PCSI 2 Théorie cinétique du gaz parfait
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THEORIE CINETIQUE DU GAZ PARFAIT
I Métallisation d’un miroir
La métallisation de la surface en verre d’un miroir se fait par évaporation d’aluminium sous pression réduite de gaz résiduel. La condition pour que la métallisation soit correcte est que le libre parcours moyen L des atomes d’aluminium vaporisés soit supérieur à la distance d = 1,00 m entre le miroir et le filament de chauffage servant à la production de vapeur d’aluminium.
On se propose d’étudier l’influence de la présence du gaz résiduel dans l’enceinte sur le libre parcours moyen des atomes d’aluminium.
On rappelle l’expression de la pression d’un gaz parfait en équilibre à la température T d’après la théorie cinétique des gaz : 𝑃 =!"𝑛𝑚𝑣∗$, où n est la densité particulaire de molécules, m est la masse d’une molécule et v* est la vitesse quadratique moyenne des molécules.
1) Calculer v* pour une vapeur d’aluminium à la température T1 = 1,40.103°C en considérant que cette vapeur est un gaz parfait monoatomique. On donne MAl= 27,0 g.mol-1 et R = 8,31 J.K-1.mol-1.
2) Pour évaluer le libre parcours moyen des atomes d’aluminium, c’est-à-dire la distance moyenne parcourue par un atome d’aluminium entre deux chocs consécutifs avec des molécules de gaz résiduel, on assimile le gaz résiduel de l’enceinte à un ensemble de sphères fixes de rayon rg, de densité particulaire n’ et les atomes d’aluminium vaporisés à des sphères de rayon ra se déplaçant en ligne droite à la vitesse moyenne v.
a) Montrer que le libre parcours moyen est égal à 𝐿 =%&'! , où 𝜎 = 𝜋)𝑟(+ 𝑟),$.
b) Le gaz résiduel, assimilé à un gaz parfait, est à la pression P’ et à la température T2. En déduire une expression de L en fonction de P’, T2 et s.
Application numérique : calculer L si P’ = 1,00 Pa et T2 = 20,0°C ; on considère que les rayons des sphères sont du même ordre de grandeur : ra = rg = 130 pm ; k = 1,38.10-23 J.K-1. Conclusion.
Réponse : v* = 1,24 km.s-1 ; L = 19,0 mm.
II Néon
On considère un gaz parfait monoatomique, le néon, de densité atomique volumique nv, sous une pression P = 1,00 atm et une température T = 273 K. On assimile les atomes de néon à des sphères dures de rayon RNe = 1,60.10-10 m. La masse molaire du néon s'élève à 20,2 g.mol-1.
1) Calculer la densité atomique volumique nv.
2) Donner l’ordre de grandeur du libre parcours moyen L et la fréquence de collision ν.
Données : R = 8,31 J.K-1.mol-1 ; k = 1,38.10-23 J.K-1.
Réponse : 2,69.1025 m-3 ; 116 nm ; ≈ 5.109 Hz.
III Effusion gazeuse
Soit un récipient constitué de deux compartiments de même volume V maintenus à la température T. A l’instant t = 0, une mole d’un gaz parfait remplit le compartiment (1), le compartiment (2) est vide et on perce un petit trou de section s entre les deux compartiments.
On note N1 et N2 les nombres de molécules dans les compartiments (1) et (2).
On adopte pour le gaz parfait le modèle simplifié suivant : les vecteurs vitesse sont parallèles à l’une des six directions de vecteurs directeurs 𝑢/⃗*, 𝑢/⃗+, 𝑢/⃗,, -𝑢/⃗*, −𝑢/⃗+, -𝑢/⃗, avec un sixième des molécules dans chacune de ces six directions. La norme de la vitesse de toutes les molécules est identique égale à la vitesse quadratique moyenne v*.
1) Établir l’expression du nombre 𝑑𝑁!→$ de molécules contenues dans le compartiment (1) et traversant la surface s entre les
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instants t et t + dt. Même question pour 𝑑𝑁$→!.
2) En déduire les expressions de ./.0! et ./.0" en fonction de N1, N2, s, v* et V.
3) Établir les expressions de N1(t) et N2(t). On fera apparaître une constante de temps t caractéristique du phénomène observé.
Indication : on pourra effectuer le changement de variables u = N1 + N2 et w = N1 – N2. 4) Comment varie t avec la masse des molécules ?
Réponse : 𝑑𝑁!→$=1234∗𝑁!𝑑𝑡 ; 𝑑𝑁$→!=1234∗𝑁$𝑑𝑡 ; ./.0!=1234∗(𝑁$− 𝑁!) ; ./.0"=1234∗(𝑁!− 𝑁$) ; 𝑁!(𝑡) =/$$)1 + 𝑒50/7, ; 𝑁$(𝑡) =/$$)1 − 𝑒50/7, ; 𝜏 =12"4∗ ; 𝜏~√𝑚.
