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Submitted on 1 Jan 1906
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Réflexions sur la théorie cinétique des gaz
H. Poincaré
To cite this version:
H. Poincaré. Réflexions sur la théorie cinétique des gaz. J. Phys. Theor. Appl., 1906, 5 (1), pp.369- 403. �10.1051/jphystap:019060050036900�. �jpa-00241120�
369
RÉFLEXIONS SUR LA THÉORIE CINÉTIQUE DES GAZ;
Par M. H. POINCARÉ
~
§ ’i. - 1BTftODL CTI(1B .
I~a théorie cinétique des gaz laisse encore subsister bien des
points cmbarrassants pour ceux qui sont accoutumés à la rigueur mathématique ; bien des résultats, insuffisamment précisés, se pré-
sentent sous une forme paradoxale et semblent engendrer des con-
tradictions qui ne sont d’ailleurs qu’apparentes. rBinsi lâ notion d’un
système de molécules, molar ~eo~-dne~ ou 2nolehular geordnet, ne parait pas définie avec une netteté suffisante.
L’un des points qui m’embarrassaient le plus était le suivant : il
s’agit de démontrer que l’entropie va en diminuant, mais le raison- nement de Gibbs semble supposer qu’après avoir fait varier les con-
ditions extérieures on attend que le régime soit établi avant de les faire varier de nouveau. Cette supposition est-elle essentielle, ou
en d’autres termes, pourrait-on arriver à des résultats contraires au
principe de Carnot en faisant varier les conditions extérieures trop
vite pour que le régime permanent ait le temps de s’établir? J’ai voulu éclaircir la question, sinon dans le cas général, au moins dans
certains cas particuliers, plus simples que ceux qui sont t réalisés
dans la nature.
()n verra plus loin ce que sont les gaz simplifiés que j’appelle gaz à une dimension, et dont l’étude, beaucoup moins compliquée que
celle des gaz proprement dits, permet de mieux comprendre la rai-
son et la portée de certains résultats paradoxaux.
Avant d’aller plus loin, je voudrais préciser le sens de l’intégrale
par laquelle on a coutume de représenter l’entropie et faire il son sujpt certaines distinctions qui me seront nécessaires dans la suite.
Soient xi, x:!, ..., XII’ les quantités qui définissent 1’>1,il d’iiii ~.B’s- ténie matériel, et
les équations différentielles au~ynclles satisfont c~s il~~m~tlt~~~. ~«ils
Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphystap:019060050036900
370
supposerons que ces variables -7. ont été choisies de telle sorte que :
C’est ce qui arrivera si ces variables sont les coordonnées rectan-
gulaires des divers points matériels et les composantes de leurs vitesses.
-
Un sy~tl’ll1e le valeurs des variables YI’ X2’ ..., x,j constitue ce
que Gibbs appelle une yl~~zse ; l’ensemble de toutes les phases satis-
faisant à certaines inégalités s’appelle un domaine; 1 intégrale iii’i’ : :
étendue à ce domaine, est ce que Gibbs appelle l’extension en phase
de ce domaine. J’écrirai ordinairement dz au lieu du produit dx1 dX2 ... dxn .
Soit alors F~dT la probabilité pour que le système se trouve dans
un certain domaine infiniment petit- dont l’extension en phase
est dz ; alors l’entropie est généralement représentée par l’in-
. tégrale
étendue à toutes les phases.
111ors l’intégrale :
étendue à un domaine fini quelconque, représente la probabilité pour que le système se trouve dans ce domaine, d’où il résulte que l’on a :
si l’intégrale est étendue à toutes les phases. De même, si ’1 est une
fonction quelconque des variables ,1, la valeur probable de la fonc- tion Cf sera représentée par l’intégrale :
étendue a tuutes les phases.
371 Mais il faut insister sur le sens à attacher à la fonction P ainsi
qu’aux intégrales (3), (4) et (5). Nous pouvons d’abord supposer que l’on a un nombre très grand de système -.pmblables; c’est ce qui
arrive dans le cas des gaz à une dimension, où chaque molécule peut être regardée comme un pareil système ; c’est ce qui arrive
encore dans le cas des gaz ordinaires, où l’on peut envisager un grand nombre de systèmes qui ne diffèrent les uns des autres que parce que les différentes molécules du gaz y sont permutées entre
elles d’une manière quelconque. Nous pouvons supposer, de p1n~,
que les conditions initiales du mouvement sont entiur~~mcmt t cunnucs
pour chacun de ces systèmes, et qu’il en est de nlt’.1I1L’, par l’~?ll~,t’--
quent, de la situation du système à un instant quelconque. Dans ce
cas la probabilité pour qu’un système se trouve dans un domaine
donné à un instant donné n’est autre chose que le rapport du nombre
des systèmes qui se trouvent à cet instant dans ce domaine au
nombre total des systèmes. C’est ce que j’appellerai l’h~~~»~tl~~’ese dis-
continue.
