On calcule le discriminant

LYCÉE ALFRED KASTLER TS 2013–2014

Devoir maison n^◦13 – mathématiques Correction

Exercice 1 Dans chaque cas il s’agit de savoir si la différence entre les deux angles est ou non un multiple (entier) de 2π. Si c’est le cas, alors les deux arguments sont ceux d’un même nombre complexe.

1. Oui 2. Non 3. Oui

Exercice 2

1. On calcule le discriminant :∆ = 8−16 =−8 = −(2√

2)² <0 Il y a donc deux solutions complexes conjuguées :

z1 = −2√

2 + 2i√ 2

2 =−√

2 +i√

2 et z2 =−√

2−i√ 2

L’ensemble des solutions est S ={z1;z2}.

2. On calcule |z₂|=|z₁|=|z₁|=√

2 + 2 = 2.

Par suite,

z₁ = 2 −

√2

2 +i

√2

2

!

= 2

cos3π

4 +isin3π 4

et

z₂ = 2 −

√2

2 −i

√2

2

!

= 2

cos−3π

4 +isin−3π 4

3. (a) Voici la figure :

1 1

x y

O

A B

C

I

(b) Il suffit de démontrer que OA=OB.

Or OA=|zA−zO|=|zA|=|2|= 2, et OB =|zB−zO|=|zB|=|z1|= 2.

Ainsi, OAB est isocèle en O.

(c) PuisquezA= 2est un réel strictement positif,arg(zA) = 0. Cela implique que(−→u;−→

OA) = 0, autrement dit que −→u et−→

OA ont la même direction. Ainsi, (−→u;−→

OI) = (−→

OA;−→ OI).

Or OAB est isocèle en O, et I est le milieu de [AB], donc (−→

OA;−→ OI) = 1

2(−→

OA;−−→ OB) (la droite (OI) est la bissectrice de l’angle au sommet).

On calcule donc : (−→

OA;−−→

OB) = arg

z_B−z_O z_A−z_O

= argz₁ 2

= arg(z₁)−arg(2) = 3π

4 −0 = 3π 4 . Finalement, (−→u;−→

OI) = 3π 8 .

(d) On calcule z_I = z_A+z_B

2 = 2−√

2 +i√ 2

2 .

Par suite, |z_I|= v u u t

2−√ 2 2

!2

+

√2

2

!2

=· · ·=p 2−√

2.

4. On a d’après la question précédentezI =p 2−√

2

p2−√ 2 2 +i

√2

2p 2−√

2

! . Or p

2−√

2 =|z_I| et on sait quearg(z_I) = (−→u;−→

OI) = 3π 8 . Ainsi,

cos3π 8 =

p2−√ 2

2 et sin3π 8 =

√2

2p 2−√

2