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o2 - Fonctions trigonom´ etriques - Suites - TS 3 octobre - 1h30
Exercice 1 (5 pts) : On consid`ere la fonction f d´efinie sur Rpar f(x) = cos(3x) + 1 1. Etudier la parit´e de la fonction f.
2. Montrer que la fonction f est p´eriodique de p´eriode 2π 3 . 3. Etudier le sens de variation de la fonction f sur [0;π
3].
4. En utilisant les questions 1 et 2, en d´eduire le tableau de variations de la fonction f sur [−π;π].
Exercice 2 (6 pts) : Soit (un) la suite d´efinie pour toutn ∈Npar :
u0 = 1
un+1 = un+ 2n+ 3
1. Etudier le sens de variation de (un).
2. D´emontrer par r´ecurrence que, pour tout n ∈N, un = (n+ 1)2. 3. En d´eduire que pour tout entier n ∈N,un ≥n2.
4. La suite (un) est-elle minor´ee ? major´ee ? Justifier.
Exercice 3 (6 points) : On consid`ere la fonction f d´efinie sur Rpar : f(x) = 1
4x2−1 4x+ 1 Soit la suite (un) d´efinie pour tout n ∈Npar :
u0 = 3
un+1 = f(un)
1. On a trac´e ci-dessous, la courbe C repr´esentative de la fonctionf surRet la droite Dd’´equation y=x.
a) Sur le graphique, placer sur l’axe des abscisses, u0, u1, u2, u3 et u4. Faire apparaˆıtre les traits de construction.
b) Que peut-on conjecturer sur le sens de variation et la convergence de la suite (un) ? 2. a) Etudier le sens de variation de f sur R.
b) D´emontrer par r´ecurrence que 1≤un+1≤un ≤3 pour tout n∈N. c) En d´eduire le sens de variation de la suite (un) pour tout n∈N.
−1 1 2 3 4
1 2 3 4
−1 O #–ı
#–
D C
Exercice 4 (3 pts) : Soit f la fonction d´efinie sur [0 : +∞[ par f(x) = x− π
5 cos(2πx) et soit (un) la suite d´efinie sur N par un=f(n) =n−π
5 cos(2πn).
1. Montrer que la suite (un) est croissante pour n∈N. 2. La fonction f est-elle croissante sur [0 : +∞[ ?
