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Submitted on 1 Jan 1903
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Note sur la théorie cinétique des gaz
A. Liénard
To cite this version:
A. Liénard. Note sur la théorie cinétique des gaz. J. Phys. Theor. Appl., 1903, 2 (1), pp.677-686.
�10.1051/jphystap:019030020067701�. �jpa-00240815�
677
2q qui se trouve à l’état neutre à l’intérieur du disque, n’est pas accessible à l’expérience ; que ce glissement soit voisin de N, très petit
ou nul, le champ magnétique créé par la rotation du disque chargé
reste le même.
L’expérience confirme, aux erreurs près, les prévisions de cette
théorie qui peut être résumée de la façon suivante :
La charge d’un disque électrisé, tournant autour de son axe n’est . soumise que : d’un côté, aux forces de frottement dues au déplace-
ment de la charge par rapport à la matière ; de l’autre, aux forces
dues au champ électrique total d’origine, tant électrostatique qu’élec- trodynamique ; ces dernières se réduisent aux forces d’inertie électro-
magnétique, si le disque n’est soumis qu’au champ électrostatique et
à la variation de flux magnétique provenant de sa propre charge.
Lorsque les forces d’inertie électromagnétique sont nulles, l’entrai-
nement est complet.
Les équations (3) et (4) peuvent être facilement intégrées si l’on
suppose la charge Q sinusoïdale. Les valeurs de 1 ainsi calculées coïncident autant qu’on pouvait l’espérer avec les résultats donnés par l’expérience.
V. - Conclusions. - Les nombreuses séries d’expériences que
j’ai faites dans des conditions très différentes ont montré sans au- cune exception que l’effet magnétique d’un courant de convection est identique, aux erreurs d’expérience près, à l’effet magnétique
d’un courant de conduction équivalent.
Dans mes expériences, la présence des diélectriques est sans au- cune influence ;
La présence des conducteurs produit des effets identiques dans les
deux cas.
J’ai résumé plus haut les résultats relatifs à l’entraînement de la
charge.
NOTE SUR LA THÉORIE CINÉTIQUE DES GAZ ;
Par M. A. LIÉNARD.
Le problème fondamental de la théorie cinétique des gaz peut s’énoncer comme il suit :
Représentons les composantes des vitesses de chaque molécule
Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphystap:019030020067701
678
par les coordonnées d’un point, dit point de vitesse. I’armi les mo- lécules gazeuses comprises dans l’unité de volume, celles dont le point de vitesse est à l’intérieur d’un élément de volume dû) seront en nombre proportionnel à dw, soit fdw. Comment f varie-t-il avec
le temps, en supposant connues ses valeurs à une époque initiale?
’
Reportons-nous à la solution de ce problème telle qu’elle est
. exposée par Boltzmann. 1).
Nous supposerons, pour simplifier, qu’il n’y a qu’une seule espèce
de molécules, qu’aucune force extérieure n’agit sur elles et que le gaz se trouve à l’origine et reste par la suite dans des conditions
identiques en tous les points, de telle sorte que la répartition des
vitesses n’est modifiée que par les chocs des molécules et nullement
par la diffusion résultant de leur mouvement de translation. f ne
dépendra donc que du temps et des coordonnées ç, ~, ~ de l’élé-
ment dw.
La méthode de calcul employée consiste à chercher la relation entre les valeurs de f aux temps 1 et t + dt, autrement dit la relation entre f eu f -E- d f, ou encore entre y et 2013’ On aura ainsi l’équation
clt différentielle du problème.
Le nombre fdw varie pour deux causes :
1° Un certain nombre n4 de molécules ayant la vitesse
vont rencontrer d’autres molécules et changer de vitesse. Il en ré- sultera pour fdw une diminution précisément égale à n,.
2° Il arrivera au contraire que, dans le choc de deux molécules ayant respectivement les vitesses U’ et U ~ , une d’elles prenne la vitesse U. Si le fait se produit n~ fois, telle sera l’augmentation correspon- dante de
On est ainsi conduit à rechercher les nombres n, et n2 des chocs de chaque espèce qui se produisent par unité de volume dans lin- tervalle de temps de t à i + di.
Le calcul de n1 est très simple. Le nombre de chocs contre des
. (i) BoLTZMANN, Lefons théorie des gaz, traduites par Gallotti, ch. 3
et 4.
(2) Pour abréger, nous dirons souvent : « molécules ayant la vitesse U », au
lieu de : « molécules dont le point de vitesse est à l’interieur de l’élément de volume clw ».