Je puis supposer au contraire que, pour chaque Systems les con-
ditions initiales du mouvement ne sont pas entièrement connues, et que nous pouvons seulement évaluer la probabilité pour qu’à l’ori- gine du temps le système envisagé se trouve dans un c0rtain domaine ; la situation du système à un instant ultérieur ne sera donc pas non plus entièrement connue ; tout ce que nous pourrons faire,
ce sera d’évaluer la probabilité pour qu’à cet instant le système se
trouve dans un domaine donné très petit dont l’extension en phase
soit dT:; nous représenterons cette probabilité par ~clz et, en géné- ral, p sera une fonction continue des .1.’. Si, aii Heu d’un seul système.
nous avons, comme tout à 1 heure, un très grand nombre de sys- tèmes semblables, la probabilité pour qu’un système soit dans le domaine 1 sera :
N étant le nombre total des systèmes, et P sera encore une fonction continue des x. Cette probabilité sera donc le rapport du nmnhrc probable des systèmes qui se trouvent à cet instant dans ce d’ n. ~ i ,
au nombre total des systèmes. C’est là ce (luie**iil~p(~llei-al rr >
continue.
Soit maintenant un domaine fini D dont t’extensinn en j>1;«1;>
s--il , . Slllt Il j la probabilité pour (pie le ;j,1> ii,, -)IL (laii, 1->
372
domaine. Si le domaine 1 devient de plus en plus petit, de façon à se
réduire tinalement à un domaine 1; infiniment petit, qu’arrivera-t-il
de 1 I.~ Le résultat t B "::0 bien différent dans les deux hypothèses : dans l’hypothèse discontinue, II tendra vers zéro ou vers + oc, suivant
qu’il n’y aura pas effectivement ou qu’il y aura un système au centre
du domaine (1-. , il n’y aura pas de milieu ; -, dans l’hypothèse con-
tinue, II tendra vers la fonction continue P que nous venons de définir.
Les intégrales (3), (4), (5), sont, par définition, les limites des
sommes :
YII 1>g [I . Ô, ~I 1o, ~9llÕ,
étendues à un certain nombre de domaines, qui, à eux tous, con-
tiennent toutes les pliases possibles ; ici ~ représente l’extension en
phase d’un de ces domaines et Hô la probabilité correspondante.
Les intégrales sont les limites vers lesquelles tendent ces sommes quand les domaines deviennent de plus en plus petits.
Dans l’hypothèse discontinue, cette limite est infinie en ce qui
concerne l’intégrale (3), c’est-à-dire l’entropie, tandis que les deux autres intégrales se comportent comme des intégrales ordinaires.
Adoptons donc l’hypothèse continue. Il y aura néanmoins des cas ou la somme !Il log Il~ différera notablement de sa limite, tandis que les deux autres sommes différeront fort peu de la leur. Supposons,
en effet, que les domaines 1 soient très petits, et que cependant dans
chacun d’eux la fonction P, quoique continue, prenne des valeurs très différentes; c’est ainsi, par exemple, que, si cc est très petit, la
fonction sin- ? a quoique continue, peut prendre des valeurs très diffé-
rentes dans le domaine défini par les inégalités Xo ~ x, --f- b,
lorsque 1), quoique très petit d’une manière absolue, est grand par
rapport a (t. Dans ce cas l’expression II log il~, relative à l’un de ces domaines, pourra différer beaucoup de l’intégrale :
rendue il cc domaine. Au contraire, on aura par définition pour ce
mên1p domaine :
et, si le domaine est assez petit pour que la fonction -- Il’Y varie pas
373
beaucoup, 9rI~ sera sensiblement égal à :
Noiis sommes ainsi conduits à distinguer l’entropie grossi~ne de l’~’jzt~w~~ie f~ne.
Faisons décroitre les don>aines 1 ; si nous poussons jusqu’à la
limite, la limite de JII log iI1 sera l’entropie t¡ne: elle sera fil,.ie dans l’hypothèse continue.
Si, au contraire, nous nous arrêtons quand les domaines 5 sont
devenus assez petits pour que nos moyens d’investigation habituels
ne nous permettent pas de discerner deux phases intérieures ci un
même domaine, nous aurons l’ent1.op’ie C~)’OSS2~’)’P. C’est l’entropie grossière qu’on envisage habituellement en physique.
