIOUE

ET LA THÉORIE

_CINÉTIQUE

DES _GAZ.

2e

THFÈSE.

2014 PROPOSITIONS DONNÉES PAR LA FACULTÉ.

Soutenues te 3 Juin i927 devant ta Commission d’examen.

MM. E. Président. E.

_{BLOCH ... ~ ~}

. ~ E. CARTAN...,.

PARIS

MASSON

ET

ÉDITEURS

LIBRAIRES DE

L’ACADÉMIE DE

MÉDECINE

BOULEVARD SAINT-GERMAIN

No D~ORDRE : 1

I932

THÈSES

PRÉSENTÉES

A LA

FACULTÉ

DES

SCIENCES

DE

L’UNIVERSITÉ

DE PARIS

~

POUR OBTENIR

LE GRADE DE DOCTEUR

ES

SCIENCES

MATHÉMATIQUES

PAR

Yves ROCARD

AGRÈGE nE PHYSIQUE

1re THÈSE. 2014

L’HYDRODYNAMIQUE

ET LA THÉORIE

_CINÉTIQUE

DES GAZ.

2e

THÈSE. 2014

PROPOSITIONS DONNÉES PAR LA FACULTÉ. Soutenues le 3 Juin 1~7 devant la Commission d’examen.

MM. E. BOREL...

E. .

PARIS

ET

_~;e,

LIBRAIRES DE

L’ACADÉMIE

DE MÉDECINE

BOULEVARD SAINT-GERMAIN

’

iVIM .

Doyen... CH. MAURAIN, Pro fesseur, Physique du _globe ,

Doyens honoraires.. P. _APPELL, M. MOLLIARD.

)

Profess. honoraires..

)

P. PUISEUX. V. _BOUSSINESQ. A. JOANNIS. H. LE CHATELIER. H. LEBESGUE. A FERNBACH. A. LEDUC. G. SAGNAC. 1 ... ,

E. PICARD... Analyse supér. et _{algèbre supérieure.}

G. KOENIGS... _{Mécanique physique} et expérimentale.

E. GOURSAT... Calcul différentiel et calcul intégral,

P. JANET... _{Electrotechnique générale.} F, WALLERANT... Minéralogie.

H, ANDOYER... Astronomie.

P. PAINLLVÉ... Mécanique anal. et _mécanique céleste. ’ _{É. HA UG ...}

Géologie.

GABRIEL BERTRAND Chimie biologique.

Mme p CURIE... _{Physique générale} et radioactivité. M. GAULmRY... _{Zoologie ( évolution} des êtres _organisés)

C. CHABRIE... Chimie _appliquée. ..

G. URBAIN... Chimie minérale.

ÉMILE BOREL... Calcul des _{probabilités} et _phys. mathém. L. MARCHIS ... Aviation..

JEAN PERRIN... Chimie _physique.

RÉMY _{PERRIER... Zoologie (Enseignement} P. C. N.).

H. ABRAHAM...

_Physique.

M. MOLLIARD ...

_Physiologie

_végétale.

E.

CARTAN...

1

_{Géométrie supérieure.}

L. LAPICQUE...

Physiologie

générale.

E. VESSIOT... Théorie des groupes et calc. des variat.

A. COTTON... Physique générale.

J. DRACH ...

Application

de l’analyse à la géométrie. CHARLES FABRY .... Physique.

CHARLES PEREZ .... Zoologie.

LÉON BERTRAND... Géologie appliquée et _{géolog. régionale.} R. LESPIEAU ... Théories chimiques.

E. RABAUD... _{Biologie expérimentale.} P. PORTIER... Physiologie comparée.

E. BLAISE ... Chimie _organique. _

P.-A. DANGEARD.. _Botanique.

P. MONTEL... Mécanique rationnelle.

P. WINTREBERT .. Anatomie et histologie comparées.

O. DUBOSCQ ... Biologie maritime.

G. JULIA ... Mathématiques générales.

A. JOB... Chimie générale.

A.

MAILHE... Etude des combustibles.

L.

LUTAUD...

Géographie

physique.

EUGÈNE

BLOCH... Physique théorique et phys. céleste. E. HÉROUARD .. Zoologie.

PECHARD.... Chimie (Ens. P.

V. Chimie analytique.

GUICHARD ... Chimie minérale. A. GUILLET... Physique.

C. MAUGUIN.... Minéralogie.

L. BLARINGHEM _Botanique.

A. MICHEL-LEVY _{Pétrographie.} A. DEREIMS... Géologie. ‘

R. DONGIER .... Physique du globe.

A. DENJOY... Calcul diff. et int. H. BENARD... Physique (P.C.N ).

E. DARMOIS... physique.

G. BRUHAT... Physique.

H. MOUTON... Chimie _physique. L. JOLEAU...

Paléontologie.

M . JAVILLIER... Chimie

_biologique.

A. DUFOUR... Physique (P.CN.).

F PICARD... , _{Zoologie (Evolution}

des êtres _organisés). ROBERT LEVY ... Zoologie.

L. DUNOYER... Optique

appliquée.

A. GUILLIERMOND. _{Botanique (P.C.N.).}

A. _{D 1;B I ER1’rtE...} Radioactivité.

A

Messieurs

E.

BOREL et

CH. FABRY

ET

Li

THÉORIE

CINÉTIQUE

DES GAZ

Par YvES ROCARD

INTRODUCTION

_ Il Y a en réalité deux théories

des

gaz :

l’une,

que l’on

pourrait

appeler

théorie

_statistique

des _{gaz, introduit à} tout

propos des

grandeurs

r, _{moyennes ?} comme le libre _parcours

moyen, l’intervalle moyen entre deux

chocs,

etc..., l’autre au

contraire,

que nous nommerons la théorie

_dynamique

des

gaz,

analyse plus profondément

un cas

_particulier

de rencon-tre moléculaire où se

_produit

le

_phénomène

étudié

_(transport

transport

de

_quantité

de _mouvement,

_etc...)

et fait -

la somme des résultats de tous les cas

_particuliers

semblables

en tenant

_compte

de leur

_probabilité

relative.

Il est a

_peine

besoin de

_rappeler

_{que la théorie}

_statistique

ne

_peu

t

_guère

_prétendre

a la

_rigueur,

se fondant sur des

notions dont la

_{signification}

est

_plus

intuitive _que

réelle ;

comme méthode de

découverte,

elle a

_cependant

fourni de

brillants

résultats,

mais ces résultats ont tous eu besoin de retouches : témoin les formules obtenues pour le coefficient de

din’usion :

Boltzmann,

_qui

les a

dénombrées,

en a

_compté

dix-neuf,

dont aucune ne

_peut

être

_présumée

valable

_plutôt

qu’une

autre.

