Correction devoir n°5

Terminale S2 Jeudi 13 janvier 2003

DEVOIR SURVEILLE n°5

Exercice n°1 : (Asie, juin 2001)

Le plan est rapporté a un repère orthonormal direct (O, u ,

v)

On appelle f l'application qui a tout point M d'affixe z (z ≠ 1) associe le point M' d'affixe z' telle que : z’ =− iz − 2

z + 1

Soient A, B et C les points d'affixe respectives a = −1 , b = 2i , c = −i

1. Soit C' l'image du point C par f. Donner l'affixe c' du point C' sous forme algébrique puis sous forme trigonométrique.

2. Calculer l'affixe d du point D ayant pour image par f le point D' d'affixe d' = 1 2.

3. Pour tout nombre complexe z différent de −1 on note p le module de z + 1 (c'est à dire |z + 1|

= p) et p' le module de z' + i (c'est à dire |z' + i| = p')

a. Démontrer que, pour tout nombre complexe z différent de −1, on a : pp’ = 5.

b. Si le point M appartient au cercle (Γ) de centre A de rayon 2, montrer alors que M' = f(M) appartient au cercle (Γ') dont on précisera le centre et le rayon.

4. Pour tout nombre complexe z différent de −1 , on considère le nombre complexe µ tel que :

a. Interpréter géométriquement l'argument du nombre complexe µ.

b. Montrer que z'= -iµ.

c. Déterminer l'ensemble (F) des points M d'affixe z telle que z' soit un réel non nul.

d. Vérifier que le point D appartient aux ensembles (F) et (Γ).

5. Représenter les ensembles (F) , (Γ) et (Γ') en prenant 4 cm pour unité graphique.

Terminale S2 Jeudi 13 janvier 2003

Correction devoir n°5

1. Un simple calcul montre que l'affixe de f(C) est : c’ = −32 − 3 2i

2. Il suffit de résoudre l'équation f(z) = ½ . On obtient alors d = -1 + 2i . 3. p = |z +1| et p' = |z' + i|.

a) Si z est différent de -1, alors:

b) M appartient au cercle de centre A et de rayon 2 si et seulement si AM=2.

Ceci, en passant par les affixes des points, signifie que |z + 1| = 2.

D'après la question précédente, en prenant p = 2, on a alors:

|z +1|.|z + i| = 2p' d'où : . La distance CM' est donc . M' appartient donc au cercle (Γ') de centre Γ et de rayon

4. a) L'argument de µ est l'angle

 MA, 

MB .

Cela correspondant à l'angle en M du triangle AMB.

b) C'est un simple calcul sans difficulté en remarquant que i² = -1.

c) Comme z' =-i µ, dire que z' est un réel revient à dire que µ est un imaginaire pure.

Donc qu'un argument de µ soit -π/2 ou π/2.

Donc, d'après le résultat de la question 4:a) , que le triangle (AMB) soit rectangle en M.

Donc, que le point M appartient au cercle de diamètre [AB] moins le point A . L'ensemble (F) est donc le cercle de diamètre [AB] auquel on retire le point A.

d) Comme f(d) = ½ et que |a-d| = 2 (simple vérification!) on peut dire que D appartient bien à (F) et à (Γ).