L"entropie ~oossicre est toujours plus petite que l’entropie fine.
Si en effet nous divisons un domaine ~ en deux domaines par- tiels l j t et Õ2’ et si les probabilités correspondantes sont I11 pour le domaine total, II jlj et I1~Õ~ pour les domaines partiels, on aura :
et, par conséquent :
La somme En log 110 va donc toujours en augmentant quand on
subdivise les domaines 0.
On sait que l’entropie grossière des physiciens va toujours en diminuant, au nioiiis quand on laisse au régime le temps de s’~.~tu>>l~j°.
Au contraire nous allons voir que l’entonpie fne ~tfe~~~zc~-e toul~~r~~w
constanle.
Et en effets la fonction P satisfait aux équations din’crt’nticlles cvi- demment équivalentes à cause de la relation (2) :
soit alors
374
l’entropie fine ; on aura : -.
ou
ou à cause de (2) :
L’intégration par parties montre qne cette dernière intégrale est
nulle. °
C. Q. F. D.
Les propriétés de l’entropie fine diffèrent donc beaucoup de celles
de l’entropie grossière. On verra plus loin le parti qu’on peut tirer
de ce fait.
§ 2. LE PROBLEME DES PETITES PLANÈTES.
Nous commencerons par traiter un problème analogue à celui de
la théorie des gaz, mais beaucoup plus simple.
Supposons un très grand nombre de petites planètes décrivant
des orbites circulaires (sans excentricité ni inclinaison, ni sans aucune perturbation bien entendu) ; soit lla longitude de l’une d elles,
et w sa vitesse angulaire, de telle sorte que :
De cette façon l’extension en phase est représentée par l’inté-
grale
Il s’agit de montrer qu’au bout d’un temps suffisamment lonn les longitudes de ces petites planètes seront uniformément distribuées.
Soit en effet, à l’instant 0,
le nombre des petites planètes dont la longitude est entre l,, et 1, + cll~,
et la vitesse angulaire entre ú) et w -r- 1u. Le nombre des petites planètes étant supposé très grand, nous pourrons traiter ce cas
comme si dl, et 67co étaient des différentielles infininltlnt petites et f
une fonction continue.
Soit alors
une intégrale égale au nombre des planètes multiplié par la valeur ~~aoyenne de cos (nll -~- h’~. Il s’agit de démontrer que J tend
vers zéro quand t croît indéfiniment. Or nous avons : -.
Nous avons donc, en intégrant par parties par rapport à eu : :
Or
df
est fini, puisque nous supposons la fonction f continue, dedw
sorte que J tend vers zéro quand t augmente.
(;. Q. F. D.
Occupons-nous de concilier ce résultat avec les lois ordinaire de la Mécanique. Ces lois nous apprennent d’abord que, dans certaines
conditions, si un système a passé par un état. il repassera une infi- nité de fois infiniment près de cet ctat. Il’>,t 1>1>ii c’’ qut mwiv ~~ 1.i : supposons que toutes les vitesses angulaires w soient otmncnsu-
rables entre elles et qu’au temps 0 toutes les longitudes (1(~, l,) soient
nulles et toutes les planètes en conjonction. Suit s la commune
mesure de toutes les vitesses w.
, ~ ~ ,
Alors aux époques "-~‘ ~ ~:‘ ~ ~ ~ ~ ~ toutes les planètes se retrouva nnt t
E E
de nouveau en conjonction.
Si les w ne sont pas commensurables, la conjonction de tentes les planètes ne peut être réalisée qu tine fois d’une ~v~~ ~Jll’BI’, mais la théorie des fractions cuutinues nous montre qu elle le sera
376
une infinité de fois avec une approximation aussi grande qu’on le
veut.
Si les planètes sont très nombreuses et que les vitesses angu- laires u soient commensurables, leur commune mesure 5 ne pourra être que très petite, de sorte que l’intervalle de temps qui s’écoule
~
entre deux conjonctions consécutives et qui est =’= sera très grand. De même, si les o ne sont pas commensurables, l’intervalle de temps qui s’écoulera entre deux conjonctions u~~~~~~j~oé.s consécutives sera
d’autant plus grand que les planètes seront plus nombreuses et, d’autre part, que l’approximation exigée sera plus grande.