La théorie

_{dynamique (nous}

_empruntons

cette dénomina-tion au titre du traité de

_Jeans)

elle,

_dispose

de moyens

développement

date .de la détermination de la fonction de distribution des vitesses _par Maxwell

_(~~,

relative au cas d’un

gaz en

_équilibre.

Dans le cas d’un _gaz non uniforme _{par la}

composition,

par la vitesse moyenne, ou _par

_{l’énergie,}

cette

fonction de distribution est

_{beaucoup plus}

_compliquée

et se

présente

sous forme de solution de

_{l’équation}

intégro-diffé-rentielle de Boltzmann

_(2).

Il est facile de montrer _que de la connaissance de la fonction de distribution découlent avec

facilité tous les

_paramètres

_physiques

_{d’un gaz}

_qui

_{n’est pas} en

équilibre (coefficients

de

diffusion,

de

_viscosité,

de

conducti-bilité

_thermique,

_etc...)

mais il a fallu

attendre jusqu’en

ces

dernières années la détermination de cette fonction. En

_effet,

c’est seulement en _I9I1

_{qu’Enskog (3)}

a donné une méthode

de résolution

_numérique

de

_{l’équation}

de

_Boltzmann,

tandis

qu’en

I9I2 Hilbert (4) démontrait l’existence de la solution dans le cas où les molécules sont des

_sphères

_élastiques

rigi-des,

restriction

_qui

a été levée en suite assez aisément par

Lunn et Pidduk

_(~).

On

_pouvait

dès lors traiter

_quelques

pro-blèmes

_{particuliers :}

ainsi S.

_{Chapman (6)}

cherche à étendre

les résultats de Maxwell à un

_type

_quelconque

de molécules

sphériques,

mais en

_employant

encore une fonction de

distri-bution

_simplifiée.

Pidduck lui-même traite

_{(loc. cit.)}

un

pro-blème

_particulier

de diffusion des ions. Lorentz

₍₇₎

_aupara.

vant réussit à traiter le

_problème

de la diffusion des électrons

par un _usage direct de

_{l’équation}

de

_Boltzmann,

mais les

simplifications parliculières

à ce

_problème

_{par suite de} la

faible masse des électrons excluent toute

_{généralisation.}

Mais c’est seulement en

₁₉₁₆

et _{1917 dans} un travail de

(1)

MAXWELL, Sc.

_Papers,

I,

p.

377,

II, p. 23.

(2)

BOLTZMANN,

Leçons

sur la _{théorie des gaz, t} .

(3)

ENSKOG,

Phys.

Zeitsch., la, I9II, p, 58.

(4)

HILBERT, Math. Ann., I9I2.

(5)

PIDDUCK,

Ppoc. . London math. soc. , r5,

I9I5,

p.

89.

(6)

S.

CHAPMAN,

Phil. Trans. A . am, _rgm, p.

433..

_

S.

_{Chapman (1)}

et en _{I9I7 dans}

_{l’Inaugural}

Dissertation de

Enskog (2)

que se trouve déterminée la fonction de

distribu-tion des

_vitesses,

dans des mémoires

_qui

fixent véritablement

une

_étape

dans le

développement

de la théorie

cinétique.

On

_peut

d’ailleurs faire remonter

_l’origine

de ces derniers travaux à un mémoire de M.

_{Langevin (J~}

où cet auteur

réus-sit,

dans un

problème

de

diffusion,

à effectuer les

intégra-tions pour une loi de force assez

_générale

mais seulement

pour la distribution des vitesses de ,

Auparavant,

cependant,

Maxwell lui-même par une sorte

de divination avait entrevu les

_{simplifications}

_spéciales

qu’entraînait

la

_supposition

des molécules

_ponctuelles

avec une loi de force en - et avait donné une théorie

j.’s

complète

allant de la détermination du coefficient de

visco-sité

_jusqu’au

calcul des tensions dans un _gaz

raréfié,

théorie

à

_laquelle

rien n’a été

_{ajouté jusqu’ici.}

Il arrivait à construire la fonction de distribution _par une méthode

entièrement

t

originale,

celle des

_équations

de

_transfert,

_qui

se trouve aussi

employée

par

Chapman.

On doit mentionner que nolds

_(~)

était arrivé aussi à la détermination des tensions

dans _{les gaz raréfiés par} une méthode

originale.

M.

louin

₍₅₎

a dans cet ordre d’idées

_publié

un mémoire très

important,

où il

énumère,

à l’aide de considérations

d’inva-riance dans les

_changements

de

coordonnées,

les termes

_qui

i

peuvent

figurer

dans le

_{développement}

de la fonction de dis-tribution des

_vitesses,

considérée

_uniquement

en tant _que

solution de

_{l’équation intégro-différentielle}

de Boltzmaann.

Ces termes

_figuraient

bien entendu avec des coefficients

numériques

indéterminés car à

l’époque

où a _paru ce

(i)

S. .

CHAPMAN,

Phil. Trans. A. 2I6, p. . 279 et A. 21 j. y. I 1J, ,

(2) ENSKOG,

Inaug. diss

.

Upsala,

1917. .

(3)

LANGEVIN, Ann. ete ,

I905.

Ci)

REYNOLDS,

.Se _papers, I, p.

s67 .

(4)

REYNOLDS, Sc. _papers, I, p.

36y.

mémoire,

les méthodes de résolution des

_équations

intégra-les _{n’étaient pas} connues. Si 1Bf. Brillouin avait

_comparé

ses

résultats à ceux _{que fournit}

_{l’équation}

de

transfert,

il aurait

pu en déduire les coeffieients de son

_{développement}

et _pousser

la théorie

_jusqu’aux

nombres. C’est au fond le travail

_qu’ont

fait S.

_Chapman

_{(’ )}

et Jones

_(2),

ce dernier dans le cas des

gaz

raréfiés,

tandis que

Enskog

(~)

retrouvait des résultats

analogues

par une méthode directe

d’intégration.

On voit que la méthode

_qu’a

fait connaître en _I900 M.

Bril-louin trouve son

_{complet développement}

dans les travaux de

Chapman

et Le mémoire

_{d’Enskog, plus}

satisfai-sant au

_point

de vue

_théorique,

est

_{cependant rédigé}

dans un

esprit

purement

mathématique

et les résultats

_numériques

qu’il

l donne _pour des modèles moléculaires

_particuliers

(molécules

ponctuelles,

loi de

force

en

2014)

sont _peu utilisa-bles pour le

_physicien.