679 molécules d’une vitesse déterminée U~ est proportionnel au coefficient r, relatif à cette vitesse et au volume traversé dans le mouvement relatif des molécules U et U,, par les sphères d’action de ces molé- cules. Tous calculs fait, ce nombre est : ,
s étant le rayon de la sphère d’action et 9 la vitesse relative. Inté-
grant par rapport à dw, , il vient :
d’où il résulte, dans l’expression p de ot un premier terme négatif:
Quant à n2, son calcul est plus laborieux, et, sans le reproduire,
nous désignerons simplement par + « le terme positif qu’il donne
pour . ’df§ Ft °*
Recommençons maintenant tous nos raisonnements, mais en con-
sidérant l’intervalle de temps de t t. Cette fois, c’est le
nombre n’ de chocs ayant produit une vitesse U qu’il est facile
d’évaluer.
Si une molécule, de l’instant t - dt à l’instant t, a acquis par choc la vitesse U, nous devons, en remontant sa trajectoire et celles des autres molécules, trouver qu’il y a eu rencontre. Nous sommes ainsi conduits à faire les mêmes calculs que nous avons faits précédemment
pour avoir n , et il en résultera pour l’expression de 2013 un terme positif:
De même, toute molécule ayant à l’époque t- dt la vitesse U et ne
l’ayant plus à l’époque t, a dîz changer de vitesse par suite d’un choc, et, en remontant comme tout à l’heure les trajectoires de t à
t - dt, nous trouverons que deux molécules ayant à l’instant t les vitesses U’ et U ~ ¡ se sont rencontrées et qu’avant la rencontre une
d’elles avait la vitesse U. Il est évident qu’en effectuant le calcul
680
on trouvera un nombre n § de ces rencontres précisément égal à la
valeur obtenue précédemment pour n , d’où, pour p ct un terme néga-,
tif - oc.
On voit donc que, suivant que l’on considère l’intervalle de temps
de t à 1 + dt, ou de à t, on trouve pour des valeurs égales
et de signe contrccire.
Discutons ces résultats contradictoires et voyons quelles conclu-
sions il sera possible de tirer.
Je remarquerai tout d’abord qu’il est impossible que l’un des deux résultats soit vrai et l’autre faux, car les hypothèses et les
raisonnements sont identiques dans les deux cas. Il n’y a donc que deux hypothèses possibles :
A. Les deux résultats sont exacts simultanément. Si les valeurs trouvées ne sont pas nulles toutes les deux, il en résulterait que la fonction f jouirait de la propriété singulière que f(t +
aurait une limite bien déterminée en valeur absolue lorsque h tend
vers zéro, mais de signe variable suivant que h tend vers zéro par valears positives et négatives, et cela pour toutes valeurs de t. Il est évident qu’il ne peut exister de fonction jouissant d’une telle
sin gularité.
Mais les deux expressions trouvées pourraient être nulles identique-
ment. On pourrait penser en effet que, dans un système sans organi-
sation moléculaire (molecular-ungeordnet de Boltzn1an), il n’y a aucune
raison pour que les chocs fassent croître f plutôt que de le faire décroître. Mais Boltzmann démontre (chap. i, § 5) que la valeur trouvée pour f c t ne peut être nulle pour toutes valeurs de 1, que si l’on a la loi de répartition des vitesses de Maxwell (1). Cette dis- tribution serait donc la seule qui pourrait être considérée comme
étant sans organisation moléculaire, c’est-à-dire comme étant uni-
quement l’effet du hasard. Or la loi de Maxwell
contient 4 constantes arbitraires, mais en apparence seulement,
(1) La démonstration de Boltzmann peut paraitre incomplète sur certains points, mais il est facile de la rendre complètement rigoureuse.
681
car Ço, ~o sont nuls si le gaz est au repos, et K dépend du nombre
total de molécules. On serait ainsi conduit à admettre que le comble du hasard pour la fonction f serait d’avoir une valeur unique. Voilà
un hasard qui serait tout particulièrement bien organisé.
Il est même facile de faire voir que la distribution de Maxwell, supposée exister à un moment donné, ne pourrait pas subsister.
Il n’y a pour cela qu’à calquer un raisonnement fait par M. Lipp-
mann (1), précisément à propos de la théorie cinétique. n1 et n~ repré-
sentant toujours les chocs de chaque espèce dans un temps t, les raison- nements montrent simplement que, dans le cas de la répartition de Maxwell, les chocs sont également probables. Par suite, conformément
au théorème de Bernouilli, lorsque n, - n2 croît indéfiniment en même
temps que t, le rapport 2013* tend vers l’unité; mais la différence n1 - n2 n2
ne tend pas vers zéro, et non seulement elle n’est pas infiniment petite,
mais elle va en croissant et est de l’ordre de grandeur de + n2 ou
encore de 1l1. Les valeurs de f ne resteront donc pas constantes et la distribution primitive ne pourra subsister.
