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Solution de Raymond Bloch.

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Academic year: 2022

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A414 ‒ Yo-yo sur les moyennes [** à la main]

Soit la suite S des n premiers nombres entiers consécutifs: 1,2,... n qui contient trois entiers a,b et c.

Soit m la moyenne arithmétique de S.

Si on retranche a de S, m augmente de 1% exactement.

Si on retranche b de S, m diminue de 1% exactement.

Si on retranche c de S, m augmente de 2% exactement.

Déterminez les quatre entiers n,a,b et c.Justifiez votre réponse

Solution de Raymond Bloch.

Les données :

n(n+1)/2 – a = 1,01 (n-1)(n+1)/2 n(n+1)/2 – b = 0,99 (n-1)(n+1)/2 n(n+1)/2 – c = 1,02 (n-1)(n+1)/2

On note que la condition c > 0 implique n < 51.

Les termes de gauche des trois équations sont entiers, puisque l’un de n ou (n+1) est pair. Pour que les trois termes de droite soient également entiers, il faut que (n-1)(n+1)/2 soit un multiple de 100, avec n < 51 : l’unique solution se produit pour n = 49.

Les trois équations permettent, pour n = 49, de calculer a, b et c : a = 13, b = 37 et c = 1.

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