E632. A l'Auberge du Chapeau
A l'Auberge du Chapeau, 24 convives sont assis autour d'une grande table circulaire. Chacun d'eux porte un chapeau, noir ou blanc, dont il ignore la couleur mais peut voir la couleur des chapeaux portés par les autres commensaux
L'aubergiste leur demande de déclarer, tous en même temps, à haute voix, la couleur de leur propre chapeau. Si au moins la moitié d'entre eux font des déclarations correctes, le repas est offert à toute la tablée. Si non, ce sera pour tout le monde le repas au prix fort.
Q₁ Démontrer que les convives peuvent s'assurer la gratuité du repas.
Q₂ Le scénario est le même que précédemment avec 24 convives, 4 couleurs de chapeau: noir ou blanc ou bleu ou rouge et l'aubergiste offre le repas si au moins six convives font des déclarations
correctes. La gratuité est-elle assurée?
Dans les deux cas, le problème est similaire... On va admettre que les 24 compère affamés aient pu se mettre d'accord sur une stratégie avant d'arriver à l'auberge.
Question 1 :
12 d'entre eux ont misé sur le fait que le nombre de chapeaux noirs serait pair.
Les 12 autres ont misé sur le fait que celui-ci serait impair.
Une fois à table, quel que soit le nombre de chapeaux de chaque couleur, ils se retrouveront dans un de ces deux cas de figure. L'information sur la parité permet à ceux qui ont misé sur la bonne configuration de deviner la couleur de leur chapeau par observation de la couleur du chapeau des autres.
Exactement 12 d'entre eux devineront donc la couleur de leur chapeau.
La gratuité est assurée.
Question 2 :
Même problème, même solution... Il faut juste comprendre que la notion de parité n'est qu'un raisonnement modulo 2.
Ici, il convient de mettre en place un raisonnement modulo 4.
Noir = 1 Blanc = 2 Bleu = 3 et Rouge = 4
6 convives misent que la somme des couleurs des chapeaux sera nulle modulo 4.
6 convives misent que la somme des couleurs des chapeaux sera égale à 1 modulo 4.
6 convives misent que la somme des couleurs des chapeaux sera égale à 2 modulo 4.
6 convives misent que la somme des couleurs des chapeaux sera égale à 3 modulo 4.
De la même façon, exactement 6 d'entre eux devineront la couleur de leur chapeau.