_Chapman

au contraire

prend

soin

d’envisager

des modèles moléculaires avec

_lesquels

il y a

quelque espoir

de

_représenter

à _peu

_près

la

_réalité,

de sorte

que nous utilisons de

_préférence

ses résultats : ils sont

cependant

moins sûrs _que ceux

_d’Enskog;

ainsi une erreur

entache sa détermination de la constante de

Sutherland,

erreur

_signalée

_par

_Enskog

et

_corrigée

_{par James}

_{(~) ;}

une autre erreur

_figure

dans son

_équation

de transfert de

l’éner-gie (~)

nous la

_{corrigeons à}

la fin de la

_{quatrième partie}

de

ce travail.

On

_peut

_{remarquer, dans} tous les travaux _que nous avons

cités et surtout dans les

_plus

_modernes,

une tendance très

nette à éviter le

_langage

des anciennes

_théories,

ce

_qui

pour-rait faire croire dans une certaine mesure _{que les résultats}

(1)

S. CHAPMAN, cit.

(2)

JONES, Phil. trans. A

. 2a3,

p, , 1-33.

(3)

ËNSKOG, Loc. cit.

(4)

JAMES, Proc. .

Cambridg.

Phtl. 20,

I92I, pp.

447-454.

macroscopiques

fournis par la théorie

_cinétique

_{des gaz} ne

rentrent _{pas dans le cadre}

_général

de la théorie de l’élasticité

ou de

l’hydrodynamique :

dans la

première

partie

de ce

tra-vail,

qui

sert en

_quelque

sorte d’introduction aux _autres,

nous avons cherché au contraire à effacer cette

_impression

et

à tirer de la théorie

_cinétique

_{des gaz des}

_{renseignements}

utilisables _pour

_{l’hydrodynamique,}

nous avons été amenés ainsi à éc.rire dans les

_équations

du mouvement

_qui

corres-pondent

à

_{l’approximation}

de Jones

_(loc.

les termes

_qui

dépendent

du coefficient de conductibilité

_thermique.

La

encore nous restons dans le cadre des résultats

_prévus

_par M. Brillouin.

Nous nous sommes

_proposé

ensuite de

_{reprendre l’analyse}

qui

conduit aux

équations

du mouvement dans le cas d’un

gaz

comprimé :

aucun auteur ne

_semble

_jusqu’ici

avoir

envisagé

ce

_{problème ; cependant}

si l’on se restreint au cas

du gaz de Van der vVaals-Boltzmann à molécules

_rigides

élastiques,

et si l’on utilise les résultats de

_Chapman

et

d’Enskog

relatil’s à la fonction de distribution des

vitesses,

aucune difficulté de

_principe

_{n’apparaît.}

Pour

_intégrer

com-plètement

le mouvement d’un _{gaz, il faut} connaître son

équa-tion le

_problème

relativement

_simple

de la

détermi-nation de

_{l’équation}

d’état nous fournit une excellente

occasion de

_préciser

l’ordre de

_grandeur

de

_{l’approximation}

qu’on

peut

obtenir dans ce _genre de

_{théorie ; nous}

l’avons

traité dans la deuxième

_partie.

Dans la troisième

_partie

nous

_envisageons

à

_proprement

parler

l’hydrodynamique

des gaz

comprimés :

un

premier

problème

est celui de la détermination de la fonction de dis-tribution des vitesses dans un tel gaz ; on verra

_qu’on

la

déduit aisément de celle de

_{Chapman :}

Vient ensuite

_l’analyse

de deux modes nouveaux de

_transport

de la

_quantité

de mou-vement dans le _gaz, l’un consistant dans l’en’et des forces

intermoléculaires,

l’autre consistant dans le

_transport

brus-que de

quantité

de mouvement

_apportée

dans l’élément de

volume _{par le choc} d’une molécule extérieur e ~ cet

élément sur une molécule intérieure. Ces deux

_phénomènes

nouveaux,

_qu’on

_négligeait

dans le cas du _gaz

_parfait,

condui-sent à une modification du coefficient de viscosité et aussi à des corrections transformant

_{précisément}

la

_pression

==

V

du _gaz

_parfait

en la

_pression

P

_{_-__,~’(V,}

_T)

du gaz

_comprimé,

mettant ainsi d’accord

_{l’hydrodynamique}

et la théorie

cinéti-que. - Nous _{avons reconnu}

qu’un

tel

_transport

_{de la}

quan-ti té de mouvement du centre d’une molécule sur le centre de

l’autre au moment du choc avait

_déjà

été

_envisagé

sous une

autre _{forme par G.}

_Jâger

₍₁₉₀₀₎

_{pour rendre}

_compte

de la

viscosité des

_liquides,

mais cet auteur, se basant sur des

considérations de chemin _moyen, ne

_pouvait

prétendre

à la

rigueur.

M. Brillouin a

_reproduit

le même

_type

d’explica-tion dans-ses «

_Leçons

sur la viscosité ».

-Enfin dans la

_quatrième

_partie

nous étudions le transfert

de la chaleur dans _{les gaz}

_comprimés,

en tenant

_compte

des

modes nouveaux de transfert que vient de nous révéler l’étude

des

_phénomènes

de viscosité et

_qui

se traduisent :

_a)

_par une

modification au coefficient de conductibilité

_{thermique ;}

b)

par des termes nouveaux dans

l’équation

de transfert

pro-prement

dite.

Il serait très désirable d’avoir des résultats

_analogues

_pour

un modèle moléculaire

_quelconque

et non

_plus

seulement

pour le gaz de Van der

Waals,

mais cela

paraît

malheureu-sement

_impossible.

On

_peut

toutefois aboutir à

_quelques

résultats en attribuant aux molécules une force d’attraction

très intense

_agissant

dans un domaine très étroit. Ce

_point

de vue

_qui

_permet

d’obtenir des

formules,

_pour le

coeffi-cient de viscosité notamment, très

_comparables

à

l’expé-rience,

est

_envisagé

dans la dernière

_partie.

C’est pour nous un

_agréable

devoir de remercier ici

E. Bloch et

Brillouin, à

qui

nous devons de

bien-veillante en ce

_qui

concerne notre travail nous a été un

pré-cieux

_{encouragement.}

Tableau

général

des notations et des

_principales

formules de définition.

Dans ce

tableau,

nous nous sommes attaché à rassembler

les

notations

_qui

interviennent en

plusieurs

endroits de

l’exposé,

avec leur

signification

ou leur formule de

défini-tion ;

nous

_{espérons qu’il}

aidera à la lecture du texte.

T

_{température;}

T~

température critique.

P

_pression;

P.

l

pression

interne de Van

der Waals.

v volume.

h

_{quantité ,}

_{définie par}

2h

=

N

(~U

- chaleur

spécifique

sous volume constant.

R constan te _{des gaz}

_parfaits

PV === RT.

