D 255 Vrai ou faux

D 255 Vrai ou faux Solution de Michel Lafond Pour Q1, c’est FAUX.

En effet, Prenons dans le plan muni d’un repère orthonormé les points : A (0, 0) B (2, 2 3) C (

13 3 ,14 13

59 ) et D (1, 0).

Le quadrilatère (ABCD) est convexe (Voir la figure à la fin).

BD = 13 AD = 1 et AB = 4.

Or BD² = AB² + AD² – 2 AB.AD cos (A) donne cos (A) = ½ d’où A = 60°.

CB = 3 et CD = 4.

Or BD² = CB² + CD² – 2 CB.CD cos (C) donne cos (C) = ½ d’où C = 60°.

On a bien AB = CD et A = C mais (ABCD) n’est pas un parallélogramme.

Pour Q2, c’est VRAI.

Les deux quadrilatères ci-dessous ne sont pas isométriques, et pourtant les 6 dimensions des côtés et diagonales sont les mêmes : [1, 1, a, b, b, c] avec :

a = 2 21,85 b = 212,41 et c = 42 2 2,61.

Explications : La figure 1 est composée de deux triangles rectangles égaux de côtés 1, b, c et d’angles aigus  / 8 et 3 / 8. b = 21 d’où c = 42 2 .

A

B

C

D 60°

60°

a a

b

b c

c

b b

1

1 1 1

Figure 1 Figure 2

 / 8

 / 8

A H

D C

B

a vaut 2 b sin ( / 8) =  

 2

2 ) 2

1 2 (

2 2 2 .

Dans la figure 2, on retrouve les deux triangles rectangles disposés différemment, et il reste juste à vérifier que CD = a.

Or AH = b cos ( / 8) =

2 2 7 10 2

2 ) 2

1 2

(     et BH = sin ( / 8) =

2 2 2

Donc CD = AH – BH = 2

2 7 10 

2 2 2

= 2 2 comme le montrent quelques élévations au carré. On a bien CD = a.