Aberrations Photoniqueexpérimentale-Semestre8

Photonique expérimentale - Semestre 8

Aberrations

Présentation générale

Introduction . . . 1

Méthode du point lumineux . . . 3

La mesure du front d’onde . . . 5

Présentation des optiques . . . 9

Méthode du point lumineux TP 1 Aberrations sur l’axe : aberration sphérique et chromatisme . . . . 13 TP 2 Aberrations de champ . . . 25

Mesures de front d’onde TP 3 Analyseur de front d’onde Zygo . . . 33

TP 4 Analyseur de front d’onde Haso . . . 49

Cycle Ingénieur - 2^ème année -Palaiseau Version du 5 février 2018

Année 2017-2018

Baptiste FIX

David HOLLEVILLE

Lionel JACUBOWIEZ

ii

Règles de

fonctionnement du LEnsE

Absences

La présence des étudiant·e·s à toutes les séances de travaux pra- tiques prévues à l’emploi du temps est obligatoire et impérative. En cas de difficulté majeure, si un membre d’un binôme est toutefois ab- sent, l’autre doit venir à la séance et faire le TP. Et, en Optique, chacun des membres du binôme rendra un compte-rendu individuel.

Absence excusée. Justificatif Le justificatif d’absence doit être déposé au secrétariat, les élèves concerné·e·s doivent aussi préve- nir directement les responsables du LEnsE du motif de l’absence (à l’avance, si l’absence est prévisible).

Absence excusée. Rattrapage L’élève doit impérativement prendre contact avec les enseignant·e·s de TP pour étudier la possibilité de rattrapage (suivant la disponibilité des enseignant·e·s, du ma- tériel et des salles). L’élève rattrape alors le TP et :

En optique, l’élève rédige un CR qui sera noté. S’il n’est pas possible de trouver une date de rattrapage suite à une impos- sibilité du service des TP, le TP ne sera ni rattrapé ni noté (la moyenne sera faite sur les notes restantes). Ce TP restera néanmoins au programme de l’examen et l’étudiant·e pourra être interrogé·e sur ce TP lors de l’examen de TP.

iii

iv

En ETI et ProTIS, la synthèse du thème concerné, rédigée par le binôme, devra contenir des résultats des deux séances in- dividuelles (la séance normale et celle de rattrapage).

Si l’élève refuse la date de rattrapage proposée, il ou elle sera considéré·e comme absent·e non excusé·e.

Absence non excusée Toute absence non justifiée entraîne :

En optique, un zéro pour la séance et l’impossibilité de tra- vailler sur ce TP avant la période de révision. En cas d’ab- sences répétées, le responsable d’année interdira à l’étudiant·e de passer l’examen en fin d’année.

En ETI et ProTIS, un zéro pour la note de synthèse concernée.

Retards

Aucun retard n’est acceptable et en cas de retard important (ou de retards fréquents) d’un·e étudiant·e, celui-ci ou celle-ci se verra refuser l’accès au laboratoire. Les conséquences en seront identiques à celles d’une absence non excusée (voir plus haut).

Plagiats

Le plagiat est le fait de s’approprier un texte ou partie de texte, image, photo, données... réalisé par quelqu’un d’autre sans préciser qu’il ne s’agit pas de son travail personnel. On plagie quand on ne cite pas l’auteur des sources que l’on utilise. Exemples de plagiat :

— Copier textuellement un passage d’un livre ou d’une page Web sans le mettre entre guillemets et/ou sans en mentionner la source.

— Insérer dans un travail des images, des graphiques provenant de sources externes (hors énoncé du TP) sans en indiquer la prove- nance.

— Utiliser le travail d’un·e autre élève et le présenter comme le sien (et ce, même si cette personne a donné son accord !).

— Résumer l’idée originale d’un auteur en l’exprimant dans ses propres mots, mais en omettant d’en indiquer la source.

— Traduire partiellement ou totalement un texte sans en mention- ner la provenance.

v Tout binôme convaincu de plagiat dans un compte-rendu ou une syn- thèse de TP se verra attribuer la note de 0/20 à ce TP ou cette synthèse et encourt les sanctions disciplinaires prévues au règlement intérieur.

Respect du matériel et des locaux

Le LEnsE met à votre disposition une très grande quantité de ma- tériel scientifique.

Ces matériels sont très fragiles, sensibles à la poussière, aux traces de doigts, aux rayures, etc. Merci d’en prendre le plus grand soin.

Il est donc formellement interdit d’apporter de la nourriture ou des boissons dans l’ensemble du service (couloirs compris).

Merci de veiller aussi à laisser les locaux particulièrement propres (si vos chaussures sont sales, retirez-les et laissez-les à l’entrée !)

Pour toute demande d’accès en dehors des séances de TP, vous devez impérativement (et à l’avance) vous adresser au responsable technique du LEnsE, Thierry AVIGNON ou à Cédric LEJEUNE (bureau S1.18).

vi .

1

PRÉSENTATION GENERALE

INTRODUCTION

L’étude et l’analyse des défauts d’un système optique par la caractérisation de ses aberrations géométriques et chromatiques sont proposées sous la forme de quatre séances de travaux pratiques du 2^ème semestre. Ces quatre séances constituent un tout cohérent. À l'issue de ces séances, vous pourrez comparer et commenter les résultats obtenus avec les différentes méthodes de mesure pour tous les systèmes optiques caractérisés et d’effectuer ainsi une synthèse de ces mesures.

!Préparation

Chaque séance nécessite un travail préparatoire, qui vise à comprendre le principe de la méthode mise en œuvre, et à faire les calculs préliminaires de mise en place du montage. Les questions de préparation indiquées dans les énoncés doivent être préparées avant la séance.

!Compte rendu

Nous vous demandons de rendre un compte-rendu global regroupant l'ensemble des résultats des TP n°1-2-3. Vous vous attacherez à analyser les systèmes optiques selon de bons critères (dimensions de la tache image, écart normal, fonction de transfert de modulation,…). Le compte-rendu final ne devra pas excéder 24 pages, annexes comprises.

Le compte rendu du TP n°4 (HASO) sera à rédiger sur place et à rendre à la fin de la séance.

Bien que l'utilisation de documentation externe (schémas, compte rendus antérieurs,…) ne soit pas prohibée pour la rédaction de votre compte rendu, celle- ci n'est acceptable qu'à la condition d'être explicitement référencée. Dans le cas contraire, il s'agit ni plus ni moins de plagiat et/ou de vol, qui sera donc pénalisé.

