E632 ‒ A l'Auberge du Chapeau [**** à la main]
A l'Auberge du Chapeau, 24 convives sont assis autour d'une grande table circulaire. Chacun d'eux porte un chapeau, noir ou blanc, dont il ignore la couleur mais peut voir la couleur des chapeaux portés par les autres commensaux
L'aubergiste leur demande de déclarer, tous en même temps, à haute voix, la couleur de leur propre chapeau.
Si au moins la moitié d'entre eux font des déclarations correctes, le repas est offert à toute la tablée. Si non, ce sera pour tout le monde le repas au prix fort.
Q₁ Démontrer que les convives peuvent s'assurer la gratuité du repas.
Q₂ Le scénario est le même que précédemment avec 24 convives, 4 couleurs de chapeau: noir ou blanc ou bleu ou rouge et l'aubergiste offre le repas si au moins six convives font des déclarations correctes. La gratuité est-elle assurée?
Solution proposée par Daniel Collignon
Q1
Pour la personne de rang i, avec 1=<i=<24, notons c_i = 0 lorsque son chapeau est blanc, ou 1 si noir.
Soit s=sum(i=1..24, c_i).
La personne i répond alors i - (s - c_i) (mod 2), en précisant que s-c_i correspond à la somme des couleurs vues par cette personne.
Alors i - (s - c_i) = c_i (mod 2) <=> i=s (mod 2) ce qui sera vrai pour exactement 1 personne sur 2, soit 12 personnes, puisqu'il y a 12 pairs (2,4,...,24) et 12 impairs (1,3,...,23)
Q2
Pour la personne i, avec 1=<i=<24, notons c_i = 0 lorsque son chapeau est blanc, 1 si noir, 2 si bleu, ou 3 si rouge.
Soit s=sum(i=1..24, c_i).
La personne i répond alors i - (s - c_i) (mod 4).
Alors i - (s - c_i) = c_i (mod 4) <=> i=s (mod 4) ce qui sera vrai pour exactement 1 personne sur 4, soit 6 personnes, puisque les rangs se répartissent en 4 classes de 6.
Le problème se généralise aisément à n=cd personnes, c couleurs et au moins d déclarations correctes.me façon en fonction de ce qu’ils voient et que qu’elle que soit la répartition initiale, on a toujours soit les pairs soit les impairs qui ont fait le bon choix (en gras sur le tableau).