73. Puisque nous venons de voir que notre première hypothèse est impossible, nous sommes obligés d’admettre celle-ci : les deux va-
leurs contradictoires trouvées pour ¥ p t t sont inexactes toutes les deux,
ce qui implique l’existence soit d’hypothèses inadmissibles, soit de
fautes de raisonnement. Voici les points qui nous paraissent défec-
tueux : _
10 La fonction f n’existe que par convention. A un instant donné,
les points de vitesse forment un ensemble discontinu, analogue à un
tas de sable. Définir f comme représentant le nombre de points de
vitesse par unité de volume, c’est dire simplement que l’intégrale
f (dû) étendue à un volume quelconque diffère peu du nombre de
points de vitesse compris réellement dans ce volume. f ne repré-
sente donc qu’une valeur moyenne, non susceptible d’une définition
mathématique précise. Une fois qu’on s’est fixé les valeurs de f’ à un instant 1, les valeurs de f’ .à l’instant 1 + dt restent jusqu’à un cer-
tain point arbitraires. Il en est donc de même de f’ - f, et, suivant le mode de calcul employé, il n’est pas étonnant que l’on trouve une
(1) ConOl’ès de Physique de ~.900, t. l, p. 549.
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valeur ou une autre, ou au contraire qu’on puisse avoir la même
/*
valeur de f’ - f pour des valeurs de dt différentes. La quantité r’- t
que l’on se propose de calculer est indéterminée. Pour avoir une dé- termination rationnelle de (2013 ? i1 faudrait considérer un intervalle de
lt
temps p fini et définir - par ia condition diffère peu de
t p q
f
tto
((t1) - f (to). Et encore cela laisse-t-il un certain arbitraire pour p ).ol 1
Les nombres de chocs n, et n? sont forcément des nombres en-
tiers. Or les expressions trouvées pour n1, n2 contiennent en facteur la différentielle dt, et, quelque grands que puissent être f et foi,
comme ils sont nécessairement finis, les expressions trouvées pour n1 et n2 sont infiniment petites. Ici encore on remplace un phéno-
mène discontinu (la répartition des chocs dans le temps) par un phé-
nomène continu, et il peut en résulter des indéterminations et des
erreurs.
3° Mais ce qui paraît le plus défectueux dans les raisonnements,
c’est l’application que l’on fait de la théorie des probabilités. Pour
obtenir n 1 , on fait le raisonnement suivant : les fdw des molécules (ou
pour mieux dire leurs sphères d’action) décrivent dans leur mouve-
ment relatif par rapport aux molécules U~ 1 un certain volume dV.
Or il y a (1 dÛ)1 molécules U~ 1 par unité de volume; donc, dans
le volume dV,, il y en a et ce produit représente
Or on n’a là qu’une valeur probable et non la valeur vraie du nombre des molécules U, contenues dans le volume dV, et,
comme dV est infiniment petit, l’écart relatif entre le nombre vrai, nécessairement entier, et le nombre probable peut être considérable.
Il en est de même pour n2. Quant à la différence n4 - n, qui intervient
seule dans le résultat, son erreur relative sera encore plus grande,
d’autant plus que nt et n différeront moins de l’un et de l’autre, c’est- à-dire que l’on se rapprochera plus de la loi de Maxwell. C’est ce que
nous remarquions déjà tout à l’heure j’ ) .
(i) Essaierait-on de dire que, des deux v aleurs trouvées pour c’Cà un même
instant t, l’une représente la valeur probable pour l’avenir, l’autre la valeur
probable pour le passé, et qu’ainsi il n’y a aucune contradiction? Je répondrai
que, lorsque l’état du système est connu à un instant quelconque t, cet état se
683 On peut signaler encore d’autres imperfections dans le raisonne-
ment : par exemple on suppose implicitement qu’une molécule n’éprouve jamais plus d’un choc dans un intervalle de temps dt ; mais cette omission ne peut avoir qu’une importance secondaire et
ne saurait expliquer la discordance.
M. Boltzmann soulève lui-même (§ 6, p. 4i) une objection présen-
tant une grande analogie avec la nôtre. Après avoir démontré qu’il
résulte de la valeur obtenue pour p Ili t qu’une certaine fonction H va t
toujours en diminuant, il remarque que si, à un moment donné, on
renverse exactement la vitesse de chaque molécule, le système va
repasser en sens inverse par tous ses états précédents, et la fonction
H sera maintenant constamment croissante.