!Évaluation

Pendant l’une au moins des 4 séances de TP, un exercice oral de présentation synthétique de la manipulation mise en œuvre est demandé. Par ailleurs, l’évaluation des travaux pratiques prend en compte d’une part la qualité du compte-rendu (points-clés des expériences, présentation des résultats, analyse personnelle des résultats et synthèse, …), d’autre part le travail réalisé pendant les séances (autonomie sur les manips, qualité des mesures, bonne compréhension des expériences, oral ,…).

!En pratique

Chaque groupe recevra au début de ces Travaux Pratiques une boîte (référencé A, B, C ou D) contenant divers systèmes optiques qui seront étudiés au cours de séances 1-2-3, et que vous analyserez par plusieurs méthodes complémentaires : une lentille simple plan-convexe, un doublet de type Clairaut-Mossotti, et objectif d’agrandisseur (cf. p11). Des feuilles de synthèse des résultats obtenus pour chaque expérience sont disponibles en pages 15-16-17 : remplissez-les au fur et à mesure des séances pour garder la trace des performances des optiques déduites des mesures réalisées.

!Organisation des séances

Deux approches complémentaires, mais dans leur principe radicalement différentes, sont proposées.

Étude visuelle de la tache image au point lumineux TP1 : aberration sphérique et chromatisme TP2 : aberrations de champ

Au cours de ces TP, on observera directement, à l'aide d'un viseur à frontale fixe, la tache image d’un objet ponctuel à l’infini, c’est-à-dire la réponse percussionnelle incohérente de l'objectif étudié. On étudiera cette tache image sur l'axe de l'objectif et hors d'axe.

Cette méthode permet, "d'un coup d'œil ", d'apprécier et de quantifier la qualité de l'objectif, en éclairage monochromatique ou polychromatique, même en présence de fortes aberrations.

Analyse des fronts d’onde aberrants transmis par un système optique TP 3 : interféromètre de Fizeau (ZYGO)

TP 4 : analyseur de type Shack-Hartmann (HASO)

Ces deux méthodes, l’une interférométrique l’autre géométrique, permettent de mesurer l'écart normal, c'est-à-dire le défaut du front d'onde par rapport au front d’onde sphérique parfait, souvent appelé « sphère de référence ». Elles sont adaptées aux systèmes peu aberrants.

3

LA MÉTHODE DU POINT LUMINEUX

Pour étudier les aberrations d'un système optique, on place dans le plan objet une source quasi-ponctuelle (un trou source). On observe, dans le plan image, une tache image (la réponse percussionnelle du système optique, Point Spread Function en Anglais). La forme de cette tache dépend de la nature des aberrations.

Pour un système parfait, la dimension de cette tache est due à la diffraction (on parle dans ce cas d’un système limité par la diffraction). L'observation et la mesure sont effectuées à l'œil à l'aide d'un viseur à frontale fixe, ou avec une caméra de visualisation derrière un objectif de microscope. On obtient un grand nombre d’informations concernant les aberrations du système en « défocalisant le viseur» de part et d’autre du meilleur foyer.

" Attention :

le système optique étudié doit être

la pupille

de l’ensemble

du montage optique utilisé. Vérifier toujours que le faisceau incident couvre largement la pupille et que l’objectif de viseur est largement suffisamment ouvert.

1. Choix du trou source objet :

On devrait, en toute rigueur, utiliser une source ponctuelle pour étudier la réponse percussionnnelle (PSF, la tache image) donnée par le système optique. Mais, la source a évidemment une dimension finie. Dans le plan image, l’éclairement est obtenu par convolution de l’image géométrique du trou source et de la réponse percussionnelle du système optique. L’image géométrique du trou source doit donc être très inférieure à la largeur de la réponse percussionnelle du système optique que l’on cherche à mesurer, qui est dans tous les cas de diamètre au moins égal à celui de la tache d’Airy (pupille circulaire). Cependant, le diamètre du trou source doit être suffisant pour que la tache image observée soit lumineuse et aisément observable. Il faut donc adapter la dimension du trou source en fonction de l’importance de l’aberration étudiée :

→Pour une aberration faible (objectif proche de la limite de diffraction), on choisira un trou tel que le diamètre de son image géométrique soit sensiblement inférieur au diamètre de la tache d’Airy , d'un diamètre typiquement inférieur à

¼ de la tache d'Airy si le montage et les contraintes de luminosité le permettent.

→ Pour étudier une aberration importante, on pourra utiliser un trou source de plus grand diamètre afin de rendre la tache image plus lumineuse, donc plus facile à observer.

2. Choix du montage expérimental :

Pour une étude des aberrations d’un objectif conjuguant des plans à distance finie, il suffit de placer le trou source à la distance objet - objectif voulue.

Pour une conjugaison infini - foyer, 2 possibilités :

# placer le trou source à une grande distance de l’objectif, typiquement supérieure à 10 fois sa focale (cf. TP 1)

# placer le trou source au foyer d’un collimateur. Dans ce cas, sa pupille doit bien sûr être plus grande que celle du système étudié (TP 1 &2).

Pour étudier la tache image hors d’axe, il faut soit déplacer le trou source, le collimateur et le viseur d’observation (cf. TP 2), soit tourner l’objectif (cf. TP 3 et 4).

3. Choix de l’objectif du viseur à frontale fixe :

Ouverture numérique de l’objectif de microscope : Le système optique à étudier doit être la pupille du dispositif, donc l’ouverture numérique objet de l’objectif du viseur doit être largement supérieure à l’ouverture numérique image du système optique à étudier.

Grandissement de l’objectif de microscope : La tache image doit être suffisamment agrandie afin d’être confortablement observée à l’œil. Mais elle ne doit pas, bien sûr, dépasser la limite du champ de pleine lumière du viseur à frontale fixe. Il est donc prudent de démarrer avec un objectif de grandissement modéré, puis d’augmenter le grandissement en fonction des contraintes de l’observation.

5

LA MESURE DE FRONTS D’ONDE

Bien que conduisant tous deux à une mesure du front d’onde, le ZYGO, basé sur le principe de l’interféromètre de Fizeau, en réalise une mesure interférométrique, tandis que l’HASO, basé sur l’analyseur de Shack-Hartmann, effectue une mesure que l’on pourrait qualifier de géométrique de ce même front d’onde. Cependant, le traitement de la mesure pour en déduire des données quantitatives sur les diverses contributions des aberrations, la réponse percussionnelle, le spot-diagramme ou la fonction de transfert de modulation sont similaires pour ces deux instruments.

