E632 ‒ A l'Auberge du Chapeau [**** à la main]
A l'Auberge du Chapeau, 24 convives sont assis autour d'une grande table circulaire. Chacun d'eux porte un chapeau, noir ou blanc, dont il ignore la couleur mais peut voir la couleur des chapeaux portés par les autres commensaux
L'aubergiste leur demande de déclarer, tous en même temps, à haute voix, la couleur de leur propre chapeau.
Si au moins la moitié d'entre eux font des déclarations correctes, le repas est offert à toute la tablée. Si non, ce sera pour tout le monde le repas au prix fort.
Q₁ Démontrer que les convives peuvent s'assurer la gratuité du repas.
Q₂ Le scénario est le même que précédemment avec 24 convives, 4 couleurs de chapeau: noir ou blanc ou bleu ou rouge et l'aubergiste offre le repas si au moins six convives font des déclarations correctes. La gratuité est-elle assurée?
Solution proposée par Jacques Guitonneau
Q1
Chaque personne voit 23 chapeaux et doit donc se déterminer en fonction de cette seule donnée. Quand un convive voit x noirs et 23-x blancs, cela veut dire qu’il y a soit x, soit x+1 noirs, soit 24-x ou 23-x blancs, donc que les blancs voient x+1 noirs et 22-x blancs et que les noirs voient x noirs et 23- x blancs ou x-1 noirs et 24-x blancs.
Les convives ne votent qu’en fonction de ce qu’ils voient et ils auront donc toujours une chance sur deux de se tromper, mais en coordonnant la façon de voter des convives on peut s’assurer qu’au moins la moitié d’entre eux auront donné la bonne réponse. Pour cela les convives se divisent au préalable en deux groupes , les pairs et les impairs et ils feront un choix différent suivant qu’ils soient pairs ou impairs.
Blancs Noirs B voient B B voient N N voient B N voient N
1 23 0 23 P / N Imp / B 1 22 P / B Imp /N
2 22 1 22 P / B Imp / N 2 21 P / N Imp / B
3 21 2 21 P / N Imp / B 3 20 P / B Imp /N
4 20 3 20 P / B Imp / N 4 19 P /N Imp /B
5 19 4 19 P / N Imp / B 5 18 P / B Imp /N
6 18 5 18 P / B Imp / N 6 17 P / N Imp / B
7 17 6 17 P / N Imp / B 7 16 P / B Imp /N
8 16 7 16 P / B Imp / N 8 15 P /N Imp /B
9 15 8 15 P / N Imp / B 9 14 P / B Imp /N
10 14 9 14 P / B Imp / N 10 13 P / N Imp / B
11 13 10 13 P / N Imp / B 11 12 P / B Imp /N
12 12 11 12 P / B Imp / N 12 11 P /N Imp /B
13 11 12 11 P / N Imp / B 13 10 P / B Imp /N
14 10 13 10 P / B Imp / N 14 9 P / N Imp / B
15 9 14 9 P / N Imp / B 15 8 P / B Imp /N
16 8 15 8 P / B Imp / N 16 7 P /N Imp /B
17 7 16 7 P / N Imp / B 17 6 P / B Imp /N
18 6 17 6 P / B Imp / N 18 5 P / N Imp / B
19 5 18 5 P / N Imp / B 19 4 P / B Imp /N
20 4 19 4 P / B Imp / N 20 3 P /N Imp /B
21 3 20 3 P / N Imp / B 21 2 P / B Imp /N
22 2 21 2 P / B Imp / N 22 1 P / N Imp / B
23 1 22 1 P / N Imp / B 23 0 P / B Imp /N
24 0 23 0 P / B Imp / N 0 0 P /N Imp /B
On constate que de cette façon les convives votent toujours de la même façon en fonction de ce qu’ils voient et que qu’elle que soit la répartition initiale, on a toujours soit les pairs soit les impairs qui ont fait le bon choix (en gras sur le tableau).