L’analyse qui précède montrerait que J tend toujours vers zéro et
par conséquent qu’une conjonction même approchée ne peut se pro- duire qu’une fois ; mais c’est parce que cette analyse suppose les
planètes ir~ fi~zi~~tent nombreuses. Quelque nombreuses qu’elles soient,
il y aura un retour de la conjonction ; mais, comme le délai au bout duquel ce retour doit se réaliser croît avec le nombre des planètes,
il devient infini quand ce nombre est lui-même regardé comme
infini. Il n’y a donc pas de contradiction.
Venons il ce qui concerne la réversibilité. Si la longitude initiale
avait été 2013 ~ au lieu de ’0, la longitude à l’époque - t aurait été :
Envisageons donc une fonction paire de l, et par exemple faisons
Iz = o dans l’expression de J, de telle façon que
Formons d’autre part une autre fonction J’ en posant : 1
Il est clair d’après ce qui prl’ct’de que
de sorte que la fonction J’ repassera dans l’ordre inverse par les mèmes phases que la fonction J. C’est en cela que consiste la réver- sibilité dans le problème qui nous occupe.
Cette réversibiHtc est-elle en contradiction avec les résultats que
nous venons d’obtenir ?
377 Il suffit de revernir à l’expression de J donnée plus haut et qui con-
tient t au dénominateur. Nous voyons que J tend vers zéro aussi bien quand t tend vers - m que quand t tend vers + x .
La courbe de J en fonction de t serait de la forme suivante avec un pointement au milieu et la courbe s’écartant très peu de J = o, sauf pour t très vcisin de zéro. La symétrie de cette courbe nous
montre la réversibilité, ce qui est en concordance avec ce qui pré-
cède. Si les molécules, au lieu d’être infiniment nombreuses, sont seulement très nombreuses, il y aura plusieurs pointen1ent~. séparés
par des intervalles où la courbe s’écarte très peu de J _ _ ~ ~ : ; niais ces
intervalles sont tellement longs que cela revient pratiquement au
même que s’il n’y avait qu’un seul pointement. Ces longs intervalles seront ce que j’appellerai le te1nps de r~elmco.
Au lieu de former la fonction J à l’aide de l’expression cos (»il + 7~,
nous pouvons la former à l’aide d’une fonction quelconque de l et
de ce que nous appellerons F (1, (ü) et qui sera assujettie seulement
aux conditions
on a alors :
supposons par exemple :
l’intégration par parties nous donnera encore :
de sorte que J tendra encore vers zéro pour t - ± r_ ~ et que la forme
générale de la courbe restera la même. Il en sera de même si nous
378 prenons:
Mais il peut se faire que le pointement se trouve déplacé. Suppo-
sons, par exemple. que les planètes se trouvent à peu prés en con- jonction à l’époque zéro, de telle façon que f ’1,, w) soit beaucoup plus grand pour 10 voisin de zéro que pour les autres valeurs de ’0: -~
alors, si nous prenons I1 (J, « j = cos le pointement aura lieu
pour t = o ; mais, si nous prenons
F (l, ~~~) = cos inl cos r~n,~ ~ -~- sin 1nI sin oz~,~ ~,
le pointement aura lieu pour t - -.. Si donc t est très grand, la répartition des planctes parait uniforme, ce qui veut dire que J est sensiblement nul, quelle que soit la fonction F (l, w), pourvu t~zcte f~~is
que cetie fonction s~rtia fâ.v.~w « lcc conditions suivante :
Il faut que la dérivcc dF soit finie et par conséquent petite par
rapport à t.
1/uniformité n’est cependant qu’apparente, puisque J ne serait plus
nulle si la fonction F ne satisfaisait pas à cette condition.
Ainsi la distribution paraîtra uniforme et sans tendance systéma- tique pour un oeil grossier; il n’y aura pas d’or~ar~i.s~ation apparente.
Et cependant il y aura une organisation latente, car si nous prenons T-~t,et
F (1, (ù) - inl cos ~nc~~ ~ + sin lnl sin mft)7,
nous voyons que J n’est pas nulle. Les planètes qui, à l’époque zéro,
se trouvaient sensiblement en ligne droite, se trouvent maintenant réparties sur une spirale, mais les spires de cette spirale sont trop
serrées pour pouvoir être discernées.
Nous pouvons encore présenter la chose sous un autre biais. Soit N le nombre des planètes, telles que 1 et w satisfassent à un certain
nombre d inégalités :
Considérions maintenant les inégalités inverses, c’est-à-dire les
inégalités
et suit B le nombre des planètes qui y satisfont.
Nous savons qu’à l’instant zéro les planètes étaient sensiblen1ent
en conjonction. Il résulte de ce qui précède qu’à l’instant t, si t est
379
positif et assez grand, la valeur probable de N sera égale à celle
de pourvu que les dérivées de ~l soient finies et petites par rap-
port à 1.