Pour plus de détails sur la réalisation expérimentale de ces mesures, cf les sujets TP 3 et TP4.

o La mesure interférométrique du front d’onde:

Il s’agit d’analyser les interférences entre :

- une onde plane qui a été réfléchie sur un plan de référence (plan étalon en verre pour le ZYGO)

- une onde plane qui a traversé l’objectif étudié, S, puis a été réfléchie par un miroir sphérique de référence dont le centre de courbure est placé au voisinage du meilleur foyer de S, et a traversé à nouveau S.

o La mesure géométrique du front d’onde:

En utilisant une matrice de microlentilles, on peut mesurer les pentes locales du front d’onde (voir description précise de l’HASO, dans le texte de TP 4).

Le logiciel permet ensuite à partir des pentes de remonter au front d’onde par différentes méthodes. L’avantage par rapport au ZYGO est que cette mesure est effectuée quasiment en temps réel. Cela est une aide précieuse pour les réglages d’alignement par exemple. De plus, elle permet d’analyser aisément un système optique dans les conditions réelles de fonctionnement, voire directement un faisceau. La mesure au Shack-Hartmann a cependant une résolution spatiale moindre que celle du ZYGO, et n’est pas adaptée aux systèmes très ouverts.

Qu’il s’agisse du ZYGO ou de l’HASO, le traitement informatique des données permet d’accéder à un grand nombre d’informations issues de la mesure du front d’onde, qui vous permettront par exemple de comparer directement vos observations visuelles par la méthode du point lumineux avec le calcul effectué par ces ordinateurs à partir de la mesure du front d’onde.

1. Décomposition sur la base des polynômes de Zernike

La quantification des diverses aberrations géométriques contribuant à la surface d’onde réelle est possible par projection sur la base orthogonale de Zernike, adaptée aux pupilles circulaires uniquement.

La décomposition sur les sommes de Seidel reste cependant très utilisée, en particulier pour les aberrations du 3^ème ordre, parce qu'elle donne des informations simples à analyser. Pour un système n'ayant que des aberrations du 3^ème ordre, la relation entre sommes de Seidelet coefficients de Zernike – tels que définis dans le tableau ci-dessous - est directe :

Seidel (3^ème ordre) Amplitude pic-vallée Aberration Sphérique ∆max = 6×C8 (¹) ∆PV = ∆max

Coma ∆_max = ∆PV = 2×∆max

Astigmatisme

∆_max = ∆_PV = 2×∆_max Définitions des polynômes de Zernike utilisés au ZYGO et l'HASO

Normalisation PV Normalisation RMS

C1 ^ucosϕ 2!cos!

2!sin! Basculement

C2

€

usinϕ C3

€

2u²−1 √3 2!^!−1 Défaut de mise au point

C4

€

u²cos2ϕ √6!^!cos2!

√6!^!sin2! Astigmatisme 3 ordre ème

C5

€

u²sin2ϕ C6

€

3u²−2

( )

^{ucosϕ √8 3!!−2! cos!}

√8 3!^!−2! sin! Coma

C7

€

3u²−2

( )

^usinϕ

C8

€

6u⁴−6u²+1 √5 6!^!−6!^!+1 Aberration sphérique C9

€

u³cos3ϕ 8!^!cos3!

8!^!sin3! Trèfle

5 ème ordre C10

€

u³sin3ϕ C11

€

4u²−3

( )

^{u2cos2ϕ 10 4!!−3!! cos2!}

10 4!^!−3!^! sin2! Astigmatisme C12

€

4u²−3

( )

^u2sin2ϕ

C13

€

10u⁴−12u²+3

( )

^{ucosϕ 12 10!!−12!!+3! cos!}

12 10!^!−12!^!+3! sin! Coma C14

€

10u⁴−12u²+3

( )

^usinϕ

C15

€

20u⁶−30u⁴+12u²−1 √7 20!^!−30!^!+12!^!−1 Aberration sphérique u est la hauteur normalisée dans la pupille, ϕ l'angle d'azimut dans la pupille.

2. Simulation de la tache-image

Les logiciels utilisent la mesure du défaut du front d’onde (= écart normal) en tout point de la pupille pour effectuer deux calculs fondamentalement différents de la tache image :

o Analyse géométrique : 'Spot Diagram' :

Puisque les rayons lumineux sont orthogonaux à la surface d’onde, la connaissance des défauts du front d’onde en tout point de la pupille permet d’évaluer la répartition des impacts des rayons provenant de la pupille dans le plan image considéré.

o Analyse de Fourier PSF et FTM :

La mesure du défaut de la surface d’onde, Δ(X,Y) donne, si l’on suppose la pupille uniformément éclairée, la répartition de l’amplitude en tout point (X,Y) de la pupille :

1si le coefficient C15, associé au polynôme de Zernike qui décrit l’aberration sphérique du 5^ème ordre, est non-négligeable dans la décomposition du front d’onde, il est nécessaire de le prendre en compte pour évaluer l’aberration sphérique du 3^ème ordre : ∆_max = 6×C8 - 30×C15 ; cela s’extrapole aisément aux autres termes.

2 7 2

6 C

C

3 +

€

C₄²+C₅²

P( X, Y ) = a

₀

e

^jϕ(X,Y)

= a

₀

e

^−j2π

Δ(X,Y) λ

7

# Dans le cadre de l’optique de Fourier, la réponse percussionnelle incohérente (tache image) peut être calculée par Transformée de Fourier :

La réponse percussionnelle d’un système optique à pupille circulaire, limité par la diffraction, est une tache d’Airy : c’est la plus petite image d’un point que peut donner un système optique. Le diamètre du lobe central de la tache d’Airy, qui contient 84% de l’énergie totale de la réponse percussionnelle, est Ø_! =1,22! sin!′_!"#.

!_!"#$ !′ =!_! × 2!_! ^!!_! sin!′_!"#×!′

!!

! sin!′_!"#×!′

!

Le pourcentage d'énergie lumineuse à l'intérieur de Ø_! chute rapidement en présence d'aberrations géométriques.La comparaison de la réponse percussionnelle PSF(x,y) d’un système optique réel avec la tache d’Airy permet d’évaluer de façon globale l’importance des défauts du système. Le rapport de Strehl R_S mesure le rapport entre le maximum de la réponse percussionnelle réelle par rapport au maximum de la tache d’Airy d’un système idéal de même ouverture numérique. Pour une observation visuelle, le critère de Rayleigh stipule que le rapport de Strehl² doit être supérieur à 80%. Ce critère conduit plus largement au critère de Maréchal, défini sur la variance de l'écart normal σ^Δ : R_S ≥ 80% correspond à σ^Δ ≤ 0,07 λ≅λ/14.

