Sujet Droit
Devoir surveill´e de math´ematiques n
◦6
Questions de Cours
1. R´ediger l’´enonc´e ainsi que la d´emonstration du th´eor`eme de d´erivation de la fonction carr´e.
2. R´ediger l’´enonc´e ainsi que la d´emonstration du th´eor`eme de d´erivation du produit de deux fonctions.
Exercice 1
Pour chacune des fonctions suivantes, d´eterminer l’ensemble de d´efinition ainsi que le ou les intervalles sur le(s)quel(s) la fonction est d´erivable puis exprimer la fonction d´eriv´ee (expliciter les ´etapes de calcul):
f1(x) = (x2−3) sinx f2(x) = x2−1
2x+ 3 f3(x) =√
3x−4 f4(x) = 1
x2−9
Exercice 2
On consid`ere la fonction f(x) = 2x3+ 3x2−12x−7.
1. Prouver que la fonction f est d´efinie et d´erivable surRet exprimer f′(x).
2. ´Etudier le signe def′(x).
3. Dresser le tableau de variations de la fonctionf.
Exercice 3
On consid`ere la fonction g(x) = x−2 x−1 .
1. ´Etudier la d´erivabilit´e ainsi que les variations de la fonction g.
2. On appelleCg la courbe repr´esentative de la fonction g.
(a) D´eterminer les coordonn´ees du point d’intersectionAdeCg avec l’axe des ordonn´ees puis donner une ´equation de la tangenteTA `a la courbeCg en A.
(b) D´eterminer les coordonn´ees du point d’intersection B de Cg avec l’axe des abscisses puis donner une ´equation de la tangenteTB `a la courbe Cg enB.
(c) Tracer dans un mˆeme rep`ere TA,TB etCg.
1/2
Sujet Droit Devoir surveill´e de math´ematiques n◦6
Exercice 4
(In´egalit´e de Bernoulli)1. On consid`ere la fonctionf(x) = (1 +x)n ; n∈N∗.
(a) Montrer que la fonctionf est d´efinie et d´erivable sur l’intervalle [0; +∞[ et calculer f′(x).
(b) D´eterminer le tableau de variations de la fonctionf sur l’intervalle [0; +∞[.
(c) En d´eduire que pour toutx>0 on a (1 +x)n>1.
2. On consid`ere la fonctiong(x) = (1 +x)n−1−nx ; n∈N∗.
(a) Montrer que la fonction g est d´efinie et d´erivable sur l’intervalle [0; +∞[ et calculer g′(x).
(b) Prouver que g′(x) > 0 pour x ∈ [0; +∞[, d´eterminer le tableau de variations de la fonctiong sur l’intervalle [0; +∞[.
(c) En d´eduire que pour toutx>0 on a (1 +x)n>1 +nx.
Exercice 5
(Construction g´eom´etrique d’une tangente `a une parabole)On rappelle que sif est une fonction d´efinie et d´erivable sur un intervalleI deRavecx0∈I, l’´equation r´eduite de la tangente au pointM0(x0;f(x0)) est y=f(x0) +f′(x0)(x−x0).
Dans un rep`ere orthonorm´e (O,−→i ,−→j) du plan, on consid`ere une parabole d’´equationy=ax2 avec a∈R. ´Etant donn´e un pointM0(x0;y0) de la parabole, on d´efinit le point N, intersection de l’axe des ordonn´ees avec la droite parall`ele `a l’axe des abscisses passant par le point M0 et le pointP, intersection de l’axe des ordonn´ees avec la tangente `a la parabole enM0.
1. Faire une figure `a main lev´ee.
2. Exprimer l’´equation r´eduite de la tangente `a la parabole en M0, montrer que l’ordonn´ee
`
a l’origine de cette tangente est−ax20.
3. D´eterminer les coordonn´ees des points N et P dans le rep`ere (O,−→i ,−→j), en d´eduire que le pointO est le milieu du segment [N P].
4. D´efinir une m´ethode g´eom´etrique de construction de la tangente en un point quelconque d’une parabole.
2/2
