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o2 - Fonctions trigonom´ etriques - Suites - TS 7 octobre 2016 - 2h
Exercice 1 (4 pts) : Soit f la fonction d´efinie dur R par
f(x) = (cosx)2 1. a) Etudier la parit´e de la fonction f.
b) En affichant la courbe repr´esentative de f `a la calculatrice, conjecturer la p´eriodicit´e de f, puis le justifier par un calcul.
2. D´eterminer la fonction f′ d´eriv´ee de f.
3. Dresser le tableau de variations de f sur [−π 2;π
2]
Exercice 2 (8 points) : Une soci´et´e produit des bact´eries pour l’industrie.
En laboratoire, il a ´et´e mesur´e que, dans un milieu nutritif appropri´e, la masse de ces bact´eries, mesur´ee en grammes, augmente de 20 % en un jour.
La soci´et´e met en place le dispositif industriel suivant.
Dans une cuve de milieu nutritif, on introduit initialement 1 kg de bact´eries. Ensuite, chaque jour,
`a heure fixe, on remplace le milieu nutritif contenu dans la cuve.
Durant cette op´eration, 100 g de bact´eries sont perdus.
L’entreprise se fixe pour objectif de produire 30 kg de bact´eries.
On mod´elise l’´evolution de la population de bact´eries dans la cuve par la suite (un) d´efinie ainsi : u0 = 1 000 et, pour tout entier naturel n, un+1 = 1,2un−100.
1. a) Expliquer en quoi ce mod`ele correspond `a la situation de l’´enonc´e.
On pr´ecisera en particulier ce que repr´esente un.
b) L’entreprise souhaite savoir au bout de combien de jours la masse de bact´eries d´epassera 30 kg.
A l’aide de la calculatrice, donner la r´eponse `a ce probl`eme.`
c) Compl´eter l’algorithme suivant pour qu’il r´eponde au probl`eme pos´e dans la question pr´ec´edente.
Variables uet n sont des nombres uprend la valeur 1 000 n prend la valeur 0 Traitement Tant que ... faire
u prend la valeur ...
n prend la valeur n+ 1 Fin Tant que
Sortie Afficher ...
2. a) D´emontrer par r´ecurrence que, pour tout entier naturel n,un≥1000.
b) En d´eduire que la suite (un) est croissante.
3. On d´efinit la suite (vn) par : pour tout entier naturel n,vn=un−500.
a) D´emontrer que la suite (vn) est une suite g´eom´etrique.
b) Exprimer vn, puis un, en fonction de n.
c) D´eterminer la limite de la suite (un).
Exercice 3 (3 pts) : Soit une suite (un),n ∈N telle que −1≤un ≤2 pour tout n∈N. On d´efinie la suite (vn) pour tout n∈N par
vn = 1− 2 un+ 2 1. Montrer que la suite (vn)n∈N est born´ee.
2. Montrer que, si (un)n∈N est d´ecroissante, alors (vn)n∈N est aussi d´ecroissante.
Exercice 4 (5 points) : Soit f la fonction d´efinie sur l’intervalle ]−1 ; +∞[ par : f(x) = 3− 4
x+ 1. On consid`ere la suite d´efinie pour tout n∈N par :
u0 = 4
un+1 = f(un)
1. On a trac´e ci-dessous, la courbe C repr´esentative de la fonctionf sur l’intervalle [0 ; +∞[ et la droite D d’´equation y=x.
a) Sur le graphique, placer sur l’axe des abscisses, u0, u1, u2 etu3. Faire apparaˆıtre les traits de construction.
b) Que peut-on conjecturer sur le sens de variation et la convergence de la suite (un) ? 2. Dans cette question, nous allons d´emontrer les conjectures formul´ees `a la question 1. b.
a) D´emontrer par un raisonnement par r´ecurrence que un>1 pour tout n ∈N. b) Montrer que pour tout n∈N, on a : un+1 6un.
c) question bonus : d´eterminer la limite de la suite (un).
1 2 3 4
−1
1 2 3 4 5
−1 O #–ı
#–
D
C