Réponse percussionnelle en limite de diffraction (tache d'Airy) d'une optique d'ouverture numérique

0,08 à λ = 633 nm

Graphe de l'énergie encerclée correspondant à la tache d'Airy ci-contre

2Notons que R_S ne donne réellement une information quantitative sur la qualité du système optique que pour des valeurs R_S> 20%.

PSF  r!

( )

^{∝TF P(X,}

(

^Y)

)

^r'

λp'

#

$%% &

'((

2

# Enfin, la Transformée de Fourier de la réponse percussionnelle permet d’obtenir la fonction de transfert de modulation du système optique étudié en éclairage incohérent.

La fonction de transfert de modulation mesure le contraste de l’image d’une mire sinusoïdale donnée par le système optique, en fonction de sa fréquence spatiale dans le plan image.

Fonction de transfert de modulation idéale d'un système optique d'ouverture numérique 0,08 à λ = 633 nm

!"#_!"## ! = 2

! cos^!! !

!_! − !

!_! 1− !

!_!

!

Là-encore, c’est par comparaison avec la fonction de transfert de modulation d’un système équivalent (même ouverture numérique) limité par la diffraction que l’on peut quantifier la dégradation de l’image due aux aberrations géométriques. La fréquence de coupure d’un système idéal, pour laquelle FTM(νc) = 0, est . Toutefois, il est plus légitime de définir une fréquence de coupure à 10%, car en deçà de ce contraste, l’image sera en général inexploitable³. Enfin, notez bien qu’il n’y a pas plus d’informations dans la fonction de transfert que dans la réponse percussionnelle, puisque ces deux grandeurs sont reliées par une simple relation de transformée de Fourier, c’est simplement deux façons différentes de quantifier et visualiser ces informations.

3. Conjugaison de la pupille du système

La mesure du front d’onde doit normalement être effectuée dans un plan conjugué de la pupille du système étudié. Sinon, la diffraction du faisceau par propagation entraîne une déformation du front d’onde mesuré, visible particulièrement sur les bords de la pupille : le ZYGO dispose donc d’un réglage ‘CAM’ pour conjuguer la pupille de sortie avec la caméra CCD qui effectue l’enregistrement de l’interférogramme. En revanche, dans le montage utilisé en TP, l’HASO ne permet pas de mesurer le front d’onde dans le plan de la pupille (d’où des erreurs de mesures parfois importantes).

3 La fréquence de coupure à 10% pour un système à pupille circulaire en limite de diffraction est 0,80 ×ν_c.

FTM(

!

ω)=TF PSF(

! r)

( )

ω^!=

(

P⊗P

)

λp'⋅ω!

P⊗P

( )

^0

νc=2sinα!max λ

9

PRÉSENTATION DES OPTIQUES

Les spécifications approximatives des objectifs sont les suivantes :

TP n°1-2-3

● Lentille simple plan-convexe

f’ = 150 mm (±1%) - ∅ = 25 mm – ON = 0,08.

● Doublet de type Clairaut-Mossotti (Thorlabs AC254-150-A1)

f’ = 150 mm (±1%) - ∅ = 25 mm – ON = 0,08

Il s'agit d'un doublet collé en BK7/SF5, dont les caractéristiques et une simulation de ces performances par un logiciel de calcul optique, sont présentées dans les pages suivantes; il est conçu pour être aplanétique et achromatique dans le visible.

● Objectif d’agrandisseur Rodenstock

f’ = 150 mm (±1%) – ouverture variable

Les caractéristiques précises de l’objectif utilisé seront vérifiées pendant la séance (plusieurs modèles disponibles selon les groupes). C'est bien évidemment un objectif de qualité photo, conçue pour réaliser des agrandissements à partir de pellicules photographiques 24 mm × 36 mm ISO 200 (grain de l'ordre de 20 µm de diamètre).

TP n°4

● Doublet de type Clairaut-Mossotti (Thorlabs AC254-150-A1)

f’ = 150 mm (±1%) - ∅ = 25 mm

Il s'agit d'un doublet de la même série que ceux des TP 1-2-3, utilisé ici dans une conjugaison de grandissement ^!!_!-.

Lentille simple plan-convexe ( bon sens )

Verre : BK7 Focale: 150 mm Ouverture numérique: 0.08 (Ø_e = 25 mm) Foyer paraxial, sur l’axe (λ = 633 nm)

Spot-diagramme

Foyer de moindre diffusion, sur l’axe (λ = 633 nm)

Chromatisme longitudinal

11

Doublet Thorlabs AC254-150-A1

Focale : 150 mm , Ouverture numérique : 0.08 (Ø_e = 25 mm) En conjugaison ∞ → foyer

*LENS DATA

SRF RADIUS THICKNESS AP. RADIUS GLASS

OBJ -- 1.00e+20 AIR

1 91.62 5.70 12.50 BK7

2 -66.68 2.20 12.50 SF5

3 -197.70 146.29 12.50 AIR

λ = 587 nm

Axe (mm) θ = 5°

13 Bloc Aberrations

Doublet Thorlabs AC254-150-A1

Focale : 150 mm , Ouverture numérique : 0.08 (Øe = 25 mm)

*LENS DATA

SRF RADIUS THICKNESS AP. RADIUS GLASS SPE NOTE OBJ -- 1.00e+20 V 2.6644e+18 AIR

AST 91.62 5.70 12.50 AK BK7 C 2 -66.68 2.20 12.50 K SF5 C 3 -197.70 146.29 S 12.50 AIR

(mm) Θ = 0° Θ = 5°

Θ = 3.5°

Foyer paraxial à λ= 633 nm

Θ = 0°

(mm)

Interférogramme théorique au meilleur foyer, θ = 5°, λ = 633 nm

Réponse percussionnelle simulée au meilleur foyer, , θ = 5°, λ = 633 nm (côté de l'image = 160

µm)

Décomposition du front d’onde en unités de λ sur les polynômes de Zernike, θ = 5°, λ ^{= 633 nm}

*ZERNIKE ANALYSIS WAVELENGTH 1

Positive angle Φ is a rotation from the +y axis toward the +x axis. R is the normalized radius in the pupil.

