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(3.1) (3.1)
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(2.1) (2.1)
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(3.3) (3.3) (3.2) (3.2)
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(3.4) (3.4)
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(1.1) (1.1)
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Correction de l'exercice 2 de la planche n°2
restart;
Définition des 3 points A, B et C A:=[1,1,-1];
B:=[2,-1,0];
C:=[1,-1,0];
A:= 1, 1,K1 B:= 2,K1, 0 C:= 1,K1, 0
Introduction d'une équation catrtésienne de sphère S générique
Une équation cartésienne de la sphère S de centre D(a,b,c) et de rayon r est donnée ci-dessous.
Eq:=(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=r^2;
Eq:= xKa 2C yKb 2C zKc 2=r2
Conséquences de l'appartenance des points A, B et C à S
L'appartenance de A (resp. B, C) à S fournit une équation EqA (resp. EqB, EqC).
EqA:=subs({x=A[1],y=A[2],z=A[3]},Eq);
EqB:=subs({x=B[1],y=B[2],z=B[3]},Eq);
EqC:=subs({x=C[1],y=C[2],z=C[3]},Eq);
EqA:= 1Ka 2C 1Kb 2C K1Kc 2=r2 EqB:= 2Ka 2C K1Kb 2Cc2=r2 EqC:= 1Ka 2C K1Kb 2Cc2=r2
On résout le système formé par ces trois équations pour obtenir des informations sur les inconnues a, b, c et r.
solutions:=solve({EqA,EqB,EqC},{a,b,c,r});
solutions:= a= 3
2 ,b=b,c=K1
2 C2 b,r=RootOf 2 _Z2K3K10 b2
solutions:=allvalues(solutions); # forme algébrique du rayon r solutions:= a= 3
2 ,b=b,c=K1
2 C2 b,r= 3
2 C5 b2 , a= 3
2 ,b=b,c=K1 2 C2 b,r=K 3
2 C5 b2
Le rayon étant positif, seul le premier jeu de solutions correspond au problème géométrique considéré.
On assigne alors les valeurs de a, c et r en fonction de b, fournies par le premier jeu de solutions.
assign(solutions[1]);
On vérifie, à l'aide d'un affichage de valeurs, le résultat de la dernière commande.
a ;c ; r ;
(5.2.2) (5.2.2)
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(5.1.2) (5.1.2)
(5.2.1) (5.2.1) (4.1) (4.1) (3.4) (3.4)
(5.1.1) (5.1.1)
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>
>
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3 2 K1
2 C2 b 3
2 C5 b2 A ce stade, seul b reste à déterminer.
Conséquence du fait que S est tangente au plan d'équation y=3
On sait que la sphère S et le plan P d'équation y=3 sont tangents si et seulement si le rayon r de S est égal à la distance du centre D de S au plan P.
D'après la formule de la distance d'un point à un plan dans l'espace (cf. cours), on a d(D,P) = abs(b-3).
Ceci conduit à résoudre l'équation abs(b-3) = r.
valeurs_b:=solve(abs(b-3)=r);
valeurs_b:=K3 4 K 1
4 39 ,K3 4 C 1
4 39 L'inconnue b peut donc prendre deux valeurs.
Conclusion
De l'étude précédente, on déduit qu'il y a deux sphères vérifiant les conditions de l'énoncé. On donne ci-dessous leurs équations cartésiennes.
Equation cartésienne de "la première sphère"
Eq1:=subs({b=valeurs_b[1]},Eq);
Eq1:= xK 3 2
2
C yC 3 4 C 1
4 39
2
C zC2C 1 2 39
2
= 3
2 C5 K3 4 K 1
4 39
2
ou autrement écrite:
lhs(Eq1)=expand(rhs(Eq1));
xK 3 2
2
C yC 3 4 C 1
4 39
2
C zC2C 1 2 39
2
= 33
2 C 15 8 39
Equation cartésienne de "la deuxième sphère"
Eq2:=subs({b=valeurs_b[2]},Eq);
Eq2:= xK 3 2
2
C yC 3 4 K 1
4 39
2
C zC2K 1 2 39
2
= 3
2 C5 K3 4 C 1
4 39
2
ou autrement écrite:
lhs(Eq2)=expand(rhs(Eq2));
(3.4) (3.4)
(5.2.2) (5.2.2) xK 3
2
2
C yC 3 4 K 1
4 39
2
C zC2K 1 2 39
2
= 33
2 K 15 8 39
