A l'Auberge du Chapeau, 24 convives sont assis autour d'une grande table circulaire. Chacun d'eux porte un chapeau, noir ou blanc, dont il ignore la couleur mais peut voir la couleur des chapeaux portés par les autres commensaux
L'aubergiste leur demande de déclarer, tous en même temps, à haute voix, la couleur de leur propre chapeau. Si au moins la moitié d'entre eux font des déclarations correctes, le repas est offert à toute la tablée. Si non, ce sera pour tout le monde le repas au prix fort.
Q₁ Démontrer que les convives peuvent s'assurer la gratuité du repas.
Q₂ Le scénario est le même que précédemment avec 24 convives, 4 couleurs de chapeau: noir ou blanc ou bleu ou rouge et l'aubergiste offre le repas si au moins six convives font des déclarations correctes. La gratuité est-elle assurée?
Donnons les numéros de 1 à 24 à chacun des convives autour de la table. Chacun voit un nombre total impair de chapeaux, donc des nombres de parité différente pour chaque couleur. Si la différence entre les nombres de chapeaux de chaque couleur est divisible par 4, chacun verra les chapeaux de sa propre couleur en nombre impair ; sinon en nombre pair.
Donc si chacun applique la même méthode pour choisir sa réponse, elles seront soit toutes exactes, soit toutes fausses.
Q1 : Selon la parité de son numéro, chacun doit répondre la couleur qu’il voit en nombre pair ou impair : on est sur ainsi d’avoir la moitié de réponses exactes.
Q2 : S’il y a quatre couleurs de chapeaux, il suffit de faire deux fois le calcul précédent avec les partitions (Blanc+Noir/Bleu+Rouge) et (Blanc+Bleu/Noir+Rouge) et pour chaque numéro n sa parité et celle de la partie entière de n/2. Selon la répartition des chapeau l’un des ensembles de 6 convives dont les numéros sont congrus à 0, 1, 2 ou 3 (mod 4) aura fait le bon choix.
