MAT244 2010-2011 Feuille d’exercices 2
SoitE un C-espace vectoriel. On rappelle qu’une application b:E×E →Cest sesquilin´eaire ssi
∀x, y, x′, y′ ∈E, λ, µ∈C, on a b(λx+x′, µy+y′) = λµb(x, y) +λb(x, y′) +µb(x′, y) +b(x′, y′).
Exercice 1.D´eterminer si les fonctions suivantes sont des formes bilin´eaires/sesquilin´eaire, dans l’affirmative, si elles sont sym´etriques/hermitiennes.
1. b:R2×R2 →R, b((x1, x2),(y1, y2)) =x1y2+x2y2. 2. b:R2×R2 →R, b((x1, x2),(y1, y2)) =x1y2+x2x1.
3. ϕ:C3×C3 →C, b((x1, x2, x3),(y1, y2, y3)) =x1y3+x2+y1y2
4. b:R[X]n×R[X]n→R, b(P, Q) = P′(1)Q(0) +Q′(1)P(0).
5. b:C([a, b],R)×C([a, b],R)→R, b(f, g) = Rb
a f(x)g(x)dx.
6. ϕ:C([a, b],C)×C([a, b],C)→C, ϕ(f, g) =Rb
a f(x)g(x)dx.
7. ϕ:C([a, b],C)×C([a, b],C)→C, ϕ(f, g) =Rb
a f(x)g(x)dx.
Exercice 2. Pour chaque forme bilin´eaire, calculer sa matrice M1 dans la baseB1 et sa matrice M2 dans la baseB2. Calculer la matrice de passage P deB1 `a B2 et v´erifier que M2 =tP M1P.
1. φ:R2×R2 →R, ϕ((x1, x2),(y1, y2)) = x1y2+3y1x2, B1 = ((1,0),(0,1)), B2 = ((1,1),(2,1)) 2. φ: (Q, R)∈R[X]2×R[X]2 7→Q(2)R(1) ∈R, B1 = (1, X, X2), B2 = (1, X−1, X2−3X+2).
3. φ: (Q, R)∈R[X]2×R[X]2 7→R1
0 Q(x)R(1−x)dx, B1 = (1, X, X2), B2 = (1, X−1, X2−X).
Exercice 3. Soient ϕ etψ deux formes lin´eaires d´efinies sur leC-espace vectoriel E.
1. D´emontrer que l’application b : (u, v)∈E×E 7→ ϕ(u)ψ(v) +ϕ(v)ψ(u)∈C est une forme bilin´eaire sym´etrique et que l’application h : (u, v) ∈ E ×E 7→ ϕ(u)ψ(v) +ψ(u)ϕ(v) est sesquilin´eaire hermitienne.
2. D´emontrer que l’application a : (u, v) ∈ E ×E 7→ ϕ(u)ψ(v)−ϕ(v)ψ(u) est une forme bilin´eaire v´erifiant a(v, u) = −a(u, v) pour tous u, v ∈E.
3. Supposons que E =R3 et que, pour toutx= (x1, x2, x3)∈R3, ϕ(x) =s1x1+s2x2 +s3x3, ψ(x) =t1x1+t2x2+t3x3, o`u les si, ti ∈R sont fix´es. Donner les matrices dea et b dans la base canonique de R3.
Exercice 4. Soit Φ une forme bilin´eaire d´efinie sur E ×E o`u E est un R-espace vectoriel de dimensionn. Soit Aune matrice repr´esentant Φ dans une baseB fix´ee. Montrer que l’application
Ψ :E ×E →R
d´efinie par Ψ(u, v) = Φ(v, u) est une forme bilin´eaire et pr´eciser, en fonction de A, sa matrice dans la baseB. Montrer que Ψ est sym´etrique (resp. antisym´etrique) si et seulement si A l’est.
Exercice 5. Soit w= (a, b, c)∈R3, w 6= 0 fix´e et l’application f :R3 →Rd´efinie par f(x, y, z) =ax+by+cz.
On consid`ere l’application ϕ:R3×R3 →R d´efinie par ϕ(u, v) =f(u∧v).
Montrer que ϕ est bilin´eaire et calculer sa matrice repr´esentative dans la base canonique.