IV Impact mécanique de la pluie sur un pare-brise d’avion
Notations et données :
Accélération de la pesanteur : g = 9, 81 m.s−2 Masse volumique de l’air : ρa = 1, 20 kg.m−3 Masse volumique de l’eau : ρe = 998 kg.m−3
Nous nous proposons d’étudier l’effet mécanique de la pluie sur un pare-brise. Une goutte est assimilée à une sphère de rayon r0. Sa vitesse, par rapport au référentiel terrestre R0 = (𝑒///⃗ ; 𝑒* ////⃗ ; 𝑒+ ///⃗) considéré galiléen, est notée , 𝑢/⃗ = 𝑢 𝑒///⃗ , où ///⃗ est l’unitaire selon la 𝑒* verticale descendante. Dans tout le problème on considèrera qu’en raison des frottements de l’air, la vitesse des gouttes est constante.
Nous souhaitons estimer la force qu’exerce la pluie sur le pare-brise d’un avion. Le pare-brise est modélisé par une surface S rectangulaire de hauteur h = 0,50 m et de largeur L = 2,0 m, inclinée d’un angle α = 45◦ sur la direction verticale (figure ci-contre).
Nous considérerons que, lorsque qu’une goutte heurte le pare-brise, sa quantité de mouvement, relativement à un repère lié à l’avion, s’annule.
L’intensité I caractérisant une précipitation est mesurée par la hauteur d’eau recueillie au sol, par unité de temps.
Pour les applications numériques, nous adopterons I = 300 mm.h−1 (pluie extrême, sur une courte durée).
Ce qui signifie une précipitation cumulant 300 litres par mètre-carré, sur une durée de 1 heure.
On rappelle l’expression du volume d'un cylindre de base S, dont les génératrices sont de longueur L et présentent une inclinaison d'angle α par rapport à la normale à sa base : V = S.L.cos(α).
Nous supposons que les gouttes de pluie ont toutes le même rayon de valeur r0 = 1,5 mm. Nous notons N0 leur nombre par unité de volume (d’atmosphère).
1) a) Sur la base de sa propre expérience, proposer un ordre de
grandeur de la vitesse de chute u d’une goutte d’eau de pluie.
b) Pour évaluer cette vitesse, on propose le modèle du frottement quadratique. La goutte en chute dans l’atmosphère est supposée avoir atteint sa vitesse limite.
La force de frottement quadratique exercée par l’air sur la goutte répond à l’expression, en norme : Ff = ρa.S.Cx.u
²
où ρa est la masse volumique de l’air, Sg la section de la goutte supposée sphérique, Cx = 0,5 est le coefficient de traînée de et u est la vitesse de la goutte.
Déduire une valeur numérique pour u à partir de ces informations.
Schéma de profil du nez de l’avion. Il se déplace à la vitesse 𝑊///⃗ = 𝑊𝑒////⃗. Le pare-brise apparaît en + trait plein
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c) Établir l’expression de N0 en fonction de u, r0 et de l’intensité I : 𝑁8=;<=".:
%&>.?0
où Δt est la durée correspondant à une heure.
Calculer la valeur numérique de N0.
d) En déduire la distance moyenne d0 entre les gouttes de pluie.
2) Nous considérons d’abord le cas d’un avion immobile sur l’aérodrome.
a) Représenter, sur un schéma, le domaine de précipitation (atmosphère et gouttes) intercepté par le pare-brise entre les instants t et t + dt.
b) Par un bilan de quantité de mouvement, exprimer la force F0 exercée par la pluie sur le pare-brise.
Vérifier que son module s’écrit sous la forme : 𝐹@= (𝑘. 𝑐𝑜𝑠𝛼). S. ρA. 𝑢$ Expliciter la dépendance du facteur k avec N0 et r0. Préciser sa dimension.
Calculer l’intensité Fo de cette force. Commenter.
3) Nous considérons maintenant un avion volant à la vitesse 𝑊///⃗ = 𝑊𝑒////⃗. + a) Donner un ordre de grandeur de W pour un avion de ligne.
b) On rappelle que la loi de composition des mouvements pour les changements de référentiel implique que la vitesse des gouttes perçue dans le référentiel de l’avion s’écrit : 𝑢////⃗ = 𝑢/⃗ − 𝑊@ ///⃗
En se plaçant dans le référentiel lié à l’avion, représenter, sur un schéma, le domaine de précipitation (atmosphère et gouttes) intercepté par le pare-brise entre les instants t et t + dt. On considèrera les ordres de grandeur mis en jeu.
c) En déduire l’expression de la force F exercée par la pluie sur le pare-brise.
d) Évaluer l’ordre de grandeur de la force correspondante. La comparer au poids du pilote.
Réponse : 𝑢 = IBB'
(𝑔;"𝑟8 $
C)= 8𝑚. 𝑠5! ; 𝑑8= 𝑁85!/" ; 𝑘 =;"𝜋𝑟8"𝑁8 ; F0 = 0,47 N ; 𝐹 =;"𝜋𝑟8"𝜌A𝑁8𝑆𝑠𝑖𝑛𝛼𝑊$= 3,6. 10$𝑁.