N nombre

_{d’Avogadro.}

v nombre de molécules par unité de volume.

p

densité.

m masse d’une molécule

_{(sphérique).}

~I masse moléculaire.

s diamètre d’une molécule.

b covolume b -

w03C0N03C33 3 soit

_quatre

fois le volume total des

molécules.

Yi ou coefficient de viscosité d’un gaz

parfait.

Y)

coefficient de viscosité d’un non

_parfait

sous le

volume v.

fi ou

_03B8~

coefficient de conductibilité

thermique

d’un _gaz

parfait.

Op

coefficient de conductibilité

_thermique

d’un _gaz non

par-fait sous le volume v. ..

r distance de deux

molécules,

ou

_parfois

indice de

p, ~, coordonnées

polaires

dans un certain

_plan

diamétral

d’une molécule.

t

_temps.

d dt dérivation

par

rapport

au

_temps,

dérivation

F(r)

force entre deux molécules à la distance r.

,~’(r~)

force de

_percussion

au choc de deux molécules.

dS élément d’aire sur une

_sphère

de

_protection

moléculaire.

a,

~

y direction normale à dS.

iavw vitesse absolue d’une molécule.

uvw, vitesses de deux molécules avant le choc.

u1v1w1, u’1v’1w’1 vitesses de ces deux molécules

_après

le choc.

UVW vitesse d’une molécule relative à un

_petit

élément de

gaz : etc...

-~- V ~ +

uovowo vitesse du gaz en un

_point.

vf(xyztUVW)

ou

_vf

fonction

_générale

de distribution des

vitesses.

f"

~’’

~’V~ ).

vf0

= fonction de distribution des vitesses de Maxwell.

valeur _moyenne de

_Q.

Q j

= = valeur moyenne dans la

distri-bution de Maxwell.

-force _par unité de masse

_agissant

sur les

moléc.ules,

S? = vitesse relative de deux molécules venant se

_choquer.

S

_entropie

_statistique.

W extension en

_phase.

K(c)

== facteur tenant

_compte

du

phénomène

de

protection

mutuelle des

molécules

pour les chocs dans les gaz

svstème

des tensions.

etc... ,

système

de tensions

_{particulières}

_provenant

des

_impulsions

dans les chocs moléculaires.

Formules

_{fréquemment employées}

et

_principaux

résultats

obtenus.

Fonction de distribution des vitesses de

_{Chapman hour}

un

gaz

unique :

Relations de

_Bo,

_{Go, S ,}

_y

avec les coefficients de viscosité

Fonction de distribution des vitesses _pour un _g~az

com-primé (molécules

rigides

élastiques) :

-

Même fonction

V,

que pour un _gaz

parfait,

où l’on

remplace

B~

et

_Co

_{respectivement}

_{par :}

Valeur

_théorique

de

_{K(?) :}

Coefficient de viscosité d’un gaz

comprimé :

avec :

et :

Coefficient de conductibilité

_thermique

d’un _gaz

avec :

et : o

Equation

de transfert de la chaleur dans les _gaz

compri-més :

S étant un

_signe

de sommation par

_rapport

aux trois axes

L’hydrodynamique

des gaz

parfaits

d’après

ia

théorie

cinétique.

_

i.

Notations.

- Nous

appellerons

fi, v, ~, les trois

compo-santes de la vitesse absolue d’une

_molécule,

de coordonnées ;,r,

y, U0, la vitesse

d’ensemble,

ou vitesse du centre

de

_gravité

d’un

_petit

élément du _gaz au

pointx,

_y, .~ . Si l’on

désigne

par A la valeur moyenne, pour toutes les molécules

d’un certain

_volume,

d’une

_quantité

A attachée à

_chaque

molé-cule,

on a :

-p sera la densité du la masse d’une

molécule, v

_sera

le nombre de molécules _{par unité de volume. Ces trois} gran-deurs sont liées _{par la relation :}

Nous introduirons encore les vitesses d’une molécule tives au centre de

_gravité

du

_petit

élément _{de gaz}

_qui

l’en-toure. Soient U.

V,

W ces vitesses. On a :

Tous les calculs

_qui

vont suivre

_reposent

sur la

connais-sance de la fonction de distribution des vitesses

_y(.r.

dxdydz

dont les

_composantes

de vitesses soient

_comprises

entre cz et u ₊ et v ₊

_dv,

zv et w + dw

_[Nous

dirons

parfois

pour

abréger :

molécules u, u _{-~-- etc...,} ou encore :

molécules

_dadvdw]

_{soit donné pai :}

t

_représente

ici le

_temps.

Cette fonction se

_présente

comme satisfaisant à une

équa-tion

_intégrale

bien connue, formée autrefois par Boltzmann

:Leçons

sur la théorie des

_gaz]

et

_qui

suffit à en

_imposer

la

forme

_grâce

à

_{l’intégration}

de

_{l’équation.}

2.

_{L’équation}

_intégrale

de Boltzmann. - Pour la clarté et la

_simplicité

de

_l’exposé,

nous _croyons devoir établir

rapide-ment cette

_équation,

car nous aurons _{par la} suite à étudier

les modifications

_qu’il

faut lui faire subir dans le cas d’un

gaz

comprimé.

’

Supposons

les molécules soumises à un

_champ

de forces

permanent

et

_appelons

XYZ _{la force par unité} de masse. Les

équations

du mouvement d’une

molécule,

tant

_qu’elle

ne

subit _pas de

_chocs,

sont donc :

Considérons

les molécules

_qui,

à l’instant t, se trouvent

dans l’élément de volume autour du

_point

et

qui

de

_plus

ont des

_composantes

de vitesse

_comprises

entre

u et u _{-~- -p} r~~ _-~- leur nombre est

donné par :

(on

observera

_qu’on

_peut

écrire indifféremment dudvdw

ou

Laissons

les molécules

_poursuivre

leur mouvement

pen-dant le

_temps

_dt,

en

_supposant

d’abord

_{qu’il n’y}

ait _pas eu

de vitesse de

_chaque

molécule auront

_{augmenté pendant}

ce

temps

des

_{quantités respectives}

du =

Xdt, du

=

-

Zdt.

_Quant

aux coordonnées elles auront

_augmenté

de

_même

de :

_vdt,

wdt.

Les molécules _que nous

considérons,

et dont le nombre

n’a pas

varié,

voient maintenant leur nombre déterminé _par

l’expression :

On observera que la véritable fonction à considérer est et non

_pouvant

en être variable d’un

_point

à

un autre du _gaz, ce _que nous

_{représentons}

_par le

_signe

con-ventionnel

_~v~~(...~.

Les deux

_expressions

_(1-1)

et

_(1-2)

doivent être

_identiques.

