Chaie 1

(1)

Le langage de la logique

propositionnelle

Nousavonsvu quelalogiqueapourbutdereherherlesmoyensdebienraisonner.

Lalogiquepropositionnelleestunepremièrepartiedelalogique,quis'oupedelaombinai-

sondespropositions.

L'objetdeehapitreestd'exhiberlelangagedelalogiquepropositionnelle,avantdel'utiliser

pouranalyserdesraisonnements

(2)

1.1 Notion de proposition

1.1.1 Proposition et valeurs de vérité

Observation1.-Onappelleourammentpropositiontouténonéd'unfait,d'unévénement,d'un

jugement,d'unepensée. Parexemple:

Napoléonestnéen1769,

Napoléonestmorten1815,

2+2=4,

ilnefaitpashaud(sous-entenduàetinstant),

etteeurest rouge(endésignantuneeur).

Observation2.- Ces énonés sont soit vrai (par exemple le premier et le troisième énoné i-

dessus),soitfaux (parexempleledeuxièmeénoné i-dessus).Pourertainsnousnesavonspas

s'ils sont vrais ou faux, pour des raisons diverses (par exemple pour le quatrième énoné i-

dessus,puisqueeladépenddel'instantauquelonparleetdulieudanslequelonsetrouve;pour

le inquième, pare quenous ne voyonspas laeur en question), mais nous savonsqu'ilssont

soitvrai,soitfaux.

Lavéritéoulafaussetéd'unepropositionest appeléesavaleur de vérité ouvaleur logique.

Observation3.-Nousn'avonspasdénirigoureusementequ'estunepropositionouequ'estla

valeur de vérité.Celaparequenousnesavonspaslefaire(essayez!).Nousonsidèreronsdon

que e sontdes notions primitiveset nous ne donnerons seulement que l'approhe heuristique

suivante.

Une proposition est une phrase suseptible de reevoir l'une ou l'autre des deux valeurs

logiquessuivantes:levrai oulefaux.

Exemples.-Voirlesexemplesi-dessus.

Contre-exemples.- 1

o

)

hh

Truest blond

ii

,oùTrun'estpasautrementexpliité, n'estpasune proposition,arettephraseestvraieoufaussesuivantqueTrudésignePierre,PaulouJaques,

maisellen'apasdevaleurdevéritéxe.

2

o

)Un hienn'estpasuneproposition,e n'estmême pasune phrase.

Commentaires.-1

o

)Bienquel'approheheuristique préédentedee qu'estunepropositionne

donnelieuàauuneambiguïté,ilfautbienvoirqueen'estpasunedénitionrigoureuse,etei

pourdeux raisons:

-nousn'avonspasdéniequ'estunephrasedefaçonpréise;

-ilenestdemêmepourlevraietlefaux(bienqu'onpuissedirepourlefauxqu'uneproposition

estfausse siellen'estpasvraie,et donnoussommesramenésauseulproblèmepourlevrai).

Malheureusementnousnesavonspasommentfaireautrement,etilest mêmetrèsprobable

qu'ilnesoitpaspossibledefaireautrement.

2

o

)Nousavonsonsidéréqu'iln'yaquedeuxvaleurslogiquespossibles,levrai

et le faux. Il peut ependant quelquefois être intéressant d'en faire intervenir d'autrestel que

l'inertain.Cei onduitàdeslogiques nonlassiques,pluspartiulièrementàdeslogiques

(3)

1.1.2 Propositions omposées

Observation1.-Considéronslapropositionsuivante :

Napoléon estné en1769 etmort en1815.

Si on onnaît un tant soit peu l'histoire de Frane, on s'exlamera en général que ette

proposition estfausse puisqueNapoléonn'estpasmorten1815maisen1821. Approfondissons

ei.Enfaitonpeutdéomposerettepropositionendeuxpropositionsplussimplesliéesparle

motet:

Napoléon estné en1769

et:

(Napoléon est)mort en1815.

Ondit alorsquelapropositionest unepropositionomposée,lesdeux propositions liées

parlemotetétantappeléespropositionsomposantesetlemotetunonneteur.

Dans l'analyse du langage, on renontre ainsi denombreux onneteurs : et,ou, don, ar,

puisque...