3.810670: [0] 1

-0.198270: [1] RCOSΦ -- : [2] RSINΦ 3.843444: [3] 2R² - 1 2.861570: [4] R²COS2Φ -- : [5] R²SIN2Φ -0.076020: [6] (3R² - 2)RCOSΦ -- : [7] (3R² - 2)RSINΦ 0.028266: [8] 6R⁴ - 6R² + 1 -0.010383: [9] R³COS3Φ -- : [10] R³SIN3Φ

0.000856: [11] (4R² - 3)R^2COS2Φ -- : [12] (4R² - 3)R^2SIN2Φ 0.011078: [13] (10R⁴ - 12R² + 3)RCOSΦ -- : [14] (10R⁴ - 12R² + 3)RSINΦ -0.004577: [15] 20R⁶ - 30R⁴ + 12R² – 1

13

TP n°1

ABERRATIONS SUR L’AXE

PAR LA METHODE DU POINT LUMINEUX

Au cours de cette manipulation, nous nous intéresserons aux aberrations visibles sur l'axe optique, qu'il s'agisse de l'aberration sphérique ou du chromatisme.

Les éléments optiques à caractériser sont une lentille plan-convexe, un doublet corrigé et l’objectif d’agrandisseur, qui sont dans la boîte que vous étudiez au cours des TP d'Aberrations et dont les caractéristiques sont données en pages 10 à 13. En particulier, nous nous attacherons à comparer la lentille simple et le doublet de type Clairaut-Mossotti, qui ont même ouverture numérique et même focale.

!

Préparation de la séance: relisez attentivement le principe de la méthode du point lumineux (p 5-6) et le texte du TP ci-dessous ; effectuez les calculs préliminaires en section §C.

A. QUELQUES RAPPELS 14!

1.! CHROMATISME ET DISPERSION D'UN VERRE 14!

2.! ABERRATION SPHERIQUE DU 3^EME ORDRE 14!

B. LE MONTAGE EXPERIMENTAL 15!

1^ER MONTAGE : MONOCHROMATEUR ET VISEUR A FRONTALE FIXE 16!

Choix du trou source 16!

Le monochromateur 16!

Choix de l’objectif du viseur d'observation 17!

Influence de la distance trou source / système optique 17!

C. QUESTIONS DE PREPARATION 19!

D. DEROULEMENT DU TP 20!

1.CARACTERISATION DE LA LENTILLE SIMPLE 20!

2.LE DOUBLET (AC254-150-A1-CLAIRAUT) 21!

2^EME MONTAGE : DIODE LASER FIBREE ET CAMERA CMOS 22!

a.! La source 22!

Le collimateur 22!

La caméra 22!

L'objectif de microscope 22!

Réglages 22!

3.! ÉTUDE DE L’OBJECTIF D’AGRANDISSEUR 23!

A. Quelques rappels

1. Chromatisme et dispersion d'un verre

La dispersion d'un diélectrique est totalement caractérisée par la courbe représentant son indice de réfraction en fonction de la longueur d'onde n(λ). Pour les verres transparents usuels, cette courbe est régulièrement et assez faiblement décroissante dans le domaine visible. Il est donc possible d'avoir une bonne idée des propriétés optiques d'un verre à partir de deux grandeurs, la valeur moyenne et la variation d'indice Δn dans le domaine visible. En fait, plutôt que la variation Δn, on utilise la constringence (ou nombre d'Abbe V) , qui intervient directement dans les formules de l'aberration chromatique. Plus précisément, la constringence est définie dans le domaine visible par :

où d, F et C correspondent aux raies spectrales données dans le tableau suivant :

raie élément couleur longueur d'onde (nm)

d Hélium jaune 587,6

F Hydrogène bleue 486,1

C Hydrogène rouge 656,3

L'ensemble des verres disponibles peut être représenté dans le plan (ν, n). On obtient alors un diagramme dont l'allure est représentée sur la figure 1 ci-dessous ; insistons sur le fait que la constringence caractérise un diélectrique, et absolument pas un système optique. Enfin, pour une lentille simple, l’évolution de sa focale avec la longueur d’onde, dans le domaine visible, est donnée par δf’ = f’B – f’R = - f’/νd.

Figure 1: Allure de la carte des verres dans le plan (ν, n)

2. Aberration sphérique du 3^ème ordre

L'aberration sphérique est une aberration présente sur l'axe et dans le champ, qui apparaît lorsque l'ouverture d'un système optique devient grande, c'est-à-dire que les rayons lumineux ne suivent plus rigoureusement la trajectoire prévue par n ν=

(

n −1

)

^Δn

ν_d = n_d−1 n_F−n_C

15 l'optique géométrique paraxiale. L'aberration sphérique se traduit par un point de focalisation des rayons différent selon leur hauteur d'impact sur la pupille. Dans le domaine de validité du 3^ème ordre, correspondant à une ouverture numérique faible (typiquement inférieure à 0,1), on montre que :

•longueur de la caustique axiale : , où α’ est l’angle d’ouverture image

•rayon de la tache au foyer paraxial :

•écart normal (mise au point paraxiale) : ∆ !′ =−^!_!!′^!

Cas d’une lentille plan-convexe mince en conjugaison infini-foyer:

Pour une lentille plan-convexe en conjugaison infini-foyer, dans le domaine de validité du 3^ème ordre, on a démontré en cours les relations suivantes :

dans le "bon sens" d'utilisation :

dans le "mauvais sens" d'utilisation :

Les résultats ci-dessus correspondent à une analyse purement géométrique des aberrations; dans les expériences réalisées pendant cette séance de travaux pratiques, nous mesurerons en fait la réponse percussionnelle des objectifs étudiés, ce qui nécessite de prendre en compte l'influence de la diffraction.

B. Le montage expérimental

Au cours de cette séance, vous mettrez en œuvre deux montages expérimentaux différents :

• un montage utilisant une lampe blanche filtrée par un monochromateur et un viseur à frontale fixe, vous permettra de faire une observation visuelle de la réponse percussionnelle, et de mesurer le chromatisme longitudinal des optiques. Le point-source est situé à grande distance de l'objectif à étudier.

• un montage utilisant une diode laser fibrée à λ = 635 nm et une caméra CMOS, permettant d'enregistrer les profils de réponse percussionnelle et de les comparer à la limite de diffraction. Le point-source est situé au foyer d'un collimateur.

l

( )

α! ^{=FP!Fα!!=aα!2}

dy!=−l( )α! ^{× !α =−aα!3}

a= n³−2n²+2 2n n

(

−1

)

^{2 f"}

a= n²

2

(

n−1

)

^{2 f"}

1

^er

montage : monochromateur et viseur à frontale fixe

Choix du trou source

Au cours de cette manipulation, on étudie visuellement, avec un viseur à frontale fixe, les aberrations sur l’axe d’objectifs travaillant en principe pour une conjugaison infini-foyer. Pour ne mesurer que l'effet de l'aberration du système optique sur la tache-image, l'objet doit être un point lumineux à l’infini (c’est-à- dire, placé soit à une distance au moins égale à dix fois la focale de l’objectif à étudier, soit au foyer d’un collimateur). En pratique, on choisira un trou de dimension suffisamment petite pour que son image géométrique par le système à étudier ne limite pas la résolution des observations, mais conduise toutefois à une luminosité acceptable

(

cf. Présentation Générale/ La méthode du point lumineux p 4

)

.