En

_développant

₍₂₎

_par

_{rapport à}

dt et en ne considérant _que

la

_{première puissance}

de

_dt,

on

arrive,

en

_{égalant à}

zéro

l’accroissement

_trouvé,

à :

Mais en

_général

il se

_produira

des

_chocs,

ou

_rencontres,

ou

collisions,

pendant

lesquelles

des forces d’une nature

_spéciale

s’exerceront et

_pendant

_lesquels,

_par

_conséquent,

les

équa-tions

~t !-

_X,

_etc...,

ne seront

_plus

valables

_(X,

etc....

dési-gnant

les

_composantes

du

_champ

de forces

_général).

Désignons

par :

la contribution à

_~~

_(vI)

_produite

combi-nant les deux causes de

_changement

nous obtenons

l’équation

générale :

3.

_Analyse

des chocs moléculaires. - La détermination

du terme constitue un

_problème

tout

_{spécial, _}

dont la difficulté varie

_beaucoup

suivant le modelé molécu-laire

_envisagé.

C’est cette _{détermination que} nous

appelle-rons des chocs moléculaires. Nous allons l’effec-tuer dans le cas de molécules

_ayant

la

_symétrie

de la

_sphère,

et _pour un _{gaz où} les chocs ou rencontres de trois

molé-cules sont absolument

_{négligeables}

devant les chocs ou

rencontres deux à deux. Nous verrons

_qu’un

tel _gaz

_peut

être

assimilé à un _gaz «

parfait » (chapitre troisième).

Ce calcul

est

_classique

_depuis

_que Boltzmann l’a effectué _{pour des}

molécules

_{sphériques élastiques,}

et _{Maxwell pour des} cen-tres

_ponctuels

se

_repoussant

comme l’inverse de la

_cinquièrne

puissance

de la distance : nous ne

_{l’exposuns à}

nouveau _que

pour la

clarté,

car nous aurons

_plus

tard à le modifier et

généraliser

pour un _gaz

_comprimé.

Nous

_envisageons

donc la rencontre de deux

_molécules.

dont les vitesses

_longtemps

avant le choc sont et

u’, v’,

w’

_{respectivement.}

La vitesse relative avant le choc

sera Q et on aura :

Dans la

_figure

1 le

_point

0

_représente

le centre de la

première

molécule se

_déplaçant

suivant une direction

_QO

avec une vitesse u, v, zv, et MNP

_représente

le parcours décrit relativement à _{O par la seconde}

_molécule,

avant _{que le choc}

ait

commencé,

la vitesse relative étant Q.

_Lorsque

la seconde molécule vient à une distance de 0 telle

_que

l’action entre

les deux molécules devienne

_{appréciable,}

elle sera déviée de

sa

tra,jectoire

suivant

MNS,

courbe bien entendu située dans

le

_plan

MNPO

_puisque,

_supposant

aux molécules la

symétrie

sphérique,

les forces

_qui

s’exercent entre elles sont centrales.

1.

Soit ROP un

_plan

_passant

_{par 0} et

_{perpendiculaire}

a

rencontre ce

_plan

en

_{P ;}

_{soient p}

et e des coordonnées

polaires

de P dans ce

_{plan. Envisageons}

les chocs

_qui

se

produisent

dans les circonstances suivantes : la seconde molécule a une vitesse de

_composantes

_comprises

entre n’ et

ll’ -1- U~ et l~’ + lvf et _{/1/ -t}

_~,~Lti’~

sa

_trajectoire

avant

le choc est _{telle que p} et z soit

_compris

entre _p et _{~~ -~-}

_dp

et entre e et s + dE. Pour

_qu’un

choc ait lieu dans ces

condi-tions, MP doit rencontrer le

_plan

ROP dans l’intérieur d’un

petit

élément d’aire Le nombre de chocs

_pendant

le

temps

sera donc

_égal

au nombre de molécules

_qu

i a un

certain moment se trouvent dans le

_petit

volume

et

_qui

i sont de la

_catégorie

_u’,

+

v’,

~~’ + dv’ et _[V’,

Or,

le nombre de molécules de la

_catégorie

_u, u _-i-

_du

_;

v, v -~-

dv

; w, w _{-t- dw par unité de} volume étant

dudvdw,

le nombre des chocs de

_l’espèce

_envisagé

sera :

dudvdw du’dv’dw’

_pdpd~dt03A9.

Ces molécules de la

_catégorie

rz, u _-~-

du,

_e.c...,

_qui

ont subi

un tel choc

_changent

évidemment de vitesse et

_quittent

pré-cisément la

_catégorie

u., u ₊ du. En

intégrant

_par

_{rapport à}

p, e,

u’, v’,

w’,

on aura la mesure des

_pertes

de molécules subie

dans les chocs par la

catégorie

u, u _-~-

_du,

etc... _{Mais il ~T}

aura aussi des chocs

_{qui communiqueront}

aux deux molécules

qu’ils

intéressent

_{précisément}

des vitesses u, u -{-

du,

etc...,

et

_u’,

u’ -t-

du’,

etc...,

qui

seront alors des vitesses

_après

les

chocs.

_Appelons

et les vitesses

_{correspondantes}

avant les chocs : le nombre de ces chocs sera :

du1dv1dw1

Or on établit aisément

_{(conséquence}

du théorème de

Li-ou-ville)

que

du’1dv’1dw’1

= dudvdw du’dv’dtv’.

Il s’en suit alors en

_{intégrant :}

formule

_{où f}

_{désignef(u, v,}

_w),

_{désignef(u’,}

v’,

tandis

_

exemple

v1,

wi)~ _

, .

4.

- Avec le modèle moléculaire

_{(assez général}

_leurs)

que nous avons

_choisi,

_{l’équation caractéristique}

satisfaite

Dans le cas où l’on aurait

envisagé

des molécules

consti-tuées par des

sphères

élastiques

rigides

de

_diamètre

~, il est

facile de _{voir que le facteur}

_pdpdE

_peut

se

_remplacer

_par°

03C32 cos 03B8d03C9 ;

dw étant l’élément

_d’angle

solide

_{correspondant à}

l’élément de surface de la

_sphère

de

_protection,

élément

hachuré sur la

ng’ure

2, et dont la

_projection

sur un

_plan

Fig.

2.

perpendiculaire

à Q est

_{précisément}

_pdpd~.

8 est

_l’angle

_que

fait

_(fig.

₂₎

la vitesse relative avec la

_ligne

des centres au

moment du choc.

L’équation

(6),

dite

_{équation intégrale}

de

_Boltzmann,

déter-mine

_{complètement}

la forme de la fonction de distribution

_f.