Observation2.-La signiation d'une proposition omposée dépend toujoursdes signiations

des propositions omposantes. Mais, par ontre, lavaleur logique d'une proposition omposée

peutsouventsedéduireenfaisantabstrationdetoutontenudepenséeetseulementdesvaleurs

devéritédespropositionsomposantes.

Parexemplesoientdeuxpropositions,quenousnoteronssymboliquementrespetivementpar

P et parQ. Ilest lair que,dans lelangage ourant,la proposition

hh

P et Q

ii

est vraie si, et seulementsi, lesdeuxpropositionsPetQsontvraiesàlafois,et faussesinon.

Un onneteur est dit onneteur logique si, et seulement si, la valeur de vérité de la

propositionomposée ne dépendquedesvaleurslogiques despropositionsomposantes.

Remarque.- Il existe desonneteursqui nesontpas des onneteurslogiques. Parexemplele

onneteurpareque,qui sous-entendune relationdeauseàeet.Toutlemonde estd'aord

pourdirequelapropositionsuivanteest vraie:

Louis XVIestmort parequ'ileutla têtetranhée

etelle-iest delaformePpare que Q,oùPetQsontvraies.

Parontre toutlemondes'aorderaàdirequelaproposition suivante estfausse:

Louis XVIestmort pareque2+2=4

etpourtantelleest biendelaformeP parequeQ,avePetQvraies.

Ainsileonneteur

hh

pareque

ii

n'estpasunonneteurlogique.

Conlusion.- Onpeutdistinguerdeuxsortesdevérité:

- lavérité matérielleomme,parexemple,elle quiest attahéeaufaitqueNapoléon est

néen1769et quiestappriseparlasienehistorique(danseas),etpardiversesmatièresen

général;

- lavérité ombinatoire (ouformelle): parexemplelaproposition

hh

P et Q

ii

est vraie

si,et seulementsi,Pet Qsontvraiesàlafois, faussesinon.

L'objetde lalogique propositionnelleest d'étudierlavéritéombinatoire, 'est-à-direde

déterminerdansquels asunepropositionomposéeestvraie, onnaissantlesvaleursdevérité

(4)

Commentaire.-Commentreonnaissons-nouslavéritématérielled'uneproposition?

Toutlemonde estd'aord surlefait que

hh

Napoléon est néen 1769

ii

est une proposition

vraie.Pourquoi?Ceiestunsujetdéliatquin'appartientpasàlalogique,maisenl'ourrene

àlaméthodehistorique.Ladisiplinephilosophiqueappeléethéoriedelaonnaissaneapour

butderitiquerlesméthodes,tellequelaméthodehistorique,pourdéterminersiellesonduisent

àdesvéritésmatérielles(ounon).

Convention.- Dans la suite nous dirons toujours

hh

onneteur

ii

pour

hh

onneteur logique

ii

, puisquenous nenousintéresseronsiiqu'àeux-là.

(5)

1.2 Les onneteurs naturels

Nous venonsde voirlanotion de onneteur (logique).Nous allonsmaintenantreherher,

defaçonexhaustive,lesonneteursutilisésàtraverslelangage,qui reètentlalogiquepropo-

sitionnelleinonsientedenotreivilisation.

1.2.1 La négation

Dénition .-Danslesoursdegrammaireonapprendànierlespropositions.Àhaqueproposition

Ponassoie uneautreproposition,appeléelanégationdeP,quenousdésigneronsparnon-P.

LepassagedePànon-Pest régiparunensemblederèglesgrammatialesqui dépendentdela

langueutiliséeetdelaformedeP.Maisl'intentiondeetteopérationrésideenequenon-Pest

faussequandPestvraie, etvraiequandPest fausse.

Nouspouvonsrésumerettesituationparletableausuivant:

P non-P

vrai faux

faux vrai

appelé table de véritédelanégation.

Exemple.-ParexemplesiPest :

Napoléon estné en1769

sanégation,non-P,est :

Napoléon n'estpas néen 1769.

Danse as,Pestvraie,non-P estfausse.

1.2.2 La onjontion

Dénition .- Nous avons déjà vu que le mot

hh

et

ii

peut servir de onneteur logique reliant

deux propositions, disonsP et Q,pourformerune proposition notée

hh

P et Q

ii

,et appeléela

onjontiondePet deQ.