Le monochromateur

La source utilisée pour ces expériences est une lampe à iode (blanche) filtrée par un monochromateur (Jobin-Yvon, modèle H10), situé à environ 6 mètres du banc de mesure des objectifs. Ceci nous permettra donc de mesurer l'aberration sphérique en monochromatique, et d'évaluer précisément le chromatisme axial des systèmes optiques étudiés.

Figure 3 : Schéma du monochromateur Compléments d'information :

Le monochromateur utilisé est un modèle à réseau concave holographique (corrigé des aberrations) utilisé en réflexion, à 1200 traits/mm et de rayon de courbure 200 mm. Il forme, du trou d'entrée éclairé par la lampe à iode, une image dispersée spectralement dans le plan du trou de sortie du monochromateur, dans un montage en configuration 2f-2f. Du fait des angles d'incidence (i) et de diffraction (i') différents, l'image du trou d'entrée dans le plan de sortie est grandie dans le rapport

.

réseau

monochromateur

Lampe blanche

trou source

Système optique

viseur

Œil d’observateur

γ=cosi cosi # ≈1

17 Dans l'hypothèse de trous d'entrée et de sortie infiniment fins, la longueur d'onde sélectionnée par le monochromateur est celle pour laquelle le trou d'entrée est imagé par le réseau sur le trou de sortie du monochromateur. Elle est choisie par rotation du réseau, réglable au moyen d'une molette dotée d'un affichage en nanomètres. Les orifices d'entrée et de sortie ayant en fait une largeur finie, la lumière sortant de l'appareil n'est pas strictement monochromatique, mais est constituée par la superposition des radiations monochromatiques induites par chacun des couples de points des trous d'entrée et de sortie.

En grisé, le trou de sortie, de diamètre ∅^s;

en blanc, l'image du trou d'entrée (diamètre ∅^e) à la longueur d'onde λ⁰.

En d'autres termes, le flux spectrique de la lumière filtrée par le monochromateur est proportionnel à la convolution de l'image du trou d'entrée avec celle du trou de sortie :

où Πe et Πs sont respectivement les fonctions portes des orifices d'entrée et de sortie (la fonction vaut 1 si le point (x,y) est dans l'orifice, 0 s'il est à l'extérieur), γ est le grandissement plan d'entrée

→ plan de sortie, κ la dispersion dans le plan de sortie, et λ₀ est la longueur d'onde centrale sélectionnée par le monochromateur. x est l'axe horizontal du plan des orifices et la direction de dispersion du réseau; y est l'axe vertical.

La dispersion de ce monochromateur (κ) est de 8 nm/mm pour une longueur d'onde au centre du spectre visible, c'est-à-dire qu'une translation de 1 mm de l'orifice d'entrée (ou de sortie) dans son plan correspond à un décalage de la longueur d'onde sélectionnée de 8 nm. Ainsi, avec un trou de sortie ponctuel, la largeur spectrale de la lumière filtrée par le monochromateur ne dépend que de la largeur ∅e du trou d’entrée, soit ∆λ = κ×γ∅e≅ 8 nm pour un trou de diamètre 1 mm. Cette largeur spectrale augmente évidemment avec le diamètre du trou de sortie, même si celui-ci reste en général très inférieur au trou d’entrée dans les conditions de l’expérience.

Choix de l’objectif du viseur d'observation

L'objectif du viseur à frontale fixe doit avoir une ouverture largement suffisante pour ne pas diaphragmer le système étudié et un grandissement suffisant pour permettre une observation visuelle résolue de la tache de diffraction (cf. Présentation Générale/ La méthode du point lumineux p 5).

Influence de la distance trou source / système optique

Le trou source n'est évidemment pas à l'infini dans le montage expérimental utilisé, mais plutôt à une distance D de 6 m environ. L'image pointée par le viseur n'est donc pas le foyer image F' du système, mais l'image A' du trou source. Or, au cours des expériences suivantes, on souhaite déterminer l'évolution de la position du foyer F' avec la longueur d'onde (chromatisme) ou avec l'ouverture (aberration sphérique). La relation entre ces deux variations se déduit de la relation de conjugaison, et est simplement :

x y

γ × ∅_e

∅_s

λ₀/κ

Φ_λ(λ) ∝ Πe

x γ , y

γ

&

'

( )

* Πs x− (λ − λ₀)

κ , y

&

'

)

* dx dy

∫∫

avec f’ = et z’ = . Cette relation permet donc de remonter, à partir des pointés expérimentaux des variations de Α' avec λ ou α, à la variation de la position des foyers ∆F'. Vous vérifierez au cours de vos expériences dans quelle mesure cette correction systématique est significative.

Δ "f = 1− f"

z

$

%&& ' ())

2

Δz'≅

(

1−2f D"

)

^Δz'

€

"

H F "

€

"

H A "

19

C. Questions de préparation

1. Aberrations de la lentille simple

a. Calculez le diamètre de la tache d’Airy de la lentille à pleine ouverture, en conjugaison infini-foyer, à λ = 546 nm.

b. Évaluez le chromatisme longitudinal δf’ de la lentille simple étudiée (cf. §A.1).

c. Quel est le diamètre théorique de la tache d’aberration sphérique (3^ème ordre) de la lentille simple étudiée, dans les deux sens d’utilisation, pour une mise au point au foyer paraxial (cf. §A.2) ? Comparez avec le diamètre de la tache d’Airy et avec les simulations OSLO (p12).

d. Que deviennent ces diamètres dans le plan du foyer de moindre diffusion ?

e. Quelle est théoriquement la longueur de la caustique d'aberration sphérique (cf. §A.2) ?

2. Doublet

a. Calculez le diamètre de la tache d’Airy du doublet à pleine ouverture, en conjugaison infini-foyer, à λ = 546 nm.

