L3B – Topologie 2019-2020
Correction de l’exercice 2 de la feuille 2
Soit (un)n∈N une suite r´eelle qui converge vers ` ∈ R. Nous allons montrer que l’adh´erence de A={un, n∈N} estA∪ {`}.
Version 1 : Soitx∈Aet (ak) une suite deAqui converge versx. Pour chaquek ∈N, il existe un indice nk tel queak =unk. Si la suite (nk)k∈N converge vers +∞, alors ak = unk converge vers ` et x = `. Sinon, il existe une sous-suite (nϕ(k)) qui reste born´ee et donc ne parcourt qu’un nombre fini d’indices. Un de ces indices, disons m, est donc vu une infinit´e de fois et on peut donc extraire une sous-suite (nψ(k)) qui reste constante ´egale `a m. On a donc que aψ(k) converge vers um et x=um.
Au total,x∈A∪ {`} etA=A∪ {`}.
Version 2 : En prenant (un) comme suite d’´el´ements de A, on obtient que ` est forc´ement dans l’adh´erence de A. Il suffit de montrer que A∪ {`} est ferm´e pour conclure queA =A∪ {`}.
SoitB =R\(A∪ {`}) et soitx∈B. On pose ε1 =|x−`|/2. Comme x6=`, on a ε1 >0. Comme`est limite de (un), il existeN tel que pour toutn≥N,|un−`|< ε1 et donc|un−x| ≥ |x−`| − |`−un|> ε1. On poseε2 = min{|un−x|, n≤N−1} et ε= min(ε1, ε2). Par construction, pour tout n∈N, |un−x| ≥ε et|`−x|> εdonc ]x−ε, x+ε[⊂ B. D’o`u B est ouvert et A∪ {`} est ferm´e comme compl´ementaire d’un ouvert.
