L.E.G.T.A. Le Chesnoy TB2−2011-2012
D. Blotti`ere Math´ematiques
Feuille d’exercices n˚14
Changement de base et r´ eduction des endomorphismes
Exercice 183 (un exemple de matrice non diagonalisable)
Montrer que la matriceA=
1 1 0 0 1 0 0 0 2
∈ M3(R) n’est pas diagonalisable.
Exercice 184 (une valeur propre remarquable d’une matrice non inversible) Soitn∈N∗. SoitA∈ Mn(R) telle que :
rang(A)< n.
Montrer queAposs`ede une valeur propre remarquable. On pr´ecisera cette valeur propre.
Exercice 185 (calcul des puissances d’une matrice 2×2 trigonalisable) 1. Soient les matricesN =
0 1 0 0
etT =
2 1 0 2
. (a) CalculerNn, pour toutn∈N.
(b) En d´eduireTn, pour toutn∈N. 2. SoitA∈ M2(R) la matrice d´efinie par :
A=1 3
8 −4
1 4
.
(a) D´emontrer queAadmet une unique valeur propre λ∈R. On d´etermineraλ.
(b) D´eterminer l’unique vecteure01 deEλ dont la deuxi`eme composante est 1.
(c) D´eterminer l’unique vecteure02 deR2tel que :
(i) la premi`ere composante dee02 est 1 ; (ii) Ae02=e01+ 2e02.
(d) D´emontrer que la familleB0= (e01, e02) est une base deR2.
(e) Calculer la matrice de l’endomorphismeϕA deR2canoniquement associ´e `aAdans la baseB0. (f) D´emontrer qu’il existe une matriceP ∈ M2(R) inversible tel que :
A=P T P−1. (g) D´emontrer queAn =P TnP−1, pour toutn∈N∗. (h) CalculerAn, pour toutn∈N∗.
Exercice 186 (calcul des puissances d’une matrice 3×3 diagonalisable)
On consid`ere la matriceA=
2 −1 1
0 1 0
1 −1 2
∈ M3(R).
1. D´emontrer que A admet deux valeurs propres r´eelles. On note λ1 et λ2 les deux valeurs propres de A rang´ees dans l’ordre croissant.
2. Soient e01=
1 1 0
∈R3 ete02=
0 1 1
∈R3. Montrer que (e01, e02) est une base deEλ1. 3. D´eterminer une base deEλ2, puis l’unique vecteure03 de deEλ2 de premi`ere composante 1.
4. Montrer que (e01, e02, e03) est une base deR3.
5. D´emontrer qu’il existe une matriceP ∈ M3(R) inversible et D∈ M3(R) diagonale telles que : A=P DP−1.
6. D´emontrer queAn =P DnP−1, pour toutn∈N∗. 7. CalculerAn, pour toutn∈N∗.
Exercice 187 (matrice 3×3 ayant 3 valeurs propres r´eelles distinctes)
On consid`ere la matriceA=
1 1
2 −1 2
1 0 −1
0 −3 2
1 2
∈ M3(R).
1. D´eterminer l’ensemble des valeurs propres deA.
2. Conclure `a la diagonalisabilit´e deA, `a l’aide d’une phrase soign´ee, sans calcul suppl´ementaire.
Exercice 188 (un crit`ere pour qu’une matrice diagonalisable soit diagonale)
Soitn∈N∗. SoitA∈ Mn(R) telle que :
(a) A poss`ede une unique valeur propre r´eelleλ; (b) A est diagonalisable.
Montrer queAest diagonale.
Exercice 189 (diagonalisabilit´e d’une matrice 2×2 `a param`etre) Pour touta∈R, on poseMa=
1 a 0 1
.
1. Soita∈R∗. Montrer queMa n’est pas diagonalisable.
2. En d´eduire l’ensemble desa∈Rtels que la matriceMa est diagonalisable.
Exercice 190 (´el´ements propres d’op´erateurs sur des espaces de fonctions et ´equations diff´erentielles) Soit
C∞(R,R) ={f ∈ F(R,R) : f estC∞surR}.
1. Montrer queC∞(R,R) est un sous-espace vectoriel deF(R,R).
2. SoitT l’application d´efinie par :
T:C∞(R,R) → C∞(R,R) f 7→ f0. (a) Montrer queT est bien d´efinie, i.e. que :
∀f ∈ C∞(R,R), T(f)∈ C∞(R,R).
(b) D´eterminer le spectre deT, i.e. l’ensemble des valeurs propres r´eelles deT. (c) D´eterminer une base de chacun des sous-espaces propres deT.
3. SoitU l’application d´efinie par :
U:C∞(R,R) → C∞(R,R) f 7→ f0+f00. (a) Montrer queU est bien d´efinie, i.e. que :
∀f ∈ C∞(R,R), U(f)∈ C∞(R,R).
(b) D´eterminer le spectre deU, i.e. l’ensemble des valeurs propres r´eelles deU. (c) D´eterminer une base de chacun des sous-espaces propres deU.
Exercice 191 (´el´ements propres du shift sur un espace de suites et suites de r´ef´erences)
On rappelle queS(N,R) d´esigne leR-espace vectoriel des suites de termes r´eels indic´es parN. SoitTl’application d´efinie par :
T:S(N,R) → S(N,R) (un)n∈N 7→ (un+1)n∈N 1. Soit (un)n∈N∈ S(N,R). ´Ecrire :
(a) le terme d’indice 0 de la suite (un)n∈Net le terme d’indice 0 de la suiteT((un)n∈N) ; (b) le terme d’indice 1 de la suite (un)n∈Net le terme d’indice 1 de la suiteT((un)n∈N) ; (c) le terme d’indice 2 de la suite (un)n∈Net le terme d’indice 2 de la suiteT((un)n∈N) ; (d) le terme d’indice 3 de la suite (un)n∈Net le terme d’indice 3 de la suiteT((un)n∈N) ; puis ´ecrire une phrase expliquant comme l’applicationT transforme la suite (un)n∈N. 2. D´emontrer queT est un endomorphisme deS(N,R).
3. D´eterminer le spectre deT, i.e. l’ensemble des valeurs propres r´eelles deT. 4. D´eterminer une base de chacun des sous-espaces propres deT.
Exercice 192 (´etude d’un projecteur)
SoitE unR-espace vectoriel de dimension finie. Soitpun endomorphisme deE tel que : p◦p=p.
1. Soitλ∈Rune valeur propre dep. Montrer que :
λ= 0 ou λ= 1.
2. D´emontrer que : Ker(p)⊕Ker(p−idE) =E.
3. En d´eduire quepest diagonalisable. On pourra distinguer trois cas : (a) Ker(p) ={0E};
(b) Ker(p−idE) ={0E};
(c) Ker(p)6={0E}et Ker(p−idE)6={0E}.