Exercice 6.SoientA, B ∈Mn(R) des matricesn×n. Montrer que si pour tous vecteurs colonnes
`an composantes r´eelles X, Y on a tXAY =tXBY, alors A=B.
1
Exercice 7.SoitV un C-espace vectoriel. Soient b:V ×V →Cune forme bilin´eaire sym´etrique eth:V ×V →C une forme sesquilin´eaire hermitienne. Montrer les relations suivantes :
(1) b(x+y, x+y)−b(x, x)−b(y, y) = 2b(x, y) (2) b(x+y, x+y)−b(x−y, x−y) = 4b(x, y)
(3) h(x+y, x+y)−h(x, x)−h(y, y) = 2Re(h(x, y)) (4) h(x−iy, x−iy)−h(x, x)−h(y, y) = 2Im(h(x, y)) (5) h(x+y, x+y)−h(x−y, x−y) = 4Re(h(x, y)) (6) h(x−iy, x−iy)−h(x+iy, x+iy) = 4Im(h(x, y)).
Exercice 8. Soit V un R-espace vectoriel. Soit b:V ×V →R une forme bilin´eaire sym´etrique.
Pour un sous-ensemble S de V, on d´efinit son orthogonal par
S⊥ ={x∈V |b(x, s) = 0 pour tout s∈S}.
(1) Montrer que S⊥ est un sous-espace vectoriel de V.
(2) Montrer que chaque forme bilin´eairebci-dessous est sym´etrique et calculer son rang. Calculer
´egalement V⊥ etS⊥.
1. b:R3×R3 →R, b((x1, x2, x3),(y1, y2, y3)) =x1y1+x2y1+x1y2, S ={(x1, x2, x3)|x1+x2+x3= 0}.
2. b: (P, Q)∈R[X]3×R[X]3 7→P′(0)Q(0) +P(0)Q′(0), S =R[X]3.
Exercice 9.D´emontrer que, pour toute forme bilin´eaire sym´etrique b sur un espace vectoriel E, pour tous sous-espaces vectoriels W, U, nous avons les propri´et´es suivantes.
1. (U+W)⊥= (U⊥)∩(W⊥).
2. (U∩W)⊥ ⊃U⊥+W⊥.
Donner un exemple d’une forme bilin´eaire de rang 1 sur R2 et des sous-espaces U, W ⊂ R2 tels que (U ∩W)⊥6=U⊥+W⊥.
Exercice 10.Soit q la forme quadratique d´efinie sur R2 par q(x, y) = 3x2 −10xy+ 19y2. 1. D´ecomposerqen carr´es, c’est-`a-dire trouver un changement de coordonn´ees (X, Y) =f(x, y)
lin´eaire (i.e.f est lin´eaire) tel que, dans ces coordonn´ees, on ait q=X2+Y2. 2. Grˆace `a ce changement de coordonn´ees, calculer l’int´egrale double A=RR
q(x,y)≤1dxdy.
3. Quelle aire est calcul´ee par cette int´egrale ?
Exercice 11.Soitqla forme quadratique d´efinie surR3parq(x, y, z) = x2+2y2+3z2+2xy+2xz.
1. D´ecomposer q en carr´es, c’est-`a-dire trouver un changement de coordonn´ees
(X, Y, Z) =f(x, y, z) lin´eaire tel que, dans ces coordonn´ees, on ait q=X2+Y2+Z2. 2. Grˆace `a ce changement de coordonn´ees, calculer l’int´egrale triple V =RRR
q(x,y,)≤1dxdydz.
3. Quel volume est calcul´e par cette int´egrale ?
Exercice 12.Soit b la forme bilin´eaire sym´etrique d´efinie surR3 par
b(x, y) =x1y1+x2y2+x3y3+ 2x1y2+ 2x2y1+ 3x2y3+ 3x3y2.
1. D´ecomposer la forme quadratique q(x) =b(x, x) en carr´es, c’est-`a-dire trouver un change- ment de coordonn´ees (X1, X2, X3) =f(x1, x2, x3) lin´eaire tel que, dans ces coordonn´ees, on ait q=a1X12 +a2X22 +a3X32 o`u les ai sont des constantes.
2. Comment s’´ecrit b dans ces nouvelles coordonn´ees (X1, X2, X3) ? En d´eduire une base B= (ε1, ε2, ε3) orthogonale pour b.
2