3. Mise en œuvre du montage 1

a. Le monochromateur étant situé à environ 6 m des optiques étudiées, calculez le grandissement pour lequel elles travaillent.

b. Quel doit être l'ouverture numérique minimale de l'objectif du viseur à frontale fixe pour observer les réponses percussionnelles des optiques ?

c. Évaluez le coefficient correcteur à appliquer aux mesures expérimentales ∆A’ des positions longitudinales pour en déduire l’évolution des foyers ∆F’ (cf. §B).

d. Évaluez la largeur spectrale de la lumière issue du monochromateur pour un trou d'entrée de diamètre 3 mm et un trou de sortie de 50 µm.

e. Comment choisir le diamètre du trou de sortie du monochromateur pour que son image soit plus petite que la tache d'Airy de la lentille et du doublet ? plus petite que le diamètre de la tache aberrante de la lentille simple au foyer de moindre diffusion ?

4. Objectif d'agrandisseur

L'objectif d'agrandisseur sera étudié avec le montage 2 uniquement.

a. Calculez le diamètre de la tache d’Airy pour cet objectif utilisé à pleine ouverture, puis pour N= 8 et 11, à λ = 635 nm.

b. La fibre monomode a un diamètre de mode de 4,3µm et une ouverture numérique d'environ 0,10. Quel sera le diamètre de l'image de la fibre dans le plan focal image de cet objectif. Comparez à celui de la tache d'Airy de cette optique.

c. Quelle doit être l’ouverture numérique minimale de l'objectif du viseur à frontale fixe ?

D. Déroulement du TP

1. Caractérisation de la lentille simple

L'étude de la lentille simple sera intégralement réalisée avec le 1^er montage (monochromateur + viseur à frontale fixe).

Les trous à votre disposition ont pour diamètre : 50 µm, 0,1 mm, 0,2 mm, 0,3 mm, 0,5 mm et 1 mm.

Choisir le diamètre du trou source permettant une observation résolue de la réponse percussionnelle de cette lentille (cf. §C.3.e).

Aberration sphérique

REGLEZ DANS UN PREMIER TEMPS LE MONOCHROMATEUR A λ=546 NM.

► Mesurez rapidement les dimensions de la réponse percussionnelle au meilleur foyer dans les deux sens d'utilisation de la lentille. Identifiez le bon sens (=

celui pour lequel l'aberration sphérique est la plus faible). Quel est le rapport des dimensions de la tache image entre le mauvais et le bon sens, au meilleur foyer ?

Comparez avec vos prédictions théoriques basées sur la théorie du 3^ème ordre, et avec le diamètre de la tache d'Airy d'un système optique parfait de même ouverture.

PAR LA SUITE, LES MESURES SONT EFFECTUEES DANS LE BON SENS.

► Observez la tache image, avec un viseur vérifiant les bonnes conditions, et déterminez la position des foyers paraxial, marginal, ainsi que celle du meilleur foyer (au sens de la moindre diffusion). Précisez comment vous repérez ces divers foyers. Mesurer la distance foyer paraxial – meilleur foyer.

Vous disposez, pour ces observations, d'un diaphragme à iris et d’un diaphragme annulaire.

Faites vérifier votre montage et vos observations par l'enseignant.

► Mesurez le diamètre de la tache image au foyer paraxial, au meilleur foyer, et au foyer marginal. Évaluez la précision expérimentale de ces mesures.

► Confrontez vos résultats expérimentaux avec la simulation faite par un logiciel de conception optique de cette lentille (cf. p.12) et avec vos prédictions théoriques.

► Réduisez progressivement le diamètre du diaphragme à l’aide d’un diaphragme à iris. A partir de quelle ouverture pouvez-vous considérer que la lentille est en limite de diffraction pour un point-objet sur l'axe ?

Chromatisme

► En faisant à présent varier la longueur d'onde de la source grâce au monochromateur, mesurez la position du foyer paraxial de la lentille simple pour plusieurs longueurs d'onde du spectre visible, dont les raies F (486 nm) et C (656 nm) servant à la définition de la constringence (Abbe number) dans le domaine visible.

► Tracez la courbe représentant la variation algébrique de la position des foyers en fonction de la longueur d'onde λ. Comparez avec les simulations faites sur OSLO à partir des données-constructeur. ^{F C! F λ!}

21 N'oubliez pas de corriger, si nécessaire, les erreurs systématiques introduites par la distance finie du trou source par rapport à la lentille. Comparez l'ordre de grandeur de la correction effectuée avec votre précision de pointé.

? Quel est le chromatisme axial principal (défini entre les raies F et C de l'hydrogène) de cette lentille ?

► Estimez expérimentalement votre précision sur vos mesures de !′_!!′_!et reportez-les sous forme de barres d'incertitude sur votre graphique. Reportez aussi les barres d'incertitude associées à l'imprécision entachant la mesure de longueur d'onde.

? Votre précision expérimentale de pointé est-elle la même aux extrémités du spectre et au centre ? Pourquoi ?

► Déduisez de vos résultats la constringence νd du verre constituant la lentille.

De quel type de verre peut-il s'agir ? Quelle est votre incertitude sur cette valeur ?

2. Le doublet (AC254-150-A1 -Clairaut)

L'étude du doublet démarrera sur le 1^er montage, et sera approfondie sur le 2^ème montage.

► Choisissez des conditions de fonctionnement de l'étude du doublet (taille du trou de sortie, objectif de microscope) adaptées à l'observation de la réponse percussionnelle (§C.3).

► Comparez rapidement les dimensions de la réponse percussionnelle au meilleur foyer dans les deux sens d'utilisation du doublet, pour identifier le bon sens.

PLACEZ LE DOUBLET DANS LE MANDRIN, DANS LE BON SENS

► Montrer que le chromatisme est très faible. Essayer de l’évaluer en prenant deux points aux deux extrémités du spectre. Essayer aussi de mesurer son chromatisme axial secondaire (écart maximal entre les foyers)

2

^ème

montage : diode laser fibrée et caméra CMOS

Figure 4 : Dispositif expérimental n°2 La source

La source utilisée sur ce dispositif est une diode laser fibrée émettant à la longueur d'onde de λ = 635 nm. La diode laser est alimentée par une alimentation de courant stabilisée ILX Lightwave limitée courant maximal de 40 mA. La fibre est monomode, de diamètre de mode 4,3µm et d'ouverture numérique 0,10.

Le collimateur

Le collimateur est constitué par un doublet de focale f' = 500 mm, et permet d'étudier les objectifs pour une conjugaison infini-foyer.

