E632 ‒ A l'Auberge du Chapeau [**** à la main]
A l'Auberge du Chapeau, 24 convives sont assis autour d'une grande table circulaire. Chacun d'eux porte un chapeau, noir ou blanc, dont il ignore la couleur mais peut voir la couleur des chapeaux portés par les autres commensaux
L'aubergiste leur demande de déclarer, tous en même temps, à haute voix, la couleur de leur propre chapeau.
Si au moins la moitié d'entre eux font des déclarations correctes, le repas est offert à toute la tablée. Si non, ce sera pour tout le monde le repas au prix fort.
Q₁ Démontrer que les convives peuvent s'assurer la gratuité du repas.
Q₂ Le scénario est le même que précédemment avec 24 convives, 4 couleurs de chapeau: noir ou blanc ou bleu ou rouge et l'aubergiste offre le repas si au moins six convives font des déclarations correctes. La gratuité est-elle assurée?
Solution proposée par Marie-Christine Piquet
Les convives sont avant tout des logiciens ; mais pas l'aubergiste. Et c'est de leurs observations du tour de table que va dépendre la vitesse de leur réponse .
En effet , il importe moins pour chacun des convives de connaître la couleur de son chapeau que de conclure à la couleur commune qu'il va
donner à l'aubergiste. Par la suite ils vont convenir d'un temps d'attente en cas d'incertitude pour tout le monde ; ils vont donner aussi une priorité pour les couleurs ( blanc pour Q1 ) et la couleur dominante qui est la première dans l'ordre alphabétique. ex: bleu avec bleu et rouge pour Q2
Ils vont aussi utiliser le temps ( puisque le temps c'est de l'argent) : 5 secondes pour une couleur sûre , 10 secondes pour un litige entre 2 couleurs et 15 secondes avec 3 couleurs .
Q1
a) Si l'une des 2 couleurs ( noir par exemple ) est majoritaire , les 2 couleurs diffèrent d'un nombre pair 2
<= p <= 22 ; ex: n = 13 & b = 11
Dans ce cas chaque noir voit 12n et 11b et chaque blanc voit 13n et 10b ; tout le monde a la certitude que chaque convive connaît la couleur dominante : le noir . Au pire pour les convives voyant 12 noirs il peut encore y avoir égalité des 2 couleurs puisque chacun ignore sa propre couleur. Mais les blancs n'hésitent pas.
Dans les 5 secondes qui suivent , un des convives voyant 13 noirs va crier : "Mon chapeau est ..." et tout le monde enchaine : "noir".
Le repas est gratuit .
b) Autour de la table il y a 12 chapeaux blancs et 12 chapeaux noirs . Chacun voit ou 12n et 11b ou 11n et 12b . Dans ce cas unique , aucun des 24 convives n'a de certitude ; chacun ignorant ce qu'il porte sur sa tête .
Ils vont attendre une dizaine de seconde et l'un des convives va crier : "mon chapeau est... " , et tout le monde enchaine : " blanc " .
Et le repas est gratuit .
Q2 _ Il y a 4 couleurs ( bc , bl , n & r )
a) Il y a 6 chapeaux par couleur et tous l'ignore bien évidemment .
Dans cet unique cas , chacun des 24 convives , ignorant sa propre couleur , voit : 6 , 6 , 6 & 5 . Et là , il ne se passe rien durant les 5 premières
secondes . Normal , puisque personne n'observe de couleur majoritaire . Tous ont compris qu'ils étaient dans la même situation.
Au bout de 10 secondes tous vont dire : " mon chapeau est de couleur ..." et tout le monde enchaine " blanc "
(en tête de liste alphabétique). Six d'entre eux ont raison (les blancs). Le repas est gratuit .
b) Il y a un chapeau majoritaire ( par exemple 7 noirs , 6 blancs , 6 rouges et 5 bleus .) Chacun des convives va raisonner ainsi :
Un possesseur de chapeau noir voit 6n , 6 bc , 6r & 5bl . Ce convive est dans la même situation qu'en a) Un possesseur de chapeau blanc voit 7n , 5bc , 6r & 5bl . Ce convive voit une majorité de chapeaux noirs . Un possesseur de chapeau rouge voit 7n , 6bc , 5r & 5bl . Ce convive voit une majorité de chapeaux noirs.
Un possesseur de chapeau bleu voit 7n , 6bc , 6r & 4bl . Ce convive voit une majorité de chapeaux noir . Chacun des 17 convives ( bleu , blanc , rouge ) sait que noir est majoritaire . Dans les 5 secondes ils vont tous affirmer :
" mon chapeau est de couleur ...." les 24 enchainent : " noir " ; les noirs ont su faire la déduction puisqu'ils ont vu que les 3 autres couleurs
se lançaient . Le repas est donc gratuit.
c) Il y a 2 chapeaux majoritaires . ex: 3 noirs , 5 blancs , 8 rouges et 8 bleus .
Un possesseur de chapeau noir voit 2n , 5 bc , 8r & 8bl . Ce convive voit 2 couleurs dominantes ( rouge et bleu ).
Un possesseur de chapeau blanc voit 3n , 4bc , 8r & 8bl . Ce convive voit 2 couleurs dominantes ( rouge et bleu ).
Un possesseur de chapeau rouge voit 3n , 5bc , 7r & 8bl . Ce convive voit une majorité de chapeaux bleus mais il sait que rouge peut être majoritaire tout comme bleu.
Un possesseur de chapeau bleu voit 3n , 5bc , 8r & 7bl . Ce convive voit une majorité de chapeaux rouges mais il sait que bleu peut être aussi majoritaire .
Dans ce cas chacun des convives portant des chapeaux blanc , rouge ou noir sait qu'il doit choisir rouge ou bleu et sait aussi qu'un convive voyant
3n , 5bc , 8r & 7bl (hypothétique porteur de chapeau bleu puisque les autres attendront 10 secondes.) ne peut pas se prononcer en 5 secondes.
Au bout de 10 secondes tous les convives portant des chapeaux blancs , rouges et noirs proclament : " mon chapeau est de couleur " .... et tous
enchainent : "bleue " . Les hypothétiques porteurs de chapeau bleu ont vu les 10 secondes s'écouler et en ont conclu que tous devaient utiliser
l'ordre alphabétique pour les couleurs rouge et bleue . Le repas est encore gratuit.
d) Avec 3 chapeaux majoritaires ; ex: ( 7r , 7n , 7bc, 3bl ) le raisonnement est le même qu'en c) le blanc sera choisi au bout de 15 secondes.
Dans ce dernier cas ce sont les 3 convives voyant 3 couleurs dominantes qui , ne se prononçant qu'au bout de 15 secondes , ont fait comprendre
aux trois autres groupes qu'il n'y avait pas égalité entre 2 couleurs dominantes , mais 3 couleurs ( rouge , noir et blanc ).
Pour conclure , l'aubergiste est toujours le payeur .
