1. Soit'l'appliationomplexeassoiéeàf.Alors'(z)estdelafor me
'(z)ÆazÅb , a2C,b2C
f estdonunesimilitudederappor tjajetd'angleArg(a).(0,25pt)
jajÆ p
3Å1Æ2etaÆjaj
¡ p
3
2
¡ 1
2 i
!
Æjaj µ
os µ
¡ 5¼
6
¶
Åisin µ
¡ 5¼
6
¶¶
Donfestderappor t2etunemesuredesonangleest¡ 5¼
6
(0,25pt)Å(0,25pt)
Onherheàprésentd'éventuelsinvar iantsenrésolvantl'équation'(z)Æz.Onobtientommeuniquesolutioni:f est
dondeentre(i)(0,25pt)
2. De z¡¡¡!
M
0 Æz
o
¡iÆ p
3
4
¡ 1
4 iÆ
1
2
¡
e
¡i
¼
/6
¢
,ondéduitque
M
0 Æ1/
2
¡
¡
!
u,
¡¡¡!
M
0
¢
Æ¡¼/
6
Å2k¼, k2Z
(0,5pt)
3. a) Onadmireletravail:(0,5pt)
M
0 M
1
M
2
M
3
b) SoitnunentiernatureletP(n)lapropr iété:«z
n
¡iÆ2 n
e i
7n¼
/
6
(z
0
¡i)»
. 2 0
e i
7£0¼
/
6
(z
0
¡i)Æz
0
¡i,donP(0)estvraie.
. Onpeutdonsupposerqu'ilexisteunentiernaturelktelqueP(k)soitvraie. z
kÅ1
¡iÆ'(z
k )¡i
Æ2e
¡ 5i¼
/
6
(z
k
¡i)
Æ2e
¡ 5i¼
/
6
£2 k
e 7ki¼
/
6
(z
0
¡i)
Æ2 kÅ1
e
7kÅ7¡12i¼
/
6
Æ2 kÅ1
e 7(kÅ1)i¼
/
6
DonP(k)vraieÆ)P(kÅ1)vraie
. NousavonsdonprouvéparréurrenequeP(n)étaitvraiepourtoutentiernatureln.(1pt)
Oronamontrépréédemmentquez
0
¡z
Æz
0
¡iÆ 1
2 e
¡ i¼
/6
,don(0,5pt)
z
n
¡iÆ2 n¡1
e (7n¡1)i¼
/6
) OnendéduitqueM
n Æjz
n
¡ijÆ2 n¡1
.
Onherhelepluspetitentierntelque2
n¡1>102.Or26Æ64Ç102Ç27Æ128.L'entierherhéestdon7.(0,5pt)
a) 7£(¡5)¡12£(¡3)Æ¡35Å36Æ1,donleouple(¡5;3)estsolutionde(E).(0,5pt)Larésolutionhabituelle(fours)
donne
b) Commesonnoml'indique,¢estldemi-droiteparallèleàl'axedesabsissesetpassantpar.
Onherhelesentiersntelsqueleveteur
¡¡¡!
M
n
soitolinéaireà
¡
!
u,'estàdiretelque
Arg(z¡¡¡!
Mn
)Æ2k¼,k2Z
Or z¡¡¡!
M
n Æz
n
¡Æ2 n¡1
e (7n¡1)i¼
/6
.
Lesentiersherhéssontdonlessolutionsde
(7n¡1)¼
6
Æ2k¼, k2Zi.e.lessolutionsde(E).L'ensembleherhéest
donS \N.Sonpluspetitélémentest¡5Å12Æ7.(0,5pt)
![B = ……………………….. B = ……………………….. B = ……………………….. B = ……………………….. B = ………… B = ……………………….. B = ………………… B = /f{ µ/µ + µ/µ ; µ + µ/µ } 4 [3 ] A = ……………… A = …… A = …………………….. A = …………… A = /f{ µ/µ ; µ/µ } 3 [2 ] 2 [1 ] Interrogation n° 14 – C ours n° 2 du C h](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///wAAACH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==)