A10090. Les nombres jolis
J’appelle “nombre joli” un nombre entier, strictement positif, dont les chiffres (en ´ecriture d´ecimale) sont tous diff´erents et vont strictement en croissant de gauche `a droite.
a) Combien existe-t-il de nombres jolis ? b) Combien sont multiples de 11 ? Solution
a) 511. A chaque nombre joli correspond un sous-ensemble non vide de l’ensemble {1,2,3,4,5,6,7,8,9} qui a 9 ´el´ements, et r´eciproquement. Tout ensemble den´el´ements a 2nsous-ensembles distincts, dont un vide. Il existe donc 29−1 = 511 nombres jolis.
b) Aucun. S’il existait un nombre joli abcd . . . n qui soit multiple de 11, le nombre obtenu en rempla¸cant les deux premiers chiffres abpar le chiffre de la diff´erenceb−aserait encore un nombre joli multiple de 11. En poursuivant ces remplacements, on obtiendrait un nombre joli multiple de 11 ayant un seul chiffre, nombre qui ne peut pas exister.
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