M. Boltzmann se tire d’affaire de la manière suivante : o La sup-
position faite antérieurement que la répartition ne présentait aucune organisation moléculaire n’est pas réalisée ici, puisque, après l’in-
version exacte de toutes les vitesses, chaque molécule ne heurtera
pas les autres conformément aux lois des probabilités, mais suivant
une loi très particulière et qu’on peut calculer d’avance » . A quoi
M. Brillouin répond dans une note (p. ~.9~) : « Il m’est impossible, en particulier, d’admettre avec M. Boltzmann que le mouvement soit
múlecular-ungeordnet à l’aller et devienne molecular-geordnet après
le renversement des vitesses, par le seul fait que l’aller aura fait con-
naître la succession des chocs pour le retour. »
La manière dont nous avons présenté l’objection est encore plus frappante, car c’est pour le mouvement d’aller lui-même que nous obtenons le changement de signe de lâ dérivée et par suite le chan-
gement de sens de la variation de H. Cette fois il est impossible
d’admettre qu’un même mouvement puisse être à la fois molecular- geordnet et molecular-ungeordnet.
Pourrait-on faire disparaître la contradiction en tenant compte
trouve complètement déterminé pour tout autre instant t.,, aussi bien dans le fu- tur que dans le passé. Si nous connaissons les états antérieurs qui ont défilé
devant nos yeux et pas les états futurs, c’est uniquement parce que nous ne
nous somîî2es pas donné la peine de calculer ces derniers; mais cela ne change
rien au fond des choses.
On peut encore répondre ceci : ce qui importe, ce n’est pas la valeur pro-
bable, mais la valeur vraie de 1, , et la valeur probable ne pourrait intéresser qu’autant qu’elle se rapprocherait beaucoup de la valeur vraie, et il ne peut en
être ainsi s’il y a plusieurs valeurs probables très diff’érentes.
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dans les calculs de ce que les molécules sont réparties d’une manière
non uniforme, c’est-à-dire, suivant l’expression de 1VT. Brillouin, en
faisant simultanément l’étude de la probabilité des vitesses et des
positions des molécules Peut-être bien ; mais il ne pourra plus alors
exister de fonction H variant toujours dans le même sens Jet capable
de représenter l’entropie du gaz, de sorte qu’un des résultats les
plus importants de la théorie de Boltzmann disparaît complètement.
En outre, s’il est possible d’obtenir ainsi des résultats bien détermi- nés et non contradictoires en eux-mêmes, rien ne prouve que les résultats correspondront à la réalité. Le raisonnement de M. Lipp-
mann s’applique encore et montre au contraire que la différence entre les résultats du calcul et la réalité doit aller en s’accentuant.
La conclusion qui se dégage de toute cette discussion est qu’on s’expose à de graves erreurs en appliquant la théorie des probabili-
tés à des problèmes de mécanique où tout est déterminé dès que les conditions initiales sont données, et nous estimons en particulier que tous les essais faits pour transformer, en se basant sur la théorie des probabilités, en mouvements irréversibles des mouvements essen-
tiellement réversibles de leur nature, sont vains et ne reposent pas
sur une base sérieuse.
Notre conclusion s’applique tout aussi bien aux cas où l’on sup- pose que les molécules agissent entre elles à distance (que le rayon d’action soit excessivement petit ou clu’il soit comparable à l’écarte-
ment des molécules). Prenant alors le mot « théorie cinétique » dans
son acception la plus large, nous sommes conduits à nous poser cette question :
’routes les théories cinétiques sont-elles condamnables et doivent- elles disparaître de la science?
Après la découverte du prin.cipe de l’équivalence, on aurait pu croire que tous les travaux de Carnot sur les rendements des cycles thermiques étaient à rejeter, puisqu’ils avaient pour base le principe
inexact de la conservation du calorique. Cela eût été un jugement superficiel et Clausius a montré qu’il y avait peu de chose à changer
au raisonnement de Carnot pour concilier sa théorie avec le principe
de 1 équivalence. L’oeuvre de Carnot n’était pas celle d’un théoricien inventif, mais celle d’un physicien ayant un sentiment proiond de la
réalité. C’est ce qui lui avait permis d’arriver malgré tout à des
résultats exacts et d’une haute importance.
