Sujet Droit
Devoir surveill´e de math´ematiques n
◦2
Exercice 1
On consid`ere les fonctions f(x) =x3−4x+ 2 etg(x) =−x2−2x+ 2.
1. Construire leurs courbes repr´esentatives dans un rep`ere orthonorm´e.(unit´e : 2cm)
2. R´esoudre graphiquement l’´equation f(x) =g(x). (faire figurer les solutions sur le graphique)
3. R´esoudre graphiquement l’in´equationf(x)< g(x). (faire figurer les solutions sur le graphique)
Exercice 2
1. Dresser le tableau de variations de la fonction cosinus sur l’intervalle [−π2;π2].
2. En d´eduire un encadrement de cosx pour −π6 < x < π3.
Exercice 3
D´eterminer l’ensemble de d´efinition de chacune des fonctions suivantes : f :x 7→ 3x−1
3x2+ 5x−2 g:x 7→
p2x2+ 3x−2 h:x 7→
r2 +x 3−x
Exercice 4
On consid`ere la fonction f(x) =x2−2x+ 3.
1. Prouver quef(1 +h) =f(1−h) pour tout h∈R.
2. En d´eduire l’existence d’une sym´etrie de la courbe repr´esentative de la fonctionf dans un rep`ere orthonorm´e.
Exercice 5
D´eterminer l’ensemble de d´efinition ainsi que les variations de la fonction v◦udans chacun des cas suivants :
u(x) =x2 et v(x) =x+ 5 u(x) =x+ 2 et v(x) = 1
x u(x) =x−3 et v(x) =√
x
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Sujet Droit Devoir surveill´e de math´ematiques n◦2
Probl` eme
L’objet de ce probl`eme est l’´etude des variations de la fonction f(x) = ax2+bx+c1 a, b, c∈R. 1. ´Etude d’un exemple
On consid`ere la fonction g:x7→ x2+x1−2
1.1 D´eterminer l’ensemble de d´efinition de la fonctiong.
1.2 Donner l’ensemble de d´efinition et les variations de la fonction v(x) = 1x.
1.3 D´eterminer l’ensemble de d´efinition et les variations de la fonctionu(x) =x2+x−2.
(on pourra utiliser la forme canonique d’un trinˆome du second degr´e)
1.4 D´eterminer `a quel intervalle appartientu(x) dans chacun des cas suivants : x∈]− ∞;−2[ ; x∈ ]−2;−1
2] ; x∈[−1
2; 1[ et x∈ ]1; +∞[ 1.5 En d´eduire le tableau de variations de la fonctiong.
(on pourra d´ecomposergsous la formeg=v◦u)
2. ´Etude du cas g´en´eral
2.1 D´eterminer en fonction dea,betcles r´eels metntels queax2+bx+c=a(x−m)2+n.
(on donnera le d´etail des calculs)
2.2 En d´eduire le tableau de variations de la fonction u(x) =ax2+bx+c pour a > 0 puis pour a <0.
(on fera figurer dans le tableau les valeursmetn)
2.3 En d´eduire le tableau de signe de la fonction u dans les diff´erents cas suivants :
a >0 et n >0 ; a >0 et n <0 ; a <0 et n <0 ; a <0 et n >0
(on noterax1 etx2 les racines ´eventuelles deu)
2.4 En d´eduire le tableau de variations de la fonctionf dans les diff´erents cas pr´ec´edents.
(on pourra d´ecomposerf sous la formef=v◦uavecv(x) = 1x)
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