Cependant

on ne sait

_{l’intégrer complètement}

_que dans

le cas très

_simple

du gaz en

_équilibre,

où les deux membres sont

_séparément

nuls. On a alors la solution dite de

Max-well. Dans le cas où le gaz n’est _pas en

_équilibre,

où il

_s’y

produit

par

exemple

un

_transport

de

_quantité

de mouvement

(viscosité)

ou de chaleur

_{(conductibilité thermique)}

la

solu-tion s’écarte de celle _{de Maxwell pour}

_{l’équilibre.}

On _{n’a pu}

traiter

_jusqu’ici

_que le

cas

d’un _gaz infiniment voisin de l’état

_{d’équilibre}

où l’on _{suppose que} la

_{fonction f se}

pré-sente sous la forme

_~’-~

_--~-

_{~), ~’o}

étant la fonction de dis-tribution de Maxwell et s un terme

_{supposé petit.}

Dans les

_remarquables

travaux de

_Chapman

et de ses

élevés d’une

_part,

_d’Enskog

d’autre

_part,

_déjà

cités dans l’in=

troduction,

la détermination de ce terme correctif s se trouve

effectuée. Nous renvoyons

expressément

aux mémoires de

Chapman à

ce

_sujet,

et ce sont les résultats de

_Chapman

_que

nous utiliserons constamment.

5. Les

_équations

du mouvement d’un

_gaz

_parfait.

- Cette

fonction de

distribution,

telle

_qu’elle

nous est connue à

pré-sent

_peut

nous servir à décrire la

plupart

des

_propriétés

du

gaz

envisagé.

En

particulier,

elle

comporte

quelques

consé-quences

hydrodynamiques

sur

_lesquelles

on n’a pas encore

attiré l’attention. Nous allons montrer

_rapidement

_comment,

d’après

Maxwell,

on

_{peut à}

l’aide de la fonction de

distri-bution des vitesses déterminer les

_équations

du mouvement

d’un gaz

parfait.

Ensuite nous verrons _{que si} les résultats de

Chapman

nous ramènent aux

_équations

des fluides

visqueux

ordinaires,

ceux de

Jones,

qui

fournissent

l’approximation

suivante,

donnent des

_équations

de

_{l’hydrodynamique}

com-pliquées

à _{coup sûr mais} fournissant

_{quant à}

la naissance des tourbillons et à la

_disparition

du

_potentiel

des vitesses des

renseignements qui

valent la

_{peine’d’être signalés}

au moment

où de tous côtés on cherche

_{(mais toujours}

dans le cadre des anciennes

_équations)

à mettre d’accord

_{l’hydrodynamique}

et

la réalité.

Les

_{points qui}

vont être mis en évidence sont d’ailleurs

tous

_{implicitement}

contenus dans les travaux de

_Chapman

et

de Jones,

sinon même de Maxwell et

_Reynolds.

Nous ne

faisons que les

présenter

sous

_l’aspect

_{hydrodynamique}

clas-sique,

dont les auteurs

_qui

traitent de la théorie

_cinétique

des gaz semblent en

_général

s’écarter.

Dans la théorie

_{cinétique, l’équation hydrodynamique}

de continuité d’un gaz

parfait

s’établit à _peu

_près

comme celle

d’un milieu continu et ne mérite pas

_{qu’on s’y}

arrête. Les

équations

du mouvement sont,au contraire

différentes,

parce

que

plus

générales :

elles s’établissent par la considération .du

_transport

de la

_quantité

de mouvement tandis _que celles

d’un milieu continu

_reposent

d’une

_façon

_plus

directe sur le

principe

de d’Alembert.

Maxwell,

qui

les a le

premier

for-mées en

1868,

les faisait dériver de ses

équations

de

trans-fert,

tandis _que Hilbert

_(loc.

_cit.)

a montré

qu’elles

se liaient

à

_{l’intégration}

de

_{l’équation}

de

_Boltzmann,

au moins dans le cas des

sphères élastiques.

On

_peut

toutefois les établir

direc-tement, ce _que nous allons faire en suivant Jeans :

6.

_{Equations générales}

_{du mouvement des gaz.} -

Soit 1,

r~, ~

le centre d’un élément limité _{par les}

_{plans :}

Le nombre des molécules u, u +

du,

etc...,

qui

traversent

le

_plan

x

_{- ~-}

-

~

dx _pour entrer dans l’élément de volume

pendant

le

_{temps dt}

sera

_{(1) :}

où

_{l’intégration}

est relative

_{à y}

et à f et

_prise

entre les limites :

.

Cette

_expression

_peut

s’écrire en

_négligeant

des infini-ments

_petits

du 2e ordre : 1

De même le nombre de molécules u, za +

du,

etc...,

qui

sorteut de l’élément _{de volume par le}

_{plan ‘}

~-~- est

donné _{par la même}

_expression

où l’on

_{remplace 1}

-

-2014

dx

par ç

-3-- 2

dx. Par soustraction on en tire la

_perte

des

molé-cules u, u ₊

_du,

etc... _{causée par le} mouvement des

molé-cules à travers les deux faces

_{perpendiculaires à}

l’axe des x :

La

_perte

totale de ces molécules à travers toutes les faces

sera :

°

’

Or la

_perte

de chacune de ces molécules dans l’élément

représente

une

_perte

de

_quantité

de mouvement

_parallèle

à

l’axe des x et

_égale

à mu :

-La

_perte

totale de cette

_quantité

de mouvement

_pendant

le.

temps dt

est

_d’après

_{( 1-7) :}

qu’on

peut

encore écrire :

en

_{posant :}

Il y a aussi un

_gain

de

_quantité

de mouvement, dû à

l’action des forces

s’exerçant

sur les molécules. Le

_gain

de

quantité

de mouvement

_parallèle

à l’axe des x dans le

_temps

dt sera s’étendant sur toutes les molécules de

D’autre

_part

la

_quantité

de mouvement

_totale,

relative à

l’axe des x, à l’intérieur de l’élément

_dxdydz

au

_temps

test

Par

_conséquent

le

_gain

dans le

_temps

dt sera :

En

_égalant

les deux

_expressions

_{trouvées pour le}

_gain

de la

_quantité

de mouvement, on a :

L’équation (1-9),

et celles

_qu’on

en déduit pour les axes _oy et oz, sont les

_{équations hydrodynamiques générales}

_{des gaz.}

Au _moyen de

_quelques

_{transformations,}

nous allons les rame-ner à une forme

_plus

commode.

Si nous avons affaire à un _gaz

parfait,

où les molécules

sont en _moyenne suffisamment écartées pour _que les chocs

soient rares, ~X se réduit aux forces extérieures. Si nous

appelons

précisément X

la force _{par unité de masse,} on a

a!ois : ’

7. Transformation des

_équations.