Une circonstance analogue peut se présenter pour la théorie ciné-
685
tique, dont un certain nombre de résultats sont conformes à l’expé-
rience. Il est vrai que ses partisans ont été plus d’une fois contraints
d’accepter les modes de calcul les moins rigoureux, et cela ôte beau-
coup d’intérêt à la concordance obtenue entre les résultats de la théorie et l’expérience. Pourtant on ne saurait nier que la théorie
cinétique n’ait provoqué des travaux intéressants et n’ait permis de
grouper d’une manière méthodique des découvertes récentes(’). Cette
théorie a donc été utile et n’a pas cessé de l’être. Cela seul suffirait à écarter une condamnation, même s’il était prouvé qu’il ne faut
chercher dans cette théorie qu’une représentation des phénomènes, commode, mais dénuée de toute réalité objective.
Aussi, sans vouloir entrer dans une discussion plus complète, et qui a déjà été faite par des savants émments, contentons-nous de tirer de notre étude la seule conclusion qu’on puisse raisonnablement
en déduire :
Si l’on veut établir rationnellement une théorie cinétique, il faut
’
changer la base de tous les raisonnements et renoncer à tirer de la théorie des probabilités ce qu’elle ne peut donner. A cette base inexacte il faudra substituer une base nouvelle, un postulat, c’est-à-
dire une proposition n’ayant pas un caractère" de nécessité logique,
mais dont l’introduction permettra de déduire de la théorie, d’une façon rigoureuse, des résultats conformes à l’expérience.
Ce pourra être un postulat purement mécanique (2) concernant les conditions initiales ou l’existence de mouvements cachés ou tenant lieu de la connaissance de ces conditions ou de ces mouvements. Ou bien plutôt ce sera un postulat physique, faisant intervenir d’autres
qualités de la matière que les propriétés mécaniques (entre autres les propriétés électromagnétiques des corpuscules électrisés et de
l’éther). Malheureusement, dans l’état actuel de nos connaissances,
rien ne vient guider pour le choix à faire, qui paraît des plus arbi-
traires.
Montrons, par exemple, comment les conditions initiales peuvent intervenir : lorsque l’on étudie le champ électromagnétique pro- duit par une charge électrique-en mouvement, on trouve que l’onde
électromagnétique entraine à l’infini une quantité d’énergie essentiel-
(1) Voir, par exemple, LANGEviN, Ionisalion des gaz (Annales de cjazmie et de
physique, 7e série, 19U3, t. XXVIII, p. 289 et 433).
(2) Voir SELIGMANN-LuI, Note sur une interptétation mécanique des principes de
la thermodynamique (Annales des de Mines, Mines 10, 10" série, série, t. t. II, II, 1902, 1902, p. p. 144).144).
686
lement positive, quel que soit le mouvement de la charge, résultat surprenant au premier abord, car le phénomène étudié est réver-
sible.
Un examen rapide suffit à montrer que l’irréversibilité a été intro- duite par les conditions initiales : à l’origine des temps, on suppo- sait tout au repos, sans onde électromagnétique venant de l’extérieur.
S’il n’en était pas ainsi, on pourrait donner à la charge un mouve-
ment tel qu’elle absorbât l’énergie transmise par l’onde venant de
l’extérieur, et le résultat primitif ne subsisterait plus. On conçoit que les phénomènes irréversibles de la thermodynamique, où il y a non
pas disparition, mais dissipation de l’énergie, pourraient s’expliquer
de même par des conditions initiales appropriées, ayant un caractère
très général ( ~ ) .
3 juin 1903.
REMARQUES SUR LA MÉCANIQUE GÉNÉRALE ET LA MÉCANIQUE ÉLECTRIQUE ;
Par M. P. DUHEM.
Les résultats fondamentaux auxquels M. Bouty est parvenu dans
ses recherches « sur la cohésion diélectrique des gaz (2) » me suggèrent
entre la Mécanique générale et la Mécanique électrique quelques rapprochements que je voudrais soumettre aux lecteurs du Journal de Physique..
Prenons d’abord un système soumis aux lois de la Mécanique générale fondée sur la Thermodynamique ; pour mettre notre pen- sée en évidence sans recourir à de longues formules, supposons que
ce système dépende seulement de la température absolue et d’une
variable normale x. Ce système est soumis à une action extérieure X e ;
.... , A ,
SI i est le potentiel interne, la quantité xpeut être nommée l’action intérieure; la somme peut être regardée comme
l’action réelle totales qui sollicite le système.
Si, pour écrire l’équation du mouvement de ce système, on faisait
usage du seul principe de d’Alembert, on obtiendrait l’équation
(1) Voir aussi SELIGlBIANN-LuI, loc. cit., ~ XI et XII.
{2) E. BOUTY, SUl’ la cohésion diélecl1’ique des gaz, voir ce vol., p. 401.
