Exercices : les vecteurs du plan Exercice 1 Construire le point X tel que

Exercice 1

Construire le point X tel que AB=CXuuur uuur

1) 2)

3) 4)

5) 6)

7) 8)

Exercice 2

Soit ABCD un parallélogramme, E le milieu de [AD], F le milieu de [AB], G le milieu de [BC], H le milieu de [DC] et I l’intersection des médianes. Donne tous les vecteurs égaux à

ABuuur , HIuur

, AAuuur , CBuuur

et EFuur .

Exercice 3

Soient le vecteur ABuuur

et les points C et D. Place les points U, V, W, X, Y et Z de façon à ce que les vecteurs CUuuur

, VCuuur , DWuuuur

, XDuuur , BYuuur

et ZAuuur

soient égaux à ABuuur .

Exercice 4

Dessine un parallélogramme ABCD dont les diagonales se coupent en O. Construis : 1) le point V, image de B par la translation de vecteur CBuuur

2) le point W, image de O par la translation de vecteur BAuuur 3) le point X, image de O par la translation de vecteur COuuur 4) le point Y, dont l’image par la translation de vecteur CBuuur

est D 5) le point Z, dont l’image par la translation de vecteur OAuuur

est C

Exercice 5

Dans le dessin ci-dessous, détermine trois vecteurs 1) égaux au vecteur AFuuur

uuur

Exercice 6

Pour chaque cas, construis un représentant de a + br r 1) en utilisant des représentants consécutifs de ar

et de br 2) en utilisant des représentants de ar

et de br

ayant même origine.

Exercice 7

Construis un représentant de u + vr r

par la méthode de ton choix.

Exercice 8

Dans chacun des cas suivants, construis un représentant de OA+OBuuur uuur

, puis écris une égalité entre OAuuur

, OBuuur

et ABuuur .

Exercice 9

Soit le parallélogramme ABCD et ses diagonales qui se coupent en E. Détermine 1) AE+ECuuur uuur

3) AE+EDuuur uuur

5) CD+ABuuur uuur

7) EC+DEuuur uuur 2) AC+CEuuur uuur

4) AE+CEuuur uuur

6) EB+CEuuur uuur

8) AB+EDuuur uuur

Exercice 10

Dans chacun des cas suivants, construis un représentant de a + b + cr r r .

Exercice 11

Voici un triangle ABC. Construis les points D, E, F et G tels que AD=0,5ABuuur uuur

AE=-0,5BCuuur uuur FB=CAuuur uuur CG=1,5ABuuur uuur

Dessine -3ur ; ¹u

2 r

; -²u 3

r

et 1,5ur .

Exercice 13

Construis les vecteurs 2 u -^v 3 r r

, - 3 u +¹v 2

r r

et ³u + 2 v 2

r r

.

Exercice 14

Sur la figure ci-dessous, ABCD est un parallélogramme de centre O, I et J sont les milieux respectifs de [AB] et [CD].

Réduire les sommes suivantes.

1) OA+OB=J...uuur uuur

4) OA+OB OC OD=A...uuur uuur uuur uuur+ +

7) OA+OF=C...=...Auuur uuur 2) OA+OB OC=O...uuur uuur uuur+

5) OI+OJ 2OA=A...uur uur− uuur

8) OE+OF 3OH=...uuur uuur− uuur 3) OA+OC OD=...Ouuur uuur uuur+

6) OE+OF=...uuur uuur

9) 3OE+3OH OD+OC=...uuur uuur uuur uuur+

Exercice 15

Soient les vecteurs ar , br

et cr .

1) Donner un représentant de - ar . 2) Donner un représentant de a - br r

et un de b - ar r

. Ensuite, comparer ces deux vecteurs.

3) Trouver un représentant de - a + b - c - br r r r . 4) Trouver un représentant de a + b cr r r+

. 5) Trouver un représentant de - a + 2 b -³c

2

r r r

.

Exercice 16

Soient les vecteurs xr , yr

et zr .