La proposition P et Q est vraie si,et seulement si, lespropositions P et Q sont vraiesàla

fois,faussesinon.Ceipeutserésumerparletableau suivant:

P Q PetQ

vrai vrai vrai

vrai faux faux

faux vrai faux

faux faux faux

appelé tablede vérité de la onjontion.

Remarque.- Le mot

hh

et

ii

sert souvent deonneteur logique dans le langageourant mais il

sertaussiquelquefois,etelamontretoutel'ambiguïtédeslanguesnaturelles,deonneteurnon

logiqueensous-entendantunenotiondeséquene,ommeparexemple,danslaphrase:

Ilmourut ettomba

diérente,dupointdevuedelavérité,delaphrase:

Iltombaetmourut

estinlusifouexlusif.Dansuntextemathématique,lesobjetsseronttropabstraits

pourela,d'où ettepréaution.

Dénition.-LadisjontiondedeuxpropositionsPetQestlapropositionomposée,notée

hh

P

ouQ

ii

,quiestfaussesi,etseulementsi,lespropositionsPetQsontfaussesàlafois,etquiest

vraiesinon.Ceipeutserésumerparletableausuivant:

P Q PouQ

vrai vrai vrai

vrai faux vrai

faux vrai vrai

faux faux faux

appelétable devérité de la disjontion.

Remarque.-Leouexlusifestégalementunonneteurlogique,notéex,quenousemploierons

peupourdesraisonsquenousverronsplustard,et dontlatabledevéritéestlasuivante :

P Q PexQ

vrai vrai faux

vrai faux vrai

faux vrai vrai

(7)

SiPalorsQ

ii

n'estaeptéequesiQaunrapport,quantàlasigniation, aveP.Parexempleuneexpressiontelleque:

Si leprixdulitre delait estde 1euroalors Londresest laapitale de la Frane

nousapparaît ommen'ayantpasbeauoup desens,sinon une plaisanterie. Cependant sinous

voulonsonsidérer

hh

Si...alors...

ii

ommeunonneteurlogique,nousdevonsluidonnersinon unsensaumoinsunevaleurlogique.

Dénition .-Onappelleimpliationleonneteurlogique

hh

si PalorsQ

ii

qui prend lavaleur fauxsi,etseulementsi,PestvraieetQestfausse.Ceipeutserésumerparletableausuivant:

P Q siPalorsQ

vrai vrai vrai

vrai faux faux

faux vrai vrai

faux faux vrai

appelé tablede vérité de l'impliation.

Problèmedeladéterminationdelatabledevéritédel'impliation.- La dénition est une dé-

nitionetdon,ommepourtoutedénition,nousn'avonsrienàyredire,arellepeutêtreaussi

arbitrairequel'onveut.Maisenfait,ommeladeuxièmelignedelatabledevérité estjustiée

parequenousavonsditenintrodution,onpeutégalementjustier lesautreslignes.

Nousallonsvoirquesinousvoulonsqueesoitunonneteurlogiquealorsnousn'avonspas

vraimentlehoix.

Considéronslaproposition

hh

Si (Pet Q) alorsP

ii

Voabulaire.- Dans une proposition omposéede la forme

hh

P implique Q

ii

, laproposition P

(8)

1.2.5 L'équivalene

Observation.-Ledernieronneteurquenousonsidèreronsesteluiquiorrespondàlaliaison

si, etseulementsiomme,parexemple,danslapropositionomposéesuivante:

C'est monsieurMartin (quiarrive) si,et seulementsi, il porte unostume lair.

Toutle monde sera d'aord pour dire qu'uneproposition omposée dela forme

hh

P si, et seulement si Q

ii

est vraie si, et seulementsi, les propositions P et Q sont vraies àla fois ou faussesàlafois.

Dénition.-Onappelleéquivaleneleonneteurlogique

hh

Psi,etseulementsi,Q

ii

quiprend lavaleurvraie si,et seulementsi, Pet Qsontvraiesàlafois oufaussesàlafois. Cei peut se

résumerparletableausuivant:

P Q Psi,et seulementsi,Q

vrai vrai vrai

vrai faux faux

faux vrai faux

faux faux vrai

appelétable devérité de l'équivalene.

