E632. À l’Auberge du Chapeau ****
À l’Auberge du Chapeau, 24 convives sont assis autour d’une grande table circulaire. Chacun d’eux porte un chapeau, noir ou blanc, dont il ignore la couleur mais peut voir la couleur des chapeaux portés par les autres commensaux.
L’aubergiste leur demande de déclarer, tous en même temps, à haute voix, la couleur de leur propre cha- peau. Si au moins la moitié d’entre eux font des déclarations correctes, le repas est offert à toute la tablée.
Si non, ce sera pour tout le monde le repas au prix fort.
Q1−Démontrer que les convives peuvent s’assurer la gratuité du repas.
Q2−Le scénario est le même que précédemment avec 24 convives, 4 couleurs de chapeau : noir ou blanc ou bleu ou rouge et l’aubergiste offre le repas si au moins six convives font des déclarations correctes. La gratuité est-elle assurée ?
Solution de Claude Felloneau
Q1−Il suffit que chacun 12 premiers convives choisisse la couleur qu’il voit exactement un nombre pair de fois et que chacun des 12 derniers convives choisisse la couleur qu’il voit exactement un nombre im- pair de fois.
Soientnle nombre de chapeaux noirs etble nombre de chapeaux blancs parmi les 24 convives.
— Sinest impair alorsbest impair et les 12 premiers convives font une déclaration correcte.
En effet, si un tel convive a un chapeau noir, il voitn−1 (pair) chapeaux noirs etb(impair) cha- peaux blancs, donc il déclare avoir un chapeau noir. De même, si un tel convive a un chapeau blanc, il voitn(impair) chapeaux noirs etb−1 (pair) chapeaux blancs, donc il déclare avoir un chapeau blanc.
— Sinest pair alorsbest pair. Les 12 derniers convives font une déclaration correcte.
En effet, si un tel convive a un chapeau noir, il voitn−1 (impair) chapeaux noirs etb(pair) cha- peaux blancs, donc il déclare avoir un chapeau noir. De même, si un tel convive a un chapeau blanc, il voitn(pair) chapeaux noirs etb−1 (impair) chapeaux blancs, donc il déclare avoir un chapeau blanc.
Ainsi au moins 12 convives font une déclaration correcte. La gratuité est assurée.
Q2−Oui, la gratuité est assurée.
Les quatre couleurs sont notéesC1,C2,C3,C4. On répartit les convives en quatre groupes. Si un convive voitni chapeaux de couleurCi pour 16i64, commen1+n2+n3+n4=23, l’un des entiersni a une parité différente de celle des trois autres. Soiti0 l’indice de cet entier, le convive sélectionne la couleur Ci0et utilise le tableau de décision ci-dessous pour déterminer la couleur à déclarer en tenant compte du groupe auquel il appartient.
Couleur sélectionnée Couleur déclarée
Groupe 1 Groupe 2 Groupe 3 Groupe 4
C1 C1 C4 C3 C2
C2 C2 C3 C4 C1
C3 C3 C2 C1 C4
C4 C4 C1 C2 C3
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Pour 16i 64, on note respectivement Ni le nombre de chapeaux de couleurCi portés par les 24 convives. CommeN1+N2+N3+N4=24, les entiersNi sont tous de même parité ou deux sont pairs et deux sont impairs.
1. Si lesNi(16i64) sont de même parité, les convives du groupe 1 font une déclaration correcte.
En effet, si un convive du groupe 1 a un chapeau de couleurCi,ni=Ni−1 est de parité différente denj=Njpourj6=i, donc la couleur sélectionnée estCi et la couleur déclarée estCi.
2. SiN1etN4sont de même parité etN2etN3de l’autre parité, alors les convives du groupe 2 font une déclaration correcte.
En effet, si un convive du groupe 2 a un chapeau de couleurCi,ni=Ni−1 etnj=Njpourj6=i doncn5−i est de parité différente de celle des trois autres et la couleur sélectionnée estC5−i. D’après la colonne du groupe 2, la couleur déclarée estCi.
3. SiN1etN3sont de même parité etN2etN4de l’autre parité, alors les convives du groupe 3 font une déclaration correcte.
En effet, il suffit de permuterC3etC4pour se ramener au cas précédent. Or lorsqu’on permute C3 etC4 dans le tableau et que l’on réordonne la première colonne, la nouvelle colonne du groupe 2 est l’ancienne du groupe 3.
4. SiN1etN2sont de même parité etN3etN4de l’autre parité, alors les convives du groupe 4 font une déclaration correcte.
En effet, il suffit de permuterC2etC4pour se ramener au deuxième cas.
Dans chaque cas, les convives de l’un des quatre groupes font une déclaration correcte. Pour que la gra- tuité soit assurée, il suffit que chaque groupe soit constitué d’au moins six convives, ce qui est possible puisqu’ils sont 24.
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