Mais il ne faudrait pas en conclure qu’un état ~l, ~ ~ est précisé-
ment aussi probable que l’état ~ ~~ z-~n-.~N ~ i,- 1, c~) ; car légalité des
valeurs probables de N et de ~’ ne subsiste pas si les fonctions (I)¡
sont choisies de façon que leurs dérivées soient du même ordre que t . Nous reviendrons sur ce point.
§ . - LE GAZ A UNE DIMENSION.
On peut passer immédiatement du problème précédent à un cas
se rapprochant déjà un peu plus de la théorie cinétique des gaz.
Imaginons un gaz formé de molécules enfermées dans un vase en
forme de parallélipipède rectangle. Toutes les trajectoires de ses
molécules sont initialement parallèles entre elles et à lune des
arctes de ce parallélipipède que noms prendrons pour axe des JJ.
Dans ces conditions les molécules ne se choqueront jamais, elles ne
rencontreront jamais les parois du vase, sauf celles qui sont perpen- diculaires à l’axe des x, et, quand elles rencontreront ces dernières,
elles les frapperont normalement, de sorte que leurs trajectoires, après réflexion, seront les mêmes qu’avant la réflexion, mais parcou-
rues en sens contraire.
Nous pouvons supposer aussi que les centres de toutes les molécules parcourent une même droite qui sera l’axe des x ; dans ce
cas, elles se choqueront, mais leurs chocs mutuels ne changeront
rien à l’état du gaz, parce qu’après s’être choquées elles échange-
ront leurs vitesses, chacune d’elles prenant la vitesse qu’avait l’autre
avant le choc, de sorte que finalement tout se passera c,iiiiii> ,1 , nu lieu de s’être clioquées, elles s’étaient traversées. Les deux images
sont équivalentes ; la seconde nous donne ce qu’on pourrait appeler
un ya ~ cz une diînension.
Soitalors
1 , ~l~ n ~ parois sur lesquelles S’effectue la réfle~ion ; soit x l’abscisse d’une molécule quelconque; nous allons dénnirba l~ugt~~-~: ~ . l’t t pour cela nous ferons la convention suivante : à un mèiiie point situé à l’intérieur du vase, nous pourrons attribuer indifféremment la longi-
380
tude 3-- égale à son abscisse ou la longitude - .1". ou encore ~7’: in ~~-, ou enfin 2Rr £ ~·~. Un point sera entièrement déterminé par sa
longitude et par la condition que son abscisse soit comprise entre
zéro et r.
Cela posé, la longitude 1 d’une molécule sera égale à son abscissex,
si cette molécule n’a encore subi aucune réflexion depuis l’instant
zéro ; on aura l = - x si elle a subi une réflexion sur la paroi ,. _-__ o :
on aura 1 = 2r - .z~ si elle a subi une réflexion sur la paroi ~~ -- -,
Plus généralement on aura après un nombre quelconque de
réf1exions :
e étant égal à ± i ,et K à un entier, et de telle façon que e- change de signe a chaque réflexions, et qtie K ne change pas après une réflexion
sur .; .- o et se change en h - ~ après une réflexions sur x ~ 7:;
E étant la valeur de cette quantité avant la réflexion.
Dans ces conditions, comme la vitesse d’une molécule quelconque
reste constante en grandeur ut change de signe à chaque réflexion,
la dérivée
reste constante pour chaque molécule.
(Il va sans dire que, si j’adopte la seconde image, celle du gaz à
une dimension où les molécules échangent leurs vitesses quand elles
se clioquent, la proposition précédente ne sera vraie que si l’on con-
vient d’attribuer à cliaque molécule une individualité, qu’elle échan-
gera avec celle de sa voisine au moment du choc, de la même façon
qu’elles échangent leurs vitesses.) .
L’extension en phase est encore représentée
par ~~trl~~.
Les lois du mouvement de nos molécules sont donc les mêmes que celles des plan tes dans le paragraphe précédent; il est inutile d’y revenir ; nuus voyons entre autres choses que, quelle que soit la dis- trihutton initiale, au bout d’un temps suffisamment long le gaz
paraîtra l~~~rrn~~nue.
Blais jll’-,qll III i BOUS avons supposé que les molécules gazcus(’s n’étaient soumises à aucune forre extérieure. Il convient maintenant d étudier l’jntluence d’une pareine fcrce. Supposons que chaque
molécule soit soumise à une force extérieure de telle façon que