Conneteurouonneteurlogique?-Enfaitdansleslangues naturellestellesquelefrançais,et

ommepourl'impliation, une expressiondu genre

hh

P si, et seulementsi, Q

ii

n'estaeptée

quesiQaunrapport,quantàlasigniation,aveP.Nousonsidèrerons,danslasuite,quela

signiationn'intervientpas.

Synonymesdanslelangageourant.- Le

hh

P si, et seulement si, Q

ii

ades synonymesdans le langageourant,parexemple

hh

PestéquivalentàQ

ii

.

1.2.6 Autres onneteurs?

Problème.-Nousavonsétudiéinqonneteurs(lanégation,laonjontion,ladisjontion,l'im-

pliationet l'équivalene),etmême sixaveladisjontionexlusive.Enexiste-t-ild'autres?

Laréponse dépenddee quenousentendonsparlà:

-Sinousvoulonsdired'autresonneteursapparaissantdanslelangageourant,oudonton

abesoindanslapratique,alorsilsemblebienqu'iln'en existepasd'autres.

-Sinousvoulonsdired'autresonneteursthéoriques(dénisparleurtabledevérité),alorsil

enexistebeauoupd'autres.Parexemple,rienquepourlesonneteursreliantdeuxpropositions

(nousavonsvuqu'ilspeuventnerelierqu'uneseuleproposition,ommedansleasdelanégation,

et onpeutenimaginerquirelienttroispropositionsoumêmeplus),nousn'avonspasdonnéde

nomauonneteurorrespondantàlatabledevéritésuivante:

P Q

vrai vrai faux

vrai faux faux

faux vrai faux

faux faux vrai

Nous verrons ependant plustardqu'ilest inutile deluidonner unnom, aron leretrouve

omme

hh

ombinaison

ii

desonneteurspréédents.Nousverronsenfaitqu'ilenestainsipour

(9)

1.2.7 Conlusion : le renversement logique

Ainsi desfaits ourantsnousontonduit àdégagerles notionsde proposition, devaleur de

vérité, de onneteur (logique) et inq onneteurs partiuliers. Nous avons vu aussi que es

notionsrestentassezvagues danslavie ouranteet que quelquefoisil y aquelquesambiguïtés

à hoisir latable de vérité d'un onneteur natureldonné. Dans lasuite nous ne travaillerons

plussur es notionsvagues. La logique reherhedes loismais est aussi normative: ondéide

que, désormais, lorsque nous nous servirons des notions vues préédemment, e sera toujours

ausensdesdénitions nonambiguësdonnéesi-dessus.Lavieouranteaseulementinspiréun

voabulairequi estmaintenantutilisédansunsenspréis.

Cela neposerapasdeproblèmepouranalyserundisourssientique,puisque tout sienti-

quedoitavoirreçuuneformationenlogique.Maiselapourrapeut-êtreenposerpouranalyser

(10)

1.3 Expression logique

1.3.1 Notion

Proposition omposéeomplexe.- Nous avonsvu queertainespropositionspeuventêtre onsi-

déréesommeomposées,etnousavonsétudiélesonneteursourants.Ilpeutarriverque,dans

unepropositionomposée,ilintervienneplusd'unonneteur.

Considérons,parexemple,lapropositionsuivante:

Si Pierreason ba etPaulestlibre, alors nouspartironsen vaanesen juillet.

Visiblementtrois propositions simplesinterviennentdans ette proposition omposée, àsa-

voir:

PPierre asonba

QPaulestlibre

Rnouspartironsenvaanesenjuillet.

Formed'unetelleproposition.-Laformedeette propositionest :

si(Pet Q)alorsR.

Intérêtdesparenthèses.- Desparenthèsesontétéplaées pouréviter touteambiguïtéave,par

exemple,laforme:

Pet (siQalorsR),

orrespondant,parexemple,àlaproposition :

Pierre asonbaet,siPaulest libre,alorsnouspartironsenvaanesenjuillet,

quiestnettementdiérente,àlafoisdupointdevuelogiqueetdupointdevuedelasigniation,

delapremièreproposition onsidérée.

1.3.2 Évaluation d'une proposition omposée omplexe

Dénition.-Évaluerunepropositionomposée,'estdonnersavaleurdevéritéonnaissant

lesvaleursdevéritédesespropositionsomposantes(engénéralatomiques).