La caméra

Le capteur CMOS utilisé est constituée de pixels carrés de 10 µm de côté, et de dimension totale 6,4 mm × 4,8 mm. L'image est numérisée sur 8 bits, soit sur 256 niveaux de gris. Elle est contrôlée par le logiciel uEye Demo, disponible sur l'ordinateur dans la salle, qui vous permet d'observer en temps réel l'image, et de la numériser pour un traitement plus approfondi avec le programme MatLab Mesure_PSF. Vous veillerez, pour l'ensemble de vos mesures, à ce que le capteur ne soit pas saturé, et ajusterez en conséquence le temps d'intégration (Exposure Time) et/ou le courant d'alimentation de la source. Le mode d'emploi de ces logiciels est à votre disposition dans la salle.

La longueur du tube est adaptée de sorte à ce que le capteur soit placé dans le plan- image de l'objectif de microscope et que le grandissement soit bien le grandissement indiqué sur cet objectif.

L'objectif de microscope

Les critères de choix de l'objectif de microscope sont identiques à ceux déjà indiqués pour l'observation visuelle, à savoir ouverture numérique suffisante et grandissement adapté à la résolution recherchée.

Réglages

L'objectif à étudier étant placé dans le mandrin autocentreur, vous ajusterez l'orientation de celui-ci dans les deux directions pour que la réponse percussionnelle visualisée soit autant que possible à symétrie de révolution. Pour observer aisément la réponse percussionnelle dans le plan du capteur, vous pourrez commencer par un objectif de microscope de grandissement plus faible (×10) avant d'augmenter le grandissement en fonction de vos besoins.

23

► Reprenez l'analyse de la réponse percussionnelle du doublet dans le bon sens d'utilisation ; observez en particulier le profil de l'énergie encerclée avec celui attendu en limite de diffraction.

► Observez l'évolution de la réponse percussionnelle de part et d'autre du plan du foyer.

? Pouvez-vous conclure avec certitude que ce doublet est en limite de diffraction sur l'axe dans ce sens d'utilisation ?

► Placez le doublet dans le mauvais sens, et observez à présent la forme de la réponse percussionnelle, et le profil de l'énergie encerclée, dans les différents plans de mise au point : foyer paraxial, foyer de moindre diffusion, foyer marginal. Evaluez la dimension de la tache image, correspondant à une énergie encerclée d'environ 84%.

3. Étude de l’objectif d’agrandisseur

► Choisissez des conditions de fonctionnement adaptées à l'étude de cet l'objectif d'agrandisseur (cf. §C.4).

► Analysez l'aspect de la réponse percussionnelle pour plusieurs ouvertures, et mesurez sa dimension en fonction de N. Vous pourrez commencer par une ouverture numérique réduite, et l’augmenter progressivement.

? L’objectif est-t-il corrigé de l’aberration sphérique à l'ouverture maximale ? A partir de quelle ouverture numérique est-il en limite de diffraction sur l’axe ?

? Quelle est l’ouverture numérique à laquelle la dimension de sa réponse percussionnelle est la plus petite à λ =635 nm ?

25

TP n°2

ABERRATIONS DE CHAMP

PAR LA MÉTHODE DU POINT LUMINEUX

On étudiera visuellement au cours de cette manipulation les aberrations de champ de deux objectifs. L’étude expérimentale réalisée au cours de cette séance est adaptée à l’analyse des systèmes optiques pour une conjugaison infini-foyer. Nous étudierons en particulier l’astigmatisme et la courbure de champ du doublet collé de type Clairaut-Mossoti qui est théoriquement corrigé de l’aberration sphérique et de la coma (cf. données p.12&13). Puis vous caractériserez l'objectif d'agrandisseur commercial sur tout son champ utile (cf. p11).

!

Préparation de la séance: relisez attentivement la présentation générale et l'introduction à la méthode du point lumineux (p 5-6) et le texte du TP ci-dessous ; effectuez les calculs préliminaires indiqués dans l’énoncé par le symbole

!

pour chaque optique étudiée.

A.

!

QUELQUES RAPPELS 26

!

1.

!

^{LA COMA DU 3EME ORDRE 26}

!

2.

!

L'ASTIGMATISME ET LA COURBURE DE CHAMP 26

!

B.

!

MONTAGE EXPERIMENTAL 28

!

1.

!

SOURCE D'ECLAIRAGE 28

!

2.

!

CHOIX DU TROU SOURCE 28

!

3.

!

^DEPLACEMENTS DU VISEUR ET DU COLLIMATEUR 28

!

C.

!

QUESTIONS DE PREPARATION 29

!

D.

!

DEROULEMENT DU TP 30

!

1.

!

CARACTERISATION DU DOUBLET DANS LE BON SENS 30

!

2.

!

^CARACTERISATION DE L’OBJECTIF D'AGRANDISSEUR 31

!

A. Quelques rappels

1. La coma du 3^ème ordre

L'aberration de coma est une aberration de champ, qui se traduit par la perte de symétrie de la tache image, qui prend la forme d'une comète – d'où son nom. La coma est associée à la perte de validité de la condition d'Abbe ny sin α = n'y' sinα^'.

La coma peut être vue comme une variation du grandissement transverse g_y = y'/y avec la hauteur d'impact h (ou α') du rayon considéré pour constituer l'image finale de l'objet. L'impact d'un rayon dans le plan image dépend aussi de la position de ce rayon dans le plan de la pupille, définie par l'angle d'azimuth ϕ.

Dans le domaine de validité du 3^ème ordre, l'écart normal de coma du 3^ème ordre correspondant s'écrit

Δ

coma

(ϕ)= by’ α’

³

cos ϕ

^.

Par analyse géométrique, la forme de la tache de coma est proportionnelle au paramètre ρ :

ρ = by’sin

²

( α ’)

avec α’ l'angle d'ouverture image b le paramètre de coma

y' la position de l'image dans le champ.

La longueur de l'aigrette de coma est alors 3ρ et sa largeur est 2ρ.

Allure de la tache de coma :

à gauche, spot-diagramme et définition de ρ ; à droite, réponse percussionnelle.

2. L'astigmatisme et la courbure de champ

L'astigmatisme et la courbure de champ sont deux aberrations qui sont en général associées, car elles correspondent toutes deux à un défaut de mise au point de l'image selon le champ θ. Cependant, la courbure de champ décrit la perte de planéité de la surface de meilleure mise au point (avec ou sans astigmatisme).

L'astigmatisme mesure l'écart entre les positions longitudinales des points de focalisation des rayons issus d'un même faisceau incident, mais dans deux plans perpendiculaires (sagittal et tangentiel).

L'écart normal aberrant du front d'onde associé à l'astigmatisme du 3^ème ordre seul s'écrit :