- Introduisons les

vitesses relatives UVW en

_{posant :}

on en déduit :

En utilisant

_{l’équation}

de continuité :

On a :

et en additionnant membre à mcaibie et

(1-12)

nous avons :

Or le

_premier

membre de cette

_équation

se retrouve dans

l’équation (g),

ce

qui

nous

_permet

d’écrire cette dernière ainsi

_(en

divisant _par

Nous allons _{voir que}

_vU2,

vUV,

vUvV

_{représentent}

préci-sément les

_pressions

et _{tensions que l’on} considère dans

l’établissement des

_équations

du mouvement d’un milieu

continu,

de sorte _que

_{l’équation (13)}

est formellement

com-parable

aux

_{équations hydrodynamiques}

ordinaires. Au lieu

du nombre de molécules par unité de volume ,; nous

Telles sont les

_équations

obtenues _{pour la}

_première

fois

par Maxwell I

(1868).

Il

faut

y

joindre l’équation

de

conti-nuité

_{( I I ), l’équation}

d’état PV =

_RT,

_et aussi

l’équation

des

_{adiabatiques.}

8.

_Equations

du

mouvement

_{explicitées.}

- La

connais-sance de la fonction de distribution des vitesses doit alors

permettre

de calculer les

_quantités

U2

_UV,

etc... et d’écrire

les

_{équations (i-i4)}

sous forme

explicite.

Prenons tout d’abord _pour

_{f la}

fonction de distribution

de

_Maxwell,

celle

_{qui correspond}

à l’état

_{d’équilibre :}

on

trouve aisément :

(P désignant

la

_{pression ).}

d’où

_{l’équation :}

ou encore :

Cette

_équation,

et celles

_analogues

en _{vo, wo,}

_{qu’on peut}

se trouvent

_identiques

aux

_équations

de

_{l’hydrodynamique}

des fluides

_parfaits.

9. Première

_{approximation.}

- Prenons maintenant

pour

la fonction de distribution avec les termes correctifs

compre-nant les dérivées

_premières

_d’espace

et de

_temps

de la

tem-pérature

et de la vitesse _{du gaz, telle que l’a} déterminé

Chapman,

dans son travail

_déjà

cité. Nous en déduisons

aisément

_{les pressions}

et les tensions

_03C1UV,

_pUW,

_elc...,

Champman

d’ailleurs a fait lui-même ce calcul

_qui

con-duit à :

où Y)

désigne

un certain coefficient que

Chapman

calcule

d’après

le _{modèle moléculaire choisi pour le gaz} et

_qui

n’est

autre _{que le} coefficient de viscosité du gaz.

Les

_quantités

_Cxy,

Cxz,

etc... ont les valeurs

sui-vantes : .

En faisant le

calcul,

on trouve alors _pour les

_équations

du

Vo

est le vecteur de

_projections

_{uo, v0, wo. Ce} sont la comme on le voit les

_{équations classiques}

de Navier et Poisson. On

peut

les résumer par la formule vectorielle :

10. Seconde

_{approximation.}

- Nous

pourrions

mainte-nant, pour obtenir

l’approximation

suivante,

considérer une

fonction de distribution de vitesse

_{plus approchée}

de la

solution

_complète

_que celle de

_{Chapman, qui}

contiendrait

par

exemple,

en

_plus

des termes

_indiqués

_par

_Chapman,

les

termes fonction des dérivées secondes

_d’espace

et de

_temps

de la vitesse du _g’az et de la

_{température.}

_{Malheureusement,}

ce nombre de termes est extrêmement

_grand,

et la fonction de distribution

_{correspondante}

fort

_compliquée,

comme on

peut

le voir en se

_rapportant

_par

_exemple

au mémoire de

31. Brillouin de

_{1000. Aussi,}

cette fonction de distribution n’a-t-elle _pas encore été

_explicitée.

Par contre, Jones

Trans.

A.,

223

_{( r g~2),}

_p.

_{i ~}

_par une méthode basée sur la

comparaison

des

_équations

de transfert et de

_{l’équation}

inté-grale

de

_Boltzmann,

méthode ne

_comportant

_pas

_l’emploi

de la fonction de

_{distribution,}

a _{pu calculer le}

_système

de pres.

sions et tensions

_{P ,}

P ,

etc...,

en tenant

_compte

des

6 est le coefficient de conductibilité

_thermique,

_{tel que le} définit et le calcule

_{Chapman (loc,}

J et K sont des nombres _purs,

_{dépendant uniquement}

du

modèle

molécu-laire choisi. Jones forme leurs

_expressions

dans des cas assez

_{généraux :}

ils sont

_égaux

tous deux

_a

i dans le cas des molécules Maxwelliennes

_(points

matériels se

_repoussant

suivant l’inverse de la 5e

_puissance

de leur

_distance),

et

_égaux

respectivement

à

_0,8

et

1,013

pour des

sphères

élastiques

rigides.

On sait du reste _que Maxwell avait

_déjà

_déterminé,

pour le cas

_particulier

de ses

molécules,

les tensions

P ,

_{P ,}

etc..., à

l’approximation

des dérivées secondes.

Jones a su montrer _{que, dans le} cas

_général,

infiniment

plus compliqué,

la solution

_gardait

la même

_forme,

et il a

fourni la méthode

_permettant

le calcul de ~ et de

K,

en

d’autres termes,

permettant

de _pousser la théorie

_jusqu’aux

nombres.

On _remarquera encore sur les

_{équations (22)}

_{que les}

ter-mes contenant ces dérivées secondes sont d’autant

_plus

importants

que la

pression

est

_plus

faible

_(il

la _faut cepen-dant assez forte _{pour que le} libre _{parcours soit}

petit

devant

les dimensions du vase contenant _{le gaz, faute de}

_quoi

les

méthodes

_employées

ne seraient

_{plus valables).}

C’est dans la

considération de ces termes _{que réside}

_{l’explication}

des

for-ces

radiométriques,

comme Maxwell l’a autrefois montré.

De

₍₂₂₎

on tire

alors,

tous calculs

faits,

de nouvelles

équa-tions du mouvement :

ii. Nature des

_{approximations}

faites. - En donnant _ce

résultat,

nous devons insister un _peu sur son caractère

approximatif.

Dépendant

des calculs

_{de Jones,}

il est bien

évi-dent

_qu’il

_comporte

au moins les mêmes

_{approximations}

_que

ceux-ci. Nous

_rappellerons

_par

_conséquent

_que

_Chapman,

qui

ne considère _{que les} dérivées

_{premières d’espace}

et de

temps

des

grandeurs caractéristiques

du gaz,

néglige

les dérivées d’ordre

_plus

élevé : il le fait d’ailleurs non _parce

qu’il

les croit

_{négligeables,}

mais _parce

_qu’elles

apparais-saient avec un coefficient dont la valeur

_numérique

est

négligeable,

sauf aux très faibles

_pressions,

comme cela

apparaît

dans le travail de

_Jones,

_qui

considère bien les

dérivées secondes mais continue à

_ignorer

_{pour la} même

raison les dérivées d’ordre

_plus

élevé. En

revanche,

Chap-man .et Jones considèrent

_uniquement

des états du _gaz

inti-ment voisins de l’état

_{d’équilibre ;}

en d’autres termes, _pour

eux, les dérivées

premières

et

secondes,

_qui

_figurent

dans

leurs formules de tensions et

_pressions,

sont des infiniment

petits

du

_premier

ordre. Les

_produits

de ces mêmes dérivées

sont des infiniment

_petits

du second ordre et comme tels sont

_négligés.