Méthode.- Laméthodepourévaluerune propositionomposéeomplexe estsimpleetsystéma-

tique:

-1

o

)Onherhelaformedeettepropositionomposée;

- 2

o

)On détermine les valeursde vérité des propositions omposantes, e qui n'est pasun

problèmedelogique,ommenousl'avonsdéjàvu;

-3

o

)Onsesertdestables devéritédesonneteurset,enprogressantpasàpas,onobtient

lavaleurdevéritédelaproposition.

Exemple.- Considérons la première proposition i-dessus. Supposons que P soit vraie, Q soit

fausseet queR soit vraie.Alors(P et Q)est faussedonsi (Pet Q) alorsR est vraie.Iln'est

donpasnéessairequePierre aitsonbapourpartirenvaanes.

Utilitédelaforme.- En logique propositionnelle la seule hose que l'on veuille savoir sur une

proposition est savaleur de vérité, et don seule la forme a un intérêt. On s'intéressera don

(11)

1.4 Le raisonnement propositionnel

Nousavonsvuquelameilleureméthodepouronvainrequelqu'unqu'uneassertionestvraie

estdefaireunraisonnement,'est-à-diredepartird'unertainnombredepropositionsaeptées

omme vraies et de montrer alors que la proposition que l'on veut faire admettre s'en déduit

logiquement,'est-à-direqu'ilesttoutàfaitlairqu'ondoitalorsaepteretteproposition.

Quefaut-ilentendrepar

hh

s'endéduitlogiquement

ii

?

Bien souvent ela paraît lair. Nous allons ependant l'expliiter à partir de notre notion

intuitiveàl'égarddesobjetsdelalogiquepropositionnellequenousvenonsdedégager,etdon

voiren quoi onsiste un bon raisonnement, ou tout au moins ertains types de raisonnement,

euxqui orrespondentàlalogiquepropositionnelle.

1.4.1 Argumentation propositionnelle

Commençonspardonnerquelquesexemplesderaisonnement.

Exemples.-1

o

)Pierreest lefrèredePaul.

Si PierreestlefrèredePaulalorsPierreest plusâgéquePaul.

DonPierreest plusâgéquePaul.

2

o

)Si Marieest àRomealorsil enestdemêmedePierre.

Si PierreestàRomealorsJaquesn'y estpas.

DonSiMarieest àRomealorsJaquesn'yestpas.

Formed'unraisonnement.- On sent bien que, dans e genre de raisonnement, e n'est pas le

ontenu despropositionsqui ompte, maisleur forme.Lesformes attahéesauxraisonnements

i-dessussont:

-1

o

)P

siPalorsQ

DonQ

-2

o

)siPalorsQ

siQalorsR

DonsiPalorsR

Le

hh

don

ii

annonelaonlusiondenotreraisonnement.Onnesaitpasparquoileremplaer

jusqu'ii.Ilorresponddonàunenotionnouvelle.

Dénition .-Si A,A',...,A

”

^,^B^sont^desexpressionslogiques,onappelleargumentationtoute phrasedugenre:

A, A ^′ , . . . , A”

^don

B,

noté:

A, A ^′ , . . . , A” ∴ B.

Remarque.-Nousappelonsargumentationlaformed'unraisonnement(bonoumauvais),forma-

lisabledans lealul propositionnel.Remarquonsependantqu'ilexiste desraisonnementsqui

nesontpasformalisablesdanslealulpropositionnel,telquelesuivant:

Sorateestunhomme.

Touthomme estmortel.

(12)

1.4.2 Argumentation valide

À tout raisonnement nous avonsassoié une forme de raisonnement, appelée ii argumen-

tation. Cependantil existedesraisonnementsvalables etdesraisonnementsfallaieux.Nousne

nous ouperons que desraisonnementsvalables, évidemment; laforme d'un telraisonnement

estappeléeuneargumentationvalide.

Exemplederaisonnementfallaieux.-Considérons leraisonnementsuivant:

Si Pierreasonbaalorsnouspartironsenvaanesenjuillet.

Pierre n'apassonba.

Donnousnepartironspasenvaanesenjuillet.

Ilressembleàunraisonnementorret.Saformeest lasuivante :

siP alorsQ

nonP

DonnonQ

Cependante raisonnementn'estpasorretommeonpeuts'enrendreompte enremplaçant

Pet Qrespetivementparlespropositionssuivantes:

1+1=3

et

2+2=4.

Notation.-Pourindiquerqu'uneargumentation:

A, A ^′ , ..., A” ∴ B

estvalideonnote:

A, A ^′ , ..., A” ⊢ B

Problèmefondamentaldelalogiqueélémentaire.-Quellessont lesargumentationsvalides?

Nous avonsune notionintuitive dee qu'estune argumentationvalide, maispouvons-nous

endonnerune dénitionformelle?Pouvons-nousdonnerunmoyenpourlesreonnaître àoup

sûr?

Remarque.- Ainsilalogique propositionnellenepréède pastout raisonnement,maisodieles

(13)

1.5 Dénition formelle du langagede la logique proposition-

nelle

Nous avonsdit qu'uneexpression logique est la formede proposition omposée(omplexe).

Mais, pourl'instant, noussommes restés surune notion intuitive dees onepts. Nous allons

êtrepluslairendonnantunedénition formelle.

1.5.1 Dénitions

Variablespropositionnelles.-Jusqu'ii,lorsqu'onutilisaitunelettremajusuletelle queP,Q,R,

S par exemple, 'était en tant qu'abréviation (ou nom) d'une proposition donnée. En fait on

peutallerplusloindansl'abstrationlorsqu'onnes'intéressequ'àlaformedespropositions.La

notation P peut désigner une proposition a priori indéterminée. On dira alors que P est une

variable propositionnelle.

Signespourlesonneteurslogiques.-Pourl'instant,pourdésignerunonneteurlogique(natu-

rel),nousavonshoisiundesmotsdulangageourantquiledésigne.Commepourlesopérations

arithmétiques(onutiliselesigne

hh

+

ii

aulieude

hh

plus

ii

)onutilisedessignespourlesonne-

teursnaturelssuivantletableaui-dessous:

-signedenégation:

¬

;alors

¬ P

^se^lit^non-P.

-signededisjontion:

∨

;alors

P ∨ Q

^se^lit^P^ou^Q.

-signedeonjontion:

∧

;alors

P ∧ Q

^se^lit^P^et^Q.

-signed'impliation:

→

;alors

P → Q

^se^lit^P^implique^Q.

-signed'équivalene:

↔

; alors

P ↔ Q

^se^lit^P^équivalent^à^Q.

Introdution.-Quelquesexemplesd'expressionslogiquessontalors:

(P ∨ Q) ∧ R

¬ P → Q.

Uneexpressionlogiqueestdonunmotsurl'alphabetformédesvariablespropositionnelles,des

signesdeonneteurslogiqueset desparenthèsesouvranteet fermante.Cependanttouttelmot

n'est pasune expression logique. Par exemple

P Q

^ou

(P ∧ Q ∨ R

^ne ^sont ^pas^des expressions logiques:pourlepremiermotauunonneteurnerelielesvariablespropositionnelles;pourle

seond,d'unepart,uneparenthèseestouvertesansêtreferméeet,d'autrepart,ilyaambiguïté

sur le onneteur qui doit être onsidéré en premier, autrement veut-on dire

(P ∧ Q) ∨ R

^ou

(P ∧ (Q ∨ R))

^?

Onpeutependantdénirl'ensembledesexpressions logiquesdefaçonlaireenutilisantla

dénitionsuivante.

Dénition .- L'ensemble desexpressions logiques(propositionnelles)est déni de la façon

suivante :

-1

o

)Lesvariables propositionnellesP,Q,R,... sontdesexpressionslogiques;

-2

o

)Si

A

êst ûneêxpression^logique âlorsîl ên êst^de ^même^de

¬ A

^;

-3

o

)Si

A

^et

B

^sont ^desexpressionslogiquesalors il enestde mêmede

(A ∨ B)

^,^de

(A ∧ B)

⁾ ^et ³

^o

⁾ ^ne ^sont ^pas ^des

variables propositionnelles : onpeutles remplaer parn'importe quelle expressionlogique. On

parledemétavariables propositionnelles.

3

o

)Ilnes'agitpasd'unedénitionausenshabituel:dansunetelledénition,Blaise

Pasalainsitésurlefaitquelemotquel'onveutdénirnedoitpasintervenirdanslapartiede

laphraseservantàledénir;oriilemot`expression'apparaîtdanslespartiesgauhesdu2

o

)

et du3

o

).Onparlededénition indutiveouréursive.

4

o

) On dénit bien ainsi toutes les formes possibles de propositions omposées.

Réiproquement,toutepropositionorrespondbienàuneformedeproposition,neserait-equ'à

laformeP.

5

o

) Toute proposition aura une forme donnée (à quelques variations non essen-

tielles près) si on oblige les variables propositionnelles P, Q, R, ... àreprésenter des proposi-

tions atomiques,'est-à-direquel'on nepeutplusdéomposer dupointdevue delalogique

propositionnelle.

Parexemplelaformedelapropositiondéjàonsidérée:

Si Pierreason ba etPaulestlibre, alors nouspartironsen vaanesen juillet.

apourformefondamentale:

(P ∧ Q) → R

maisaussi:

S → R.

1.5.2 Élimination des parenthèses

Introdution.- Nous avonsvu l'intérêtd'utiliser les parenthèses pourl'ériture des expressions

logiques,and'éviterlesambiguïtés.Lanéessitédedonnerunedénitionsimpledel'ensemble

des expressions logiques nous a obligé à exiger qu'une expression omporte beauoup plus de

parenthèsesquenéessaire.Parexemple:

(((A ∨ ¬ B) ∧ (C ∨ ¬ A)) ∧ A)

estbeauoupmoinslisible que:

(A ∨ ¬ B) ∧ (C ∨ ¬ A) ∧ A

maise derniermotn'estpasuneexpressionlogique ausensde ladénitiondonnée(bienqu'il

lesoitausensintuitif).

On dira que la première expression est omplètement parenthésée et on aeptera des

expressionssimplementparenthéséesenutilisant,parexemple,lesrèglessuivantes.

Conventionsd'omissionsdesparenthèses.- 1

o

) On peut omettre la paire extérieure de paren-

thèses,lorsqu'elleexiste.

Nousérironsainsi,parexemple,

(A ∨ B) ∧ ¬ C

^au^lieu^de

((A ∨ B) ∧ ¬ C)

^.

Remarquonsependantque

¬ ((A ∨ B) ∧ ¬ C)

^n'a^pas^de^paire^extérieure^deparenthèsesdès l'origine.

2

o

)Onnotera

U ∨ V ∨ ... ∨ T

^au^lieu^de

((U ∨ V ) ∨ ...) ∨ T

^.

Onnotera

U ∧ V ∧ ... ∧ T

^au^lieu ^de

((U ∧ V ) ∧ ...) ∧ T

^.

(15)

1.5.3 Loi d'indution pour les expressions logiques

Il résulte intuitivement de la dénition des expressions logiques (propositionnelles), et en

partiulierdu 4

o

(A ∨ B)

^,^de

(A ∧ B)

^,^de

(A −→ B)

etde

(A ←→ B )

^.

Alors

A

^est ^l'ensemble ^de^toutes^lesexpressions logiques.

(16)

1.6 Exeries

Exerie1.- Éliminez le maximum de parenthèses possibles des expressions logiques suivantes

omplètement parenthéséespour obtenirdesexpressions logiques simplementparenthésées:

a.

((B → ( ¬ A)) ∧ C)

b.

(A ∨ (B ∨ C))

.

(((A ∧ ( ¬ B)) ∧ C) ∨ D)

Chaie 1

o

hh

ii

o

o

o

hh

ii

hh

ii

hh

ii

hh

ii

hh

ii

hh

ii

hh

ii

hh

ii

hh

ii

hh

ii

hh

ii

hh

ii

hh

ii

hh

ii

hh

ii

hh

ii

hh

ii

hh

ii

hh

ii

hh

ii

hh

ii

hh

ii

hh

ii

hh

ii

hh

ii

hh

ii

hh

ii

hh

ii

hh

ii

hh

ii

hh

ii

hh

ii

hh

ii

hh

ii

hh

ii

hh

ii

hh

Chaie 1

A, A ^′ , . . . , A”

A, A ^′ , . . . , A” ∴ B.

A, A ^′ , ..., A” ∴ B

A, A ^′ , ..., A” ⊢ B

^o