1) Construire x-yr r . 2) Construire ¹x - ( z + y )

2

r r r . 3) Chercher wuur

tel que - w = x + y + zuur r r r . Exercice 17

Compléter les relations suivantes d’après la figure : 1) AC=...BAuuur uuur

2) ¹ED=...BC 2

uuur uuur

Voici un cube en perspective :

1) Cite les vecteurs du cube égaux à ABuuur . 2) Cite les vecteurs du cube égaux à GCuuur

. 3) Cite les vecteurs du cube égaux à AFuuur

. 4) ACuuur

et GEuuur

sont- ils égaux ? Pourquoi ? 5) AGuuur

et FDuuur

sont- ils égaux ? Pourquoi ?

6) Exprime les sommes suivantes sous forme d’un seul vecteur en utilisant les sommets du cube.

a) AB+BCuuur uuur b) AB+CBuuur uuur c) AB-EFuuur uur d) AB+AEuuur uuur e) HE-HGuuur uuur f) EH+CDuuur uuur g) GA+ABuuur uuur h) EC-GC+DAuuur uuur uuur i) -HG+EB-EAuuur uuur uuur j) BF+BC+EA+HEuuur uuur uuur uuur

Exercice 19

Soit le parallélépipède ABCDA’B’C’D’, calculer les vecteurs suivants :

1) AD'+CDuuuur uuur 2) DB+A'Auuur uuuur 3) AC+DD'uuur uuuur 4) D'C+BA'uuuur uuur

5) CB'+ADuuur uuur 6) AD C'D'uuur uuuur− 7) A'D-B'A'+DD'uuuur uuuur uuuur 8) AA'-DC'-CBuuuur uuuur uuur

Exercice 20 Retrouve parmi vuur₁

, vuur₂ , vuur₃

et vuur₄

, les vecteurs AB-DCuuur uuur

, CD+EF+ABuuur uur uuur

et AB-CDuuur uuur .

Exercice 21 Exprime ur

en fonction de vr si 1) u =²w

3 r uur

et v = - wr uur 2) u = -³w

4

r uur

et v = -²w 7

r uur

3) 2 u - 3 w = 0r uur r

et 4 w = 3 vuur r

Exercice 22

Construire le point H tel que ^{C H =uuur 1}₂

(

)

Placer les points M, N et Q tels que

1) AM=EF+GHuuuur uur uuur 2) NA=IJ+GHuuur ur uuur 3) EG-GH-IJ=AQuuur uuur ur uuur

Exercice 24

Soit A, B, C, D, E et F des points quelconques du plan. Résoudre par rapport à xr les équations suivantes.

1) D A + x = - A Duuur r uuur

2) B B - x + E C = A C + E Duuur r uuur uuur uuur 3) O C - O A = x - D Auuur uuur r uuur

4) 3 A C - D E + C E = 2 D C + 3 xuuur uuur uuur uuur r

5) ^-1

(

)

4 2 2

uuur uuur uuur r uuur uuur

6) ^{1BA-AD +3AD-1}

(

) ( ) ( )

2 2 2

 

 

 

uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uur r r

Exercice 25

Réponds par « vrai » ou « faux ». Dans le cas d’une réponse vraie, justifie. Dans le cas d’une réponse fausse, justifie, corrige ou donne un contre-exemple.

1) Deux vecteurs égaux et non nuls sont parallèles.

2) Deux vecteurs parallèles sont égaux.

3) Deux vecteurs opposés ne sont pas parallèles.

4) Deux vecteurs parallèles sont parfois opposés.

5) Deux vecteurs égaux ont la même origine.

6) Deux vecteurs égaux ayant la même origine, ont la même extrémité.

7) Deux vecteurs opposés ne peuvent pas avoir la même origine.

8) Le temps est une grandeur vectorielle.

9) La vitesse est une grandeur scalaire.

10) Si AB CDuuur uuur=

, alors AC BDuuur uuur= .