Si l’on voulait

_{perfectionner}

tous ces résultats en tenant

_compte

_par

_exemple

des

_produits

de deux dérivées

premières

(qui

seraient les seuls

_importants

_pour un _{gaz pas}

trop

raréfié)

il faudrait d’abord

_reprendre

la détermination

de la fonction de

_{distribution,}

_pour

_ajouter

aux

_P

P

etc...,

les termes

_{correspondants,}

et ensuite dans le calcul des

etc., ne _{pas nés’Iis’er les}

_produits

de

dérivées

~Pxx ~x, ~Pxy ~y, etc., ne pas né gliger les

produits

dP

dérivées

comme nous l’avons fait

_{jusqu’ici..}

Prenons _par

_exemple

le

_Pxx

de

_{Chapman :}

_

-Sans même tenir

_compte

des termes

_{supplémentaires}

_qui

pourraient

s’y ajouter,

il faudrait écrire : °

T, en varie avec la

_température

et la

_pression

et fl

peut

être à considérer. ’

De même, dans le P de Jones, nous trouvons le terme :

Dans on aura donc les termes :

dans le calcul

_qui

nous a fait passer des formules

_(1-22)

aux

formules

_(1-23).

Nous avons

négligé

le

premier

de ces termes comme étant un

_produit

de dérivées.

_Quand

au

second,

nous

l’avons

_remplacé

_{par :}

en

_remarquant

_que la différence entre

a ~, ~

et

,. 20142014

consiste en des

produits

de dérivées comme on

_peut

le voir

aisément.

12.

- Il est donc

incontestable que dans nos

_équations

il

manque encore

_beaucoup

de termes, sinon une infinité. Il

est vrai

_qu’on

_peut

soutenir avec

_quelque

_apparence de rai-son _{que la} considération du terme

3

_Cxx

~~

_par

_exemple,

n’est

_{guère susceptible d’expliquer}

un

_grand

écart entre la

que dans la considération des dérivées du second

ordre,

des

termes,

tels _que le

_premier

terme de

_{l’expression}

_{(i-25), qui}

contiennent _par

_exemple

le

Facteur ~‘~~ ,

_peuvent

être fort

importants

pour certains mouvements et _pour certaines

régions singulières.

On notera _que

_quand

nous

_employons

les

_{expressions :}

dérivée

_première,

dérivée

seconde,

nous voulons

_parler

des dérivées

_qui

_figurent

dans les différentes

_expressions

des

pressions

et tensions. Ces dérivées

_premières

et secondes

donneront

_{respectivement}

des dérivées secondes et

troisièmes

dans les

_{équations hydrodynamiques}

du mouvement

_qui

s’ensuivent.

Nous devons encore faire remarquer _{que les} termes

con-tenant des

_produits

de

_dérivées,

_que nous avons

_négligés,

sont

_également

_négligés

en

_{hydrodynamique}

_classique

dans

le raisonnement

_qui

fournit les

_équations

_{du mouvement,} et

pour des raisons entièrement

analogues. Cependant

on

_peut,

à la

_rigueur,

en tenir

_compte.

On

_peut

aussi

_{généraliser}

un

peu les résultats en

_supposant

_que les termes de viscosité

n’entrent pas de

façon

linéaire dans

_{l’expression}

des

ten-sions : c’est le

_point

de vue de

Duhem ;

ce

_point

de vue ne

s’est

_peut,êtie

_{pas montré} aussi fécond

_qu’on

aurait _pu

croire,

et notamment, sur une

question capitale,

savoir sur

la naissance ultérieure des tourbillons dans un tluide où le

mouvement est dans une

_région

donnée et à un instant

donné

_{irrotationnel,}

il n’a fourni aucun _moyen nouveau

d’échapper

au théorème de

_LagTange.

i3.

Le théorème de

_{Lagrange. -}

Au

_contraire,

les termes

que nous

ajoutons

aux termes

_classiques

dans

_{l’équation}

_~r-24)

ne sont _pas

_compris

dans les

_{généralisations}

de Duhem. Ils

ne

_pouvaient

d’ailleurs être

_inspirés

_que d’une théorie

cinéti-que, une théorie

_apportant

une

_hypothèse

constructive dans

dépen-dant essentiellement du modèle moléculaire choisi. De

_plus,

comme nous allons le _montrer, ils mettent

_toujours

en

défaut le théorème de

_LagTang-e

sur la conservation du

potentiel

des

_vitesses,

_qui

ne sera

_plus

vrai que _pour des mouvements extrêmement

_{simples (1).}

_

14. Calcul de la circulation. - Suivant la méthode de Thomson et

_Tait,

calculons la circulation r

== f

_(V.

_ds)

et sa dérivée

dl en

suivant la

_ligne

L dans son mouvement

à travers le fluide.

Nous aurons :

Nous allons montrer

_qu’on

_peut

intervertir les

_{signes d}

et 0 : autrement

_dit,

_{que :}

L’élément de L est venu en

M’M’

au

_{temps t}

+ d1

écrivons que :

Nous avons :

os

+

(V + 03B4V)

dt

= Vdt _{+ 03B4s +} ou : = _t

Donc la seconde

_intégrale

s’écrit

_{simplement :}

(1)

Déjà

pour un fluide

_visqueux

ordinaire, la

présence

des

11 vient alors :

Fig.

3.

Occupons-nous

spécialement

de la dernière

_{intégrale :}

le

terme

_{correspondant}

à cette

_intégrale

dans la

_première

des

équations

cartésiennes du mouvement est :

15. Si l’on

_néglige

les

_produits

de dérivées

_(tels

_que

03B4c11 ~x

x

~T 03B4y

par

exemple :

tout ce

_{qui précède}

et notamment la

Gx >C J J par

exemple :

tout ce

qui précède

et notamment la

cette

_hypothèse)

on montrer alors

_qu’on

_peut

interver-tir les

_signes

d et a, tout comme les

_signes

d et ~.

Ainsi :

et :

Nous avons à former le

_produit

scalaire :

il

Ajoutons

les termes

_analogues,

